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(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第十章概率知识汇总笔记全国通用版高中数学第十章概率知识汇总笔记 单选题 1、有一个人在打靶中，连续射击 2 次，事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是（）A至多有 1 次中靶 B2 次都中靶 C2 次都不中靶 D只有 1 次中靶 答案：C 分析：根据对立事件的定义判断即可.对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，则 A，B 是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，所以对立事件是二次都不中靶.故选：C.2、下列事件中不是确定事件的个数是（）从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；水中捞月；守株待兔；某地区明年 1月的降雪量高于今年 1 月的降雪量 A1B2C3D4 答案：B 分析：根据随机事件的定义分析判断即可 三角形三条高线一定交于一点，则是必然事件；水中捞月是不可能事件；守株待兔是随机事件，不是确定事件；某地区明年 1 月的降雪量高于今年 1 月的降雪量是随机事件，不是确定事件.故选：B.3、下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到 100沸腾；（2）平面三角形的内角和是 180；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票 5 注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了其中随机事件的个数是（）A1B2C3D4 答案：B 分析：根据随机事件的定义进行判断即可.事件（1）是基本事实，因此是确定事件；事件（2）是基本事实，因此它是确定事件；事件（3、（4）是随机出现，是随机事件；事件（5）是不可能事件，故选：B 4、从集合2,4,6,8中任取两个不同元素，则这两个元素相差2的概率为（）A13B12C14D23 答案：B 分析：一一列出所有基本事件，然后数出基本事件数和有利事件数，代入古典概型的概率计算公式=，即可得解.解：从集合2,4,6,8中任取两个不同元素的取法有(2,4)、(2,6)、(2,8)、(4,6)、(4,8)、(6,8)共 6 种，其中满足两个元素相差2的取法有(2,4)、(4,6)、(6,8)共 3 种.故这两个元素相差2的概率为12.故选：B.5、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A1320B25C14D15 答案：B 解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出 设事件 A：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件 B：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()=4534=35，故()=1 ()=1 35=25 故选：B 小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题 6、下列事件属于古典概型的是（）A任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件 B篮球运动员投篮，观察他是否投中 C测量一杯水分子的个数 D在 4 个完全相同的小球中任取 1 个 答案：D 解析：根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果 判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.A 选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故 A 排除；B 选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故 B 排除；C 选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故 C 排除；D 选项，在 4 个完全相同的小球中任取 1 个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有 4 个，符合古典概型，故 D 正确.故选：D.7、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（）A0.0324B0.0434 C0.0528D0.0562 答案：B 解析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，第4次恰好取完所有红球的概率为：210(910)2110+810210910110+(810)2210110=0.0434，故选：B 8、以下现象中不是随机现象的是（）A在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，正反两面都出现 B明天下雨 C连续两次抛掷同一骰子，两次都出现 2 点 D平面四边形的内角和是 360 答案：D 分析：根据随机现象的定义进行判断即可.因为平面四边形的内角和是 360是一个确定的事实，而其他三个现象都是随机出现的，所以选项 D 不符合题意，故选：D 9、将一个容量为 1000 的样本分成若干组，已知某组的频率为 0.4，则该组的频数是（）A4B40C250D400 答案：D 分析：直接利用频率的定义求解即可 一个容量为 1000 的样本分成若干组，某组的频率为 0.4，该组的频数为：1000 0.4=400 故选：小提示：本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题 10、甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（）A0.8B0.7C0.56D0.38 答案：D 解析：利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：=0.8 (1 0.7)+(1 0.8)0.7=0.38.故选：D 11、掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现 3 点或 6 点”，则事件，的关系是 A互斥但不相互独立 B相互独立但不互斥 C互斥且相互独立 D既不相互独立也不互斥 答案：B 事件=2,4,6，事件=3,6，事件=6，基本事件空间=1,2,3,4,5,6，所以()=36=12，()=26=13，()=16=1213，即()=()()，因此，事件与相互独立当“出现 6 点”时，事件，同时发生，所以，不是互斥事件故选 B 12、下列命题中正确的是（）A事件发生的概率()等于事件发生的频率()B一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，说明这个骰子掷 6 次一定会出现一次 3 点 C掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则()=2()D对于两个事件、，若()=()+()，则事件与事件互斥 答案：C 解析：根据频率与概率的关系判断即可得 A 选项错误；根据概率的意义即可判断 B 选项错误；根据古典概型公式计算即可得 C 选项正确；举例说明即可得 D 选项错误.解：对于 A 选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故 A 选项错误；对于 B 选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷 6 次出现 3 点的次数也不确定，故 B 选项错误；对于 C 选项，根据概率的计算公式得()=1212 2=12，()=1212=14，故()=2()，故 C 选项正确；对于 D 选项，设 3,3，A 事件表示从3,3中任取一个数，使得 1,3的事件，则()=13，B 事件表示从3,3中任取一个数，使得 2,1的事件，则()=12，显然()=56=13+12=()+()，此时 A 事件与 B 事件不互斥，故 D 选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于 D 选项的判断，适当的举反例求解即可.填空题 13、将一枚骰子先后抛两次，则向上的点数之积为 12 的概率为_.（结果用最简分数表示）答案：19 分析：将一枚骰子先后抛两次，先计算所有可能的情况数，再分析其中向上的点数之积为 12 的情况数，进而求得概率即可 由题意，将一枚骰子先后抛两次，所有可能的情况有6 6=36种，其中向上的点数之积为 12 的情况有2 6,3 4,4 3,6 2共 4 种情况，故向上的点数之积为 12 的概率为436=19 所以答案是：19 14、商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9，若第5组表示的是尺码为40 42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为_双 答案：60 分析：先计算这周内某天第1，2，4组的频率，根据频率之和等于1可得第5组的频率，再由该频率乘以300即可得解.因为第1，2，4组的频数分别为6，7，9，所以第1，2，4组的频率分别为640=0.15，740=0.175，940=0.225，又因为第3组的频率为0.25，所以第5组的频率为1 0.25 0.15 0.175 0.225=0.2，所以售出的这300双皮鞋中尺码为40 42的皮鞋约为300 0.2=60双，所以答案是：60.15、某保险公司抽取了 1000 辆投保车辆，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4000 车辆数 500 130 100 160 110 若每辆车的投保金额均为 2700 元，则这 1000 辆车中赔付金额大于投保金额的概率为_ 答案：0.27#27100 分析：根据统计表分别求得赔付金额为 3000 元和 4000 元的概率，再利用互斥事件的概率求解.设表示事件“赔付金额为 3000 元”，表示事件“赔付金额为 4000 元”，且事件，互斥，则()=1601000=0.16，()=1101000=0.11，由于投保金额为 2700 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3000 元和 4000 元，所以所求概率为()+()=0.16+0.11=0.27 所以答案是：0.27 16、期末考试结束，高二（1）班班主任张老师从班里的 40 名学生中，随机抽取 10 名学生的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学生偏科现象将 10 名学生编号为 1、2、3、10，再将他们的两科成绩（单位：分）绘成如图所示的折线图从两科成绩均超过 70 分的学生中随机抽取 2 人进行访谈，则这 2 人中恰有 1 人是语文成绩高于数学成绩的概率为_ 答案：35#0.6 分析：依据古典概型去求这 2 人中恰有 1 人是语文成绩高于数学成绩的概率.设“抽取的这 2 人中恰有 1 人是语文成绩高于数学成绩”为事件B 因为两科成绩均超过 70 分的学生编号分别是 1、3、4、9、10，其中语文成绩高于数学成绩的学生编号分别是 1、4、10.则从这 5 位学生中随机抽取 2 人构成的样本空间为 =(1,3),(1,4),(1,9),(1,10),(3,4),(3,9),(3,10),(4,9),(4,10),(9,10)，10 个样本点 事件B包含(1,3),(1,9),(3,4),(3,10),(4,9),(9,10)，共 6 个样本点 所以这 2 人中恰有 1 人是语文成绩高于数学成绩的概率()=610=35 所以答案是：35 17、某医院某科室有 5 名医护人员，其中有医生 2 名，护士 3 名现要抽调 2 人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的 2 人中恰好为 1 名医生和 1 名护士的概率是_ 答案：35#0.6 分析：根据条件列举出所有的情况和满足条件的情况，利用古典概型的概率公式进行求解.设 2 名医生为a，b，3 名护士为c，d，e，则抽调 2 人的情况有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共 10 种不同结果，其中恰好为 1 名医生和 1 名护士的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be共 6 种不同结果，则所求概率为610=35.所以答案是：35.解答题 18、为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512(1)求p和q的值；(2)求甲、乙两人共答对 3 道题的概率 答案：(1)=34，=23(2)512 分析：（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解；（2）先求出甲、乙答对题目数为 0、1、2 的概率，再由甲乙总共答对 3 道题，等价于甲答对 2 道题乙答对 1道题或甲答对 1 道题乙答对 2 道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得.（1）设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则()=，()=设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，则=，=()()甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，A与B相互独立，与 互斥，()=()=()()=,()=()+()=()(1 ()+(1 ()()由题意得=12,(1 )+(1 )=512,解得=34,=23 或=23,=34.，=34，=23（2）设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，=0,1,2 由题意得(1)=1434+3414=38，(2)=3434=916，(1)=2313+1323=49，(2)=2323=49 设E：甲、乙两人共答对 3 道题，则=(1 2)(2 1)，()=(1 2)+(2 1)=3849+91649=512，甲、乙两人共答对 3 道题的概率为512 19、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.答案：（1）丙；（2）1130 解析：（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则()=4512=25，()=3423=12，()=2356=59.因为()()()，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则()=()+()+()=251249+251259+351259=1130.小提示：本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.20、现有两个红球（记为1，2），两个白球（记为1，2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.答案：（1）=(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,2)；（2）23.分析：（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；（2）事件空间中有 6 个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率 解：（1）两个红球（记为1，2），两个白球（记为1，2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间=(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,2).（2）试验的样本空间=(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,2)，包含 6 个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含 4 个样本点，恰好抽到一个红球一个白球的概率=46=23.