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梁的变形计算.ppt
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1、梁的变形分析与梁的变形分析与 刚度问题刚度问题1精选ppt 上上上上一一一一章章章章的的的的分分分分析析析析结结结结果果果果表表表表明明明明,在在在在平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的情情情情形形形形下下下下,梁梁梁梁的的的的轴轴轴轴线线线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成平平平平面面面面曲曲曲曲线线线线。如如如如果果果果变变变变形形形形太太太太大大大大,也也也也会会会会影影影影响响响响构构构构件件件件正正正正常常常常工工工工作作作作。因因因因此此此此,对对对对机机机机器器器器中中中中的的的的零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件以以以以及及及及土土土土木木木木工工工工程程程程中中中中
2、的的的的结结结结构构构构构构构构件件件件设设设设计计计计时时时时,除除除除了了了了满满满满足足足足强强强强度度度度要要要要求求求求外外外外,还还还还必必必必须须须须满满满满足足足足一一一一定定定定的的的的刚刚刚刚度度度度要要要要求求求求,即即即即将将将将其其其其变变变变形形形形限限限限制制制制在在在在一一一一定定定定的的的的范范范范围围围围内内内内。为此,必须分析和计算梁的变形。为此,必须分析和计算梁的变形。为此,必须分析和计算梁的变形。为此,必须分析和计算梁的变形。另另另另一一一一方方方方面面面面,某某某某些些些些机机机机械械械械零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件,则则则则要要要要求求
3、求求有有有有较较较较大大大大的的的的变变变变形形形形,以以以以减减减减少少少少机机机机械械械械运运运运转转转转时时时时所所所所产产产产生生生生的的的的振振振振动动动动。汽汽汽汽车车车车中中中中的的的的钣钣钣钣簧簧簧簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。即为一例。这种情形下也需要研究变形。即为一例。这种情形下也需要研究变形。即为一例。这种情形下也需要研究变形。此此此此外外外外,求求求求解解解解静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁,也也也也必必必必须须须须考考考考虑虑虑虑梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形以以以以建建建建立立立立补补补补充方程。充方程。充方程。充方程。梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与
4、刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题2精选ppt 本本本本章章章章将将将将在在在在上上上上一一一一章章章章得得得得到到到到的的的的曲曲曲曲率率率率公公公公式式式式的的的的基基基基础础础础上上上上,建建建建立立立立梁梁梁梁的的的的挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线微微微微分分分分方方方方程程程程;进进进进而而而而利利利利用用用用微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的积积积积分分分分以以以以及及及及相相相相应应应应的的的的边边边边界界界界条条条条件件件件确确确确定定定定挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线方方方方程程程程。在在在在此此此此基基基基础础础础上上上上,介介介介绍绍绍绍工工工
5、工程程程程上上上上常常常常用用用用的的的的计计计计算算算算梁梁梁梁变变变变形形形形的的的的叠叠叠叠加加加加法法法法。此此此此外外外外,还还还还将将将将讨讨讨讨论论论论简简简简单单单单的的的的静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁的求解问题。的求解问题。的求解问题。的求解问题。梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题3精选ppt 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁
6、 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 梁的刚度问题梁的刚度问题梁的刚度问题梁的刚度问题 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题梁的位移分析与刚度问题4精选ppt 在在平平面面弯弯曲曲的的情情形形下下,梁梁上上的的任任意意微微段段的的两两横横截截面面绕绕中中性性轴轴相相互互转转过过一一角角度度,从从而而使使梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线,这这一一曲曲线线称称为为梁梁的的挠挠度度曲曲线线(deflectioncurve)。)。梁的曲率与位移梁的曲
7、率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 5精选ppt 根根据据上上一一章章所所得得到到的的结结果果,弹弹性性范范围围内内的的挠挠度度曲曲线线在在一一点点的的曲曲率率与与这这一一点点处处横横截截面面上上的的弯弯矩矩、弯弯曲曲刚刚度度之之间间存存在在下下列列关关系:系:梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 6精选ppt 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后,横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置将将将将发发发发生生生生改改改改变变变变,这这这这种种种种位位位位置置置置的的的的改改改改变变变变称称称称为为为为位位位位移移移移(displacement)
8、displacement)。梁的位移包括三个部分:梁的位移包括三个部分:梁的位移包括三个部分:梁的位移包括三个部分:横横截截面面形形心心处处的的铅铅垂垂位位移移,称称为为挠挠度度(deflection),),用用w表示;表示;变变形形后后的的横横截截面面相相对对于于变变形形前前位位置置绕绕中中性性轴轴转转过过的的角度,称为角度,称为转角转角(slope)用用 表示;表示;挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 横横截截面面形形心心沿沿水水平平方方向向的的位位移移,称称为为轴轴向向位位移移或或水水平平位移位移(horizontaldisplacement
9、),),用用u表示。表示。7精选ppt 在在小小变变形形情情形形下下,上上述述位位移移中中,水水平平位位移移u与与挠挠度度w相比为高阶小量,故通常不予考虑。相比为高阶小量,故通常不予考虑。挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 在在Oxw坐坐标标系系中中,挠挠度度与与转转角角存在下列关系:存在下列关系:在在小小变变形形条条件件下下,挠挠曲曲线线较较为为平平 坦坦,即即 很很 小小,因因 而而 上上 式式 中中tan。于是有于是有w w(x),),称为挠度方程(称为挠度方程(deflectionequation)。)。8精选ppt梁的位移分析的工程意义梁
10、的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 位位位位移移移移分分分分析析析析中中中中所所所所涉涉涉涉及及及及的的的的梁梁梁梁的的的的变变变变形形形形和和和和位位位位移移移移,都都都都是是是是弹弹弹弹性性性性的的的的。尽尽尽尽管管管管变变变变形形形形和和和和位位位位移移移移都都都都是是是是弹弹弹弹性性性性的的的的,工工工工程程程程设设设设计计计计中中中中,对对对对于于于于结结结结构构构构或或或或构构构构件件件件的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移都都都都有有有有一一一一定定定定的的的的限限限限制制制制。弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移过过过过大大大大,也也也也会会会会使
11、使使使结结结结构构构构或构件丧失正常功能,即发生刚度失效。或构件丧失正常功能,即发生刚度失效。或构件丧失正常功能,即发生刚度失效。或构件丧失正常功能,即发生刚度失效。9精选ppt 机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴,当当变变形形过过大大时时(图图中中虚虚线线所所示示),两两齿齿轮轮的的啮啮合合处处将将产产生生较较大大的的挠挠度度和和转转角角,这这不不仅仅会会影影响响两两个个齿齿轮轮之之间间的的啮啮合合,以致不能正常工作。以致不能正常工作。同同时时,还还会会加加大大齿齿轮轮磨磨损损,同同时时将将在在转转动动的的过程中产生很大的噪声。过程中产生很大的噪声。此此外外,当当轴轴的的变变形形很
12、很大大使使,轴轴在在支支承承处处也也将将产产生生较较大大的的转转角角,从从而而使使轴轴和和轴轴承承的的磨磨损损大大大大增增加,降低轴和轴承的使用寿命。加,降低轴和轴承的使用寿命。梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 10精选ppt 工工工工程程程程设设设设计计计计中中中中还还还还有有有有另另另另外外外外一一一一类类类类问问问问题题题题,所所所所考考考考虑虑虑虑的的的的不不不不是是是是限限限限制制制制构构构构件件件件的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移,而而而而是是是是希希希希望望望望在在在在构构构构件件件件不不不不发发发发生生生生强强强强
13、度度度度失失失失效效效效的的的的前前前前提提提提下下下下,尽尽尽尽量量量量产产产产生生生生较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹性性性性位位位位移移移移。例例例例如如如如,各各各各种种种种车车车车辆辆辆辆中中中中用用用用于于于于减减减减振振振振的的的的板板板板簧簧簧簧,都都都都是是是是采采采采用用用用厚厚厚厚度度度度不不不不大大大大的的的的板板板板条条条条叠叠叠叠合合合合而而而而成成成成,采采采采用用用用这这这这种种种种结结结结构构构构,板板板板簧簧簧簧既既既既可可可可以以以以承承承承受受受受很很很很大大大大的的的的力力力力而而而而不不不不发发发发生生生生破破破破坏坏坏坏,同同同同时时时时又又又又能
14、能能能承承承承受受受受较较较较大大大大的的的的弹弹弹弹性性性性变变变变形形形形,吸吸吸吸收收收收车车车车辆辆辆辆受受受受到到到到振振振振动动动动和和和和冲冲冲冲击击击击时时时时产产产产生生生生的的的的动动动动能能能能,受受受受到到到到抗抗抗抗振振振振和和和和抗抗抗抗冲冲冲冲击击击击的效果。的效果。的效果。的效果。梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 11精选ppt力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式小挠度微分方程小挠度微分方程 12精选ppt小挠度情形
15、下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与w w坐坐坐坐标的取向有关。标的取向有关。标的取向有关。标的取向有关。0 0 0小挠度微分方程小挠度微分方程 13精选ppt 小挠度微分方程小挠度微分方程 本书采用向下的本书采用向下的w坐标系,有坐标系,有14精选ppt 对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯矩方
16、程矩方程矩方程矩方程MM(x x),代入上式后,分别对代入上式后,分别对代入上式后,分别对代入上式后,分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分,得到包含得到包含得到包含得到包含积分常数的挠度方程与转角方程:积分常数的挠度方程与转角方程:积分常数的挠度方程与转角方程:积分常数的挠度方程与转角方程:其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。小挠度微分方程小挠度微分方程 15精选ppt小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定 积积积积分分分分法法法法
17、中中中中常常常常数数数数由由由由梁梁梁梁的的的的约约约约束束束束条条条条件件件件与与与与连连连连续续续续条条条条件件件件确确确确定定定定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制:约束条件是指约束对于挠度和转角的限制:约束条件是指约束对于挠度和转角的限制:约束条件是指约束对于挠度和转角的限制:在在在在固固固固定定定定铰铰铰铰支支支支座座座座和和和和辊辊辊辊轴轴轴轴支支支支座座座座处处处处,约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为挠挠挠挠度等于零:度等于零:度等于零:度等于零:w w=0;=0;连续条件是指,梁在弹性范围内加载,其轴线将连续条件是指,梁在弹性范围内加载,其轴线将连续条件是指,梁在弹性
18、范围内加载,其轴线将连续条件是指,梁在弹性范围内加载,其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线,因此,在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线,因此,在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线,因此,在集中力、集中力弯曲成一条连续光滑曲线,因此,在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处,两侧的挠度、转角对应相等:偶以及分布载荷间断处,两侧的挠度、转角对应相等:偶以及分布载荷间断处,两侧的挠度、转角对应相等:偶以及分布载荷间断处,两侧的挠度、转角对应相等:w w1 1=w w2 2,1 1 1 12 2 2 2等等。等等。等等。等等。在在在在固固固固定定定定端端端端处处处处,约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为
19、挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角都都都都等等等等于于于于零零零零:w w=0=0,0 0。16精选pptPABCPD支点位移条件:支点位移条件:连续条件:连续条件:光滑条件:光滑条件:C小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定17精选ppt适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连
20、续积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续条件)确定。条件)确定。优点:使用范围广,直接求出较精确;优点:使用范围广,直接求出较精确;缺点:计算较繁。缺点:计算较繁。小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定18精选ppt例例例例 题题题题求:求:求:求:梁的弯曲挠度与转角方程,梁的弯曲挠度与转角方程,以及最大挠度和最大转角。以及最大挠度和最大转角。已知:已知:已知:已知:左端固定右端左端固定右端自由的悬臂梁承受均布自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为载荷。均布载荷集度为q,梁的
21、弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI、长度为长度为l。q、EI、l均已均已知。知。19精选ppt解:解:解:解:1 1建立建立建立建立OxwOxw坐标系坐标系坐标系坐标系 建立建立Oxw坐标系如图所示。坐标系如图所示。因为梁上作用有连续分布载荷,因为梁上作用有连续分布载荷,所以在梁的全长上,弯矩可以用所以在梁的全长上,弯矩可以用一个函数描述,即无需分段。一个函数描述,即无需分段。22建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程O Ox xw w例例例例 题题题题20精选ppt 从坐标为从坐标为x的任意的任意截面处截开,因为固定截面处截开,因为固定端有两个约束力,考虑端有两个约束力,
22、考虑截面左侧平衡时,建立截面左侧平衡时,建立的弯矩方程比较复杂,的弯矩方程比较复杂,所以考虑右侧部分的平所以考虑右侧部分的平衡,得到弯矩方程:衡,得到弯矩方程:解:解:解:解:2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程xMM(x x)F FQQ(x x)3 3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分将上述弯矩方程代入小挠度将上述弯矩方程代入小挠度微分方程,得微分方程,得例例例例 题题题题21精选ppt积分后,得到积分后,得到3 3 建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分建立微分方程并积分例例例例 题题题题22精选pp
23、t解:解:解:解:4 4 利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数固定端处的约束条件为:固定端处的约束条件为:例例例例 题题题题23精选ppt解:解:解:解:5 5 确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程解:解:解:解:6 6 确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出,悬臂梁在自由端处,挠度从挠度曲线可以看出,悬臂梁在自由端处,挠度和转角均最大值。和转角均最大值。于是,将于是,将 x=l,分别代入挠度方程与转角方程,分别代入挠度方程与转角
24、方程,得到:得到:例例例例 题题题题24精选ppt求:求:求:求:加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。已知:已知:已知:已知:简支梁受力如图示。简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。均为已知。例例例例 题题题题25精选ppt解:解:解:解:1 1 确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力确定梁约束力22 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程ABAB段段段段 BCBC段段段段 于是,于是,AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为例例例例 题题题题26精选ppt解:解:解:解:3 3 将弯矩表达式代入小挠度微分方程
25、并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 积分后,得积分后,得其中,其中,C1、D1、C2、D2为积分常数,由支承处的约束条为积分常数,由支承处的约束条件和件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。段梁交界处的连续条件确定确定。例例例例 题题题题27精选ppt解:解:解:解:4 4 利用约束条件和利用约束条件和利用约束条件和利用约束条件和连续条件确定积分常数连续条件确定积分常数连续条件确定积分常数连续条件确定积分常数 在支座在支座A、C两处挠度应为零,即两处挠度应为零,即x0,w10;xl,w20
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