高等数学-对坐标的曲线积分.ppt

常力常力沿沿直线直线所作的功所作的功分割分割问题问题11.2:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功11.2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分11.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质求和求和取极限取极限取近似取近似取取即即近似值近似值精确值精确值或或定义定义11.2 设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条的一条有向有向光滑光滑用用L上的点上的点把把L分成分成n个有向小弧段个有向小弧段曲线弧曲线弧,在在L上有界上有界.上任意取定的点上任意取定的点.如果当各小段长度的最大值如果当各小段长度的最大值的极限总存在的极限总存在,记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数在有向曲线弧在有向曲线弧 L上对上对坐标坐标x的曲线积分的曲线积分,或称或称第二型曲线积分第二型曲线积分.即即类似地定义类似地定义称称在有向曲线弧在有向曲线弧 L上对上对坐标坐标y 的曲线积分的曲线积分.积分弧段积分弧段被积函数被积函数在应用中常出现在应用中常出现组合形式组合形式其中其中或或向量向量“点积点积”形形式式 沿沿闭曲线闭曲线L的曲线积分记作的曲线积分记作物理意义物理意义沿平面曲线沿平面曲线L所做所做的功为的功为类似地类似地,可定义空间向量函数可定义空间向量函数沿着空间曲线沿着空间曲线L的第二型曲线积分为的第二型曲线积分为其中其中对坐标的曲线积分具有下列性质对坐标的曲线积分具有下列性质:沿沿平面平面曲线曲线L的第二型曲线积分存在的第二型曲线积分存在,则则设设(1)线性性质线性性质:积分存在积分存在,且且沿曲线沿曲线L的第二型曲线的第二型曲线其中其中 为任意常数为任意常数.LL1L2(2)可加性可加性:且它们的方向相应地一致且它们的方向相应地一致,则则(3)有向性有向性:有向曲线有向曲线,则则对坐标的曲线积分与对坐标的曲线积分与曲线的方向有关曲线的方向有关!设设L是有向曲线是有向曲线,定理定理11.2 设设在有向曲线弧在有向曲线弧L上连续上连续,且且11.2.2 第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算则曲线积分则曲线积分则则则则对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.积分下限应是起点的坐标积分下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标上限是终点的坐标.曲线方程的其他情形曲线方程的其他情形(3)对于空间曲线对于空间曲线 例例 计算计算解解(1)取取 x为积分变量为积分变量(2)取取 y为积分变量为积分变量解解 (1)例例 计算计算其中其中A点对应点对应 B点对应点对应B点对应点对应O点对应点对应(2)O点对应点对应A点对应点对应问题问题:被积函数相同被积函数相同,起点和终点也相同起点和终点也相同,但路径不同但路径不同,积分结果也不同积分结果也不同.解解(1)A点对应点对应 L的的参数方程参数方程为为B点对应点对应其中其中例例 计算计算问题问题:被积函数相同被积函数相同,起点和终点也相同起点和终点也相同,(2)虽然路径不同虽然路径不同,但积分结果相同但积分结果相同.解解L的参数方程为的参数方程为其中其中L为圆周为圆周例例 计算计算 其中其中是由点是由点A(1,1,1)到点到点B(2,3,4)的直线段的直线段.直线直线AB的方程为的方程为解解化成参数式方程为化成参数式方程为于是于是例例 计算计算A点对应点对应B点对应点对应(1)L是上半圆周是上半圆周 反时针方向反时针方向;解解A点对应点对应(2)L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段.(1)中中L的的参数方程参数方程为为B点对应点对应其中其中原式原式=(2)L的方程为的方程为原式原式=(2)L是是x轴上由点轴上由点 到点到点 的线段的线段.其中其中11.2.3 两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系设设A,B分别是曲线分别是曲线L的起点和终点的起点和终点,L的长度为的长度为l.M是曲线上的动点是曲线上的动点,取弧长取弧长 作参数作参数,可以表示为以可以表示为以s为参数的参数方程为参数的参数方程 则曲线则曲线L于是于是 其中其中方向余弦方向余弦.即即 这就是平面上两类曲线积分之间的关系这就是平面上两类曲线积分之间的关系.类似地类似地,空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分有如下关系上的两类曲线积分有如下关系其中其中处的切线向量的方向余弦处的切线向量的方向余弦.作作 业业习题习题11.2(27611.2(276页页)1.(1)(4)2.(1)(2)3.