2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案).pdf

1专题专题 09 动点类题目图形最值问题探究动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解题型一：矩形中的相似求解例例 1.（2019绍兴）绍兴）如图，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，点 M、N 分别在边AB、CD 上，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，MN、EF 交于点 P.记 k=MN:EF.（1）若 a：b 的值为 1，当 MNEF 时，求 k 的值.（2）若 a：b 的值为，求 k 的最大值和最小值.21（3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE 时，求 a：b 的值.BCDAEMFN题型二：二次函数中几何图形最值求解题型二：二次函数中几何图形最值求解例例 2.（2019衡阳）衡阳）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3，0），与 y 轴交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB请问：MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由2题型三：二次函数中面积最值的求解题型三：二次函数中面积最值的求解例例 3.（2019自贡）自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线相交于点 A（-1,0）2:2C yaxxc和点 B（2,3）两点.（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点M 的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.417y题型四：反比例函数中面积最值的求解题型四：反比例函数中面积最值的求解例例 4.（2018扬州一模）扬州一模）如图 1，反比例函数 y=（x0）的图象经过点 A（2，1），射kx3线 AB 与反比例函数图象交于另一点 B（1，a），射线 AC 与 y 轴交于点 C，BAC=75，ADy 轴，垂足为 D（1）求 k 的值；（2）求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式；（3）如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求CMN 面积的最大值3题型五：反比例函数中面积最值的求解题型五：反比例函数中面积最值的求解例例 5.（2019达州）达州）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(1,0)，B(3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（CAO+CDO）=4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交BE 于点 M，交 y 轴于点 N，BMP 和EMN 的面积分别为 m、n，求 mn 的最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型题型六：二次函数中最值及最短路径题型例例 6.（2019绵阳）绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax2（a0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为 D，ABD 的面积为 5（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求 PE+PA 的最小值354例例 7.（2019潍坊）潍坊）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，O 为坐标原点，点 A（4，0），点B（0，4），ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且M 经过 O，A，C 三点（1）求圆心 M 的坐标；（2）若直线 AD 与M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点 B 且以圆心 M 为顶点的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 PEy 轴，交直线AD 于点 E若以 PE 为半径的P 与直线 AD 相交于另一点 F当 EF4时，求点 P 的5坐标5答案与解析答案与解析题型一：矩形中的相似求解题型一：矩形中的相似求解例例 1.（2019绍兴）绍兴）如图，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，点 M、N 分别在边AB、CD 上，点 E、F 分别在边 BC、AD 上，MN、EF 交于点 P.记 k=MN:EF.（1）若 a：b 的值为 1，当 MNEF 时，求 k 的值.（2）若 a：b 的值为，求 k 的最大值和最小值.21（3）若 k 的值为 3，当点 N 是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE 时，求 a：b 的值.BCDAEMFN【分析】（1）当 a：b=1 时，可得四边形 ABCD 为正方形，由 MNEF，可证MN=EF，即 k=1；（2）先确定 MN 和 EF 的取值范围，当 MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据 N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即 N 分别与 D 点和C 点重合，依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）当 a：b=1 时，即 AB=BC，四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABCD 是正方形，过 F 作 FGBC 于 G，过 M 作 MHCD 于 H，如下图所示，BCDAEMFNGHMNEF，6NMH=EFG，MHN=FGE=90，MH=FG，MNHFEG，MN=EF，即 k=1；（2）由题意知：b=2a，所以得：aEF，2aMN,5a5a所以当 MN 取最大值，EF 取最小值时，k 取最大值，为；5当 MN 取最小值，EF 取最大值时，k 取最小值，为；2 55（3）如下图所示，BCDAEMFNP连接 FN，ME，设 PE=x，则 EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x，PFPNPEPM又FPN=MPE，FPNEPM，PFN=PEM，FNME，当 N 点与 D 点重合时，由 FNME 得，M 点与 B 点重合，BCDAE（M）F（N）PH过 F 作 FHBD 于 H，7MPE=60，PFH=30，PH=x，FH=，BH=BP+PH=4x，DH=5x，3x在 RtDFH 中，tanFDH=，35即 a:b=;35当 N 点与 C 点重合时，过BCDAEMF（N）PH过点 E 作 EHMN 于 H，连接 EM，则 PH=x，EH=，CH=PC+PH=13x，3x在 RtECH 中，tanECH=，313MEFC，MEB=FCB=CFD，B=D，MEBCFD，=2,CDFCMBME即 a:b=;22 313CDBMBCBC综上所述，a:b 的值为或.352 313题型二：二次函数中几何图形最值求解题型二：二次函数中几何图形最值求解例例 2.（2019衡阳）衡阳）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3，0），与 y 轴交于点 N，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 CP，过点 P 作 CP 的垂线与 y 轴交于点 E8（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 P 在线段 OB（点 P 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点 M，连接 MN、MB请问：MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由POECBP 得出比例线段，可表示 OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段 OE 的最大值；（3）过点 M 作MHy 轴交 BN 于点 H，由 SMNBSBMH+SMNH即可求解【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0），10930bcbc解得：，23bc 抛物线函数关系表达式为 yx22x3；（2）由题意知：ABOA+OB4，在正方形 ABCD 中，ABC90，PCBE，OPE+CPB90，CPB+PCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，9，BCOPBPOE设 OPx，则 PB3x，43xxOEOE，221139344216xxx 当时，即 OP=时线段 OE 长有最大值，最大值为32x 32916（3）存在如图，过点 M 作 MHy 轴交 BN 于点 H，N 点坐标为（0，3），设直线 BN 的解析式为 ykx+b，303kbb 直线 BN 的解析式为 yx3，设 M（m，m22m3），则 H（m，m3），MHm3（m22m3）m2+3m，SMNBSBMH+SMNH，221132732228mmm a时，MBN 的面积有最大值，最大值是，此时 M 点的坐标为（）3227831524，题型三：二次函数中面积最值的求解题型三：二次函数中面积最值的求解例例 3.（2019自贡）自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线相交于点 A（-1,0）2:2C yaxxc10和点 B（2,3）两点.（1）求抛物线 C 函数表达式；（2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点M 的坐标；（3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.417y【答案】见解析.【解析】解：（1）把 A（-1,0），B（2,3）代入抛物线得：20443acac解得31ca抛物线的函数表达式为：y=x2+2x+3（2）A（-1,0），B（2,3），直线 AB 的解析式为：y=x+1，如下图所示，过 M 作 MNy 轴交 AB 于 N，设 M(m,m2+2m+3)，N(m,m+1)，（-1m2）MN=m2+m+2，11SABM=SAMN+SBMN=1()2BAxxMNSABM=，2213127(2)3()2228mmm 当时，ABM 的面积有最大值，而 SMANB=2SABM=，此时21m8274271 7(,)2 2M（3）存在，点15(1,)4F理由如下：抛物线顶点为 D，则 D（1,4），则顶点 D 到直线的距离为，417y41设、，设 P 到直线的距离为 PG.(1,)Fn2(,23)P xxx417y则 PG=，22175(23)244xxxx P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF，当 P 与顶点 D 重合时，也有 PG=PF.此时 PG=，即顶点 D 到直线的距离为，41417y14PF=DF=，41，)415,1(FPG=PF，PG2=PF2，2222222153(1)(23)(1)(2)44PFxxxxxx2225(2)4PGxx222222153(1)(23)(1)(2)44xxxxxx225(2)4xx整理化简可得 0 x=0，当时，无论取任何实数，均有 PG=PF.)415,1(Fx题型四：反比例函数中面积最值的求解题型四：反比例函数中面积最值的求解例例 4.（2018扬州一模）扬州一模）如图 1，反比例函数 y=（x0）的图象经过点 A（2，1），射kx3线 AB 与反比例函数图象交于另一点 B（1，a），射线 AC 与 y 轴交于点 C，BAC=75，ADy 轴，垂足为 D（1）求 k 的值；（2）求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式；12（3）如图 2，M 是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 lx 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求CMN 面积的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）将 A（2，1）代入反比例函数 y，3kxk2；3（2）由（1）知，反比例函数解析式为 y，2 3x点 B（1，a）在反比例函数 y的图象上，2 3xa2，3点 B（1，2）3过 B 作 BEAD 于 E，如下图所示，则 AEBE213ABEBAE45又BAC75，DAC30DCtan30AD2，32 3313OC1，即 C（0，1）设直线 AC 的解析式为 ykx+b，2 311kbb 解得331kb 直线 AC 的解析式为 yx133（3）设 M（m，），N（m，m1）2 3m33则 MN（m1）m+1，2 3m332 3m33SCMN（m+1）mm2+m+122 3m33（m）2+36329 38当 m时，CMN 的面积有最大值，最大值为.329 38题型五：反比例函数中面积最值的求解题型五：反比例函数中面积最值的求解例例 5.（2019达州）达州）如图 1，已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 A(1,0)，B(3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点 C 的坐标；（2）设点 D 是 x 轴上一点，当 tan（CAO+CDO）=4 时，求点 D 的坐标；（3）如图 2，抛物线与 y 轴交于点 E，点 P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA 交BE 于点 M，交 y 轴于点 N，BMP 和EMN 的面积分别为 m、n，求 mn 的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（3，0）代入 yx2+bx+c，得，01093bcbc 14解得 b2，c3，yx22x+3（x+1）2+4，此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点 C 的坐标为（1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为 x1，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 H，H（1，0），在 RtCHO 中，CH4，OH1，tanCOH4，CHOHCOHCAO+ACO，当ACOCDO 时，tan（CAO+CDO）tanCOH4，如下图所示，当点 D 在对称轴左侧时，ACOCDO，CAOCAO，AOCACD，ACAOADACAC，AO1，2 5AD20，OD19，D（19，0）；当点 D 在对称轴右侧时，点 D 关于直线 x1 的对称点 D的坐标为（17，0），点 D 的坐标为（19，0）或（17，0）；（3）设 P（a，a22a+3），设直线 PA 的解析式为：y=kx+b，将 P（a，a22a+3），A（1，0）代入 ykx+b，15，2230akbaakb 解得，ka3，ba+3，y（a3）x+a+3，当 x0 时，ya+3，N（0，a+3），如下图所示，m=SBPMSBPAS四边形 BMNOSAON，n=SEMNSEBOS四边形 BMNO，mnSBPASEBOSAON4（a22a+3）331（a+3）1212122（a+）2+，988132当 a时，mn 有最大值.988132题型六：二次函数中最值及最短路径题型题型六：二次函数中最值及最短路径题型例例 6.（2019绵阳）绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数 y=ax2（a0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A在点 B 的左侧），OA=1，经过点 A 的一次函数 y=kx+b（k0）的图象与 y 轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为 D，ABD 的面积为 5（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求 PE+PA 的最小值3516【答案】见解析.【解析】解：（1）由平移知，平移后得到的抛物线解析式为 y=a（x-1）2-2，OA=1，点 A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，得：a=，12抛物线的解析式为，即21122yx21322yxx令 y=0，解得 x1=-1，x2=3，B（3，0），AB=OA+OB=4，ABD 的面积为 5，SABD=AByD=512yD=，52，解得 x1=-2，x2=4，2513222xxD（4，），52设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，解得：，5420kbkb 1212kb直线 AD 的解析式为：y=x+.1212（2）过点 E 作 EMy 轴交 AD 于 M，如下图所示，设 E（a，a2a），M（a，a+），1232121217ME=a2+a+2，1232SACE=SAMESCME=（a23a4）=（a）2+，1414322516当 a=时，ACE 的面积有最大值，最大值是，此时 E 点坐标为（，）32251632158（3）作 E 关于 x 轴的对称点 F，连接 EF 交 x 轴于点 G，过点 F 作 FHAE 于点 H，交轴于点 P，AG=，EG=，52158,43AGEGAGE=AHP=90sinEAG=，35PHEGAPAEPH=AP，35E、F 关于 x 轴对称，PE=PF，PE+AP=FP+HP=FH，此时 FH 最小，35EF=，AEG=HEF，15418sinAEG=sinHEF=45AGFHAEAEFH=3即 PE+PA 的最小值是 335例例 7.（2019潍坊）潍坊）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，O 为坐标原点，点 A（4，0），点B（0，4），ABO 的中线 AC 与 y 轴交于点 C，且M 经过 O，A，C 三点（1）求圆心 M 的坐标；（2）若直线 AD 与M 相切于点 A，交 y 轴于点 D，求直线 AD 的函数表达式；（3）在过点 B 且以圆心 M 为顶点的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 PEy 轴，交直线AD 于点 E若以 PE 为半径的P 与直线 AD 相交于另一点 F当 EF4时，求点 P 的5坐标【答案】见解析【解答】解：（1）AC 为ABO 的中线，点 B（0，4），点 C（0，2），点 A（4，0），点 M 为线段 AC 的中点，即 M（2，1）；（2）P 与直线 AD，则CAD90，设CAO，则CAOODAPEH，tanCAOtan，则 sin，cos，12OCOA552 55AC，则 CD10，10sinAC19则 D（0，8），设直线 AD 的解析式为：ymx+n：得：，解得：k=2，b=8，840bkb 直线 AD 的表达式为：y2x8；（3）抛物线的表达式为：ya（x2）2+1，将点 B 坐标代入上式并解得：a，34故抛物线的表达式为：yx23x+4，34过点 P 作 PHEF，则 EHEF2，125cosPEH2 5cos5EHPE得：PE5，设点 P（x，x23x+4），则点 E（x，2x8），34则 PEx23x+42x+85，34解得 x或 2（舍），143则点 P（，）143193