高考文科数列知识点总结.pdf

(一一)等差数列等差数列 1.1.等差数列的定义等差数列的定义：（d为常数）（）；daann12n 2 2等差数列通项公式：等差数列通项公式：，首项:，公差:d，末项:*11(1)()naanddnad nN1ana 推广：推广：从而；dmnaamn)(mnaadmn3 3等差中项等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或aAbAab2baAbaA2（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa4 4等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式：项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数特别地，当项数为奇数时，是项数为 2n+1 的等差数列的中间项21n1na（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）12121121212nnnnaaSna5 5等差数列的判定方法等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数)是等差数列 daann1daann1 Nn na（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa（3）数列是等差数列（其中是常数）。nabknanbk,（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。na2nSAnBn7.7.等差数列的性质：等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函 数，且斜0d 11(1)naanddnadn率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为 0.dn211(1)()222nn nddSnadnann（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。0d 0d 0d（3）当时,则有，特别地，当时，则有.mnpqqpnmaaaa2mnp2mnpaaa（4）若、为等差数列，则都为等差数列 na nb12nnnabab，(5)若是等差数列，则，也成等差数列 na232,nnnnnSSSSS（6）数列为等差数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等差数 列na*N23,mm kmkmkaaaa（2 2）等比数列等比数列1.等比数列的定义等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2.通项公式：通项公式：，11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq3.等比中项等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或,a A bAab2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4.等比数列的前等比数列的前 n 项和项和公式：公式：nS(1)当时，1q 1nSna(2)当时，1q 11111nnnaqaa qSqq5.等比数列的判定方法等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有为等比数列 11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na（2）等比中项：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaana7.等比数列的性质等比数列的性质(1)若 m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当 n+m=2k 时,得*Nnmstaaaa2nmkaaa注：12132nnna aaaa a(2)列,为等比数列,则数列,(k 为非零常数)均为等na nbnkank aknannk abnnab比数列.(3)数列为等比数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等比数列na*N23,mm kmkmkaaaa(7)若为等比数列,则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(9)当时，当时，1q 1q 0,1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中,当项数为 2n(n)时,.na*N1SSq奇偶(11)若是公比为 q 的等比数列,则nann mnmSSqS （三）（三）数列求和的基本方法和技巧数列求和的基本方法和技巧一、公式法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、4、)1(211nnkSnkn)12)(1(6112nnnkSnkn4、213)1(21nnkSnkn例例：已知，求的前 n 项和.3log1log23x nxxxx32解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nnxxxxS 32 xxxn1)1(211)211(21n1n21 二、错位相减二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列。例：求数列 a,2a2,3a3,4a4,nan,(a 为常数)的前 n 项和。解：若 a=0,则 Sn=0若 a=1,2)1(nn)1(2)1(ann则 Sn=1+2+3+n=若 a0 且 a1则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+nanaSn=a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a)Sn=a+a2+a3+an-nan+1=Sn=当 a=0 时，此式也成立。Sn=三、倒序相加三、倒序相加这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个。等差数列的前 n 相和就是利用倒序相加法得出来的。)(1naa 四、分组求和四、分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。另外：Sn=nn21813412211 可以拆成：Sn=（1+2+3+n）+()n21814121 五、裂项相消法求和五、裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：（1）（2）)()1(nfnfan)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan（3）（4）111)1(1nnnnan)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan(5)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则111nnnaaaa)1(1)1(121aanaaaann)1(1)1(121aanaaaann例：求数列，的前 n 项和 S311421531)2(1nn解：=）)2(1nn211(21nn Sn=)211()4121()311(21nn =)2111211(21nn =42122143nn解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。