凸集和凸函数和凸规划-精.ppt
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1、第第3 3讲讲 凸集、凸函数、凸规划凸集、凸函数、凸规划 凸集凸集 (Convex Set)凸函数凸函数 (Convex Function)凸规划凸规划 (Convex Programming)凸性凸性凸性凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念是最优化理论必须涉及到基本概念是最优化理论必须涉及到基本概念是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸具有凸具有凸具有凸性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型,它在最优化性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型,它在最优化性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型,它在最优化性的非线性规划模型是一类特殊的重要模型,它在最优化的理论证明及算法研究中
2、具有非常重要的作用的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.凸集凸集-定义定义线性组合线性组合 (linear Combination)仿射组合仿射组合 (Affine Combination)凸组合凸组合 (Convex Combination)凸锥组合凸锥组合 (Convex Cone Combination).凸集凸集-定义定义例例 二维情况下,两点二维情况下,两点x x1 1,x,x2 2的的 (a)(a)线性组合为全平面;线性组合为全平面;(b)(b)仿射组合为过这两点的直线;仿射组合为过这两点的直线;(
3、c)(c)凸组合为连接这两点的线段;凸组合为连接这两点的线段;(b)(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.凸集凸集-定义定义.凸集凸集-定义定义定义定义1 1设集合设集合若对于任意两点若对于任意两点及实数及实数都有:都有:则称集合则称集合为为凸集凸集常见的凸集常见的凸集:单点集单点集 x,空集空集,整个欧氏空间,整个欧氏空间 Rn,超平面超平面:半空间半空间:.例:例:证明超球证明超球为凸集为凸集证明证明:设设为超球中的任意两点,为超球中的任意两点,则有:则有:即点即点属于超球属于超球,所以超球为凸集所以超球为凸集凸集凸集-举例举例.(1)(1)任
4、意多个凸集的交集任意多个凸集的交集为凸集为凸集 (2)(2)设设是凸集,是凸集,是一实数,是一实数,则下面的则下面的集合是凸集:集合是凸集:凸集凸集-性质性质(3)(3).推论推论:设设是凸集,是凸集,则则也是凸集,也是凸集,其中其中是实数是实数(4)(4)S 是凸集当且仅当是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸中任意有限个点的凸 组合仍然在组合仍然在S中中.P23,P23,定理定理2.92.9凸集凸集-性质性质.注:注:和集和并集有很大的区别,凸集的并集和集和并集有很大的区别,凸集的并集未必是凸集,而凸集的和集是凸集未必是凸集,而凸集的和集是凸集例例:表示表示轴上的点轴上的点表示表示轴上的点轴上
5、的点则则表示两个轴的所有点,表示两个轴的所有点,它不是凸集;它不是凸集;而而凸集凸集凸集凸集-性质性质.定义定义 设设 S S 中任意有限个点的所有凸组合所中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为构成的集合称为S S的凸包,记为的凸包,记为H H(S S),),即即凸集凸集-凸包凸包(Convex Hull)定理定理2.1.42.1.4 H H(S S)是是Rn 中所有包含中所有包含S S 的凸集的交集的凸集的交集.H H(S S)是包含是包含S S 的最小凸集的最小凸集.定义定义 锥、凸锥锥、凸锥凸集凸集-凸锥凸锥(Convex Cone).凸函数凸函数凸函数凸函数(Convex Func
6、tion)(Convex Function)-定义定义定义定义2.42.4设设是非空凸集,是非空凸集,若对任意的若对任意的及任意的及任意的都有:都有:则称函数则称函数为为上的凸函数上的凸函数注:注:将上述定义中的不等式反向,可以得到将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数凹函数的定义的定义.凸函数凸函数严格凸函数严格凸函数设设是非空凸集,是非空凸集,若对任意的若对任意的及任意的及任意的都有:都有:则称函数则称函数为为上的严格凸函数上的严格凸函数注:注:将上述定义中的不等式反向,可以将上述定义中的不等式反向,可以得到得到严格凹函数严格凹函数的定义的定义.凸函数凸函数l 对一元函数对一元函数在几何
7、上在几何上表示连接表示连接的线段的线段所以所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方的线段总是位于曲线弧的上方几何性质几何性质表示在点表示在点处的处的函数值函数值l.f(X)f(X)X Xf(Xf(X1 1)f(Xf(X2 2)X X1 1X X2 2.f(X)f(X)X Xf f(X(X1 1)f f(X(X2 2)X X1 1X X2 2 x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2f f(x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2).f(X)f(X)X X f(xf(x1 1)+(1-+(1-)f(x)f(x2 2)f(Xf(X1
8、 1)f(Xf(X2 2)X X1 1X X2 2 x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2f f(x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2).f(X)f(X)X Xf(Xf(X1 1)f(Xf(X2 2)X X1 1X X2 2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方 x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2f f(x x1 1+(1-+(1-)x)x2 2)f(xf(x1 1)+(1-+(1-)f(x)f(x2 2)例例4.2.1.(a)凸函数凸函数 (b)
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