四川省德阳市2014年中考数学试卷及答案【Word解析版】.doc

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2014年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1．（3分）（2014•德阳）实数﹣的相反数是（　　）

A．
﹣2
B．

C．
2
D．
﹣|﹣0.5|

分析：
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．
解答：
解：﹣的相反数是，
故选：B．
点评：
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的概念即可．

2．（3分）（2014•德阳）如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（　　）

A．
84°
B．
106°
C．
96°
D．
104°

考点：
平行线的性质．菁优网版权所有
分析：
根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答：
解：∵a∥b，
∴∠ABC=∠1=46°，
∵∠A=38°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．
故选C．
点评：
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．

3．（3分）（2014•德阳）下列运算正确的是（　　）

A．
a2+a=2a4
B．
a3•a2=a6
C．
2a6÷a2=2a3
D．
（a2）4=a8

考点：
整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
解答：
解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=a5，错误；
C、原式=2a4，错误；
D、原式=a8，正确，
故选D
点评：
此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（3分）（2014•德阳）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
解答：
解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，
第二横行有3个正方形，
第三横行中间有一个正方形．
故选B．
点评：
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．（3分）（2014•德阳）如图是某射击选手5次设计成绩的折线图，根据图示信息，这5次成绩的众数、中位数分别是（　　）

A．
7、8
B．
7、9
C．
8、9
D．
8、10

考点：
折线统计图；中位数；众数．菁优网版权所有
分析：
由折线图可知，射击选手五次射击的成绩为：7、7、8、10、9，再根据众数、中位数的计算方法即可求得．
解答：
解：∵射击选手五次射击的成绩为：7、7、8、10、9，
∴众数为7，中位数为8，
故选：A．
点评：
本题考查了折线图的意义和众数、中位数的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．

6．（3分）（2014•德阳）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和5cm，两圆的圆心距为4cm，则两圆的位置关系是（　　）

A．
相交
B．
内切
C．
外离
D．
内含

考点：
圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
分析：
先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系．
解答：
解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=4cm，
5﹣3＜4＜5+3，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2相交．
故选A．
点评：
本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

7．（3分）（2014•德阳）已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）

A．
﹣10.5
B．
2
C．
﹣2.5
D．
﹣6

考点：
二次函数的最值．菁优网版权所有
分析：
把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．
解答：
解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
又∵0≤x≤，
∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．
故选：C．
点评：
本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．

8．（3分）（2014•德阳）如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（　　）

A．
（，1）
B．
（，﹣1）
C．
（1，﹣）
D．
（2，﹣1）

考点：
坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
设A1B1与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出OC、A1C，然后写出点A1的坐标即可．
解答：
解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC=×2=，
A1C=×2=1，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故选B．

点评：
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．

9．（3分）（2014•德阳）下列说法中正确的个数是（　　）
①不可能事件发生的概率为0；
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
利用频率估计概率；概率的意义．菁优网版权所有
分析：
利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选项．
解答：
解：①不可能事件发生的概率为0，正确；
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大，正确；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率，错误，
故选C．
点评：
本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率可以估计概率．

10．（3分）（2014•德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）

A．

B．
+1
C．
+2
D．
+3

考点：
勾股定理；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
分析：
根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB=；然后利用勾股定理、三角形的面积求得（AC+BC）的值，则易求该三角形的周长．
解答：
解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，
∴AB=2CD=．
∴AC2+BC2=5
又Rt△ABC的面积为1，
∴AC•BC=1，则AC•BC=2．
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9，
∴AC+BC=3（舍去负值），
∴AC+BC+AB=3+，即△ABC的周长是3+．
故选：D．

点评：
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．此题借助于完全平方和公式求得（AC+BC）的长度，减少了繁琐的计算．

11．（3分）（2014•德阳）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）

A．

B．

C．
2
D．

考点：
勾股定理；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
分析：
如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．
解答：
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形形，
∴AD=EF=x．
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，
∴BE=AB=x，
∴DF=AE==x，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x．
又BC=6，
∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，
解得 x=2
∴△ACD的面积是：AD•DF=x×x=×22=，
故选：A．

点评：
本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．

12．（3分）（2014•德阳）已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）

A．
﹣1＜b≤3
B．
2＜b≤3
C．
8≤b＜9
D．
3≤b＜4

考点：
分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．
解答：
解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，
解得：a=4或a=﹣1，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=﹣1，
已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，
∵不等式组只有4个3整数解，
∴3≤b＜4．
故选D
点评：
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．

二、填空题（每小题3分，共18分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（3分）（2014•德阳）下列运算正确的个数有　1　个．
①分解因式ab2﹣2ab+a的结果是a（b﹣1）2；②（﹣2）0=0；③3﹣=3．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：
①先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；②根据任何非零数的零指数次幂等于1解答；③合并同类二次根式即可．
解答：
解：①ab2﹣2ab+a，
=a（b2﹣2b+1），
=a（b﹣1）2，故本小题正确；
②（﹣2）0=1，故本小题错误；
③3﹣=2，故本小题错误；
综上所述，运算正确的是①共1个．
故答案为：1．
点评：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．（3分）（2014•德阳）一组数据3，4，5，x，7，8的平均数为6，则这组数据的方差是　　．

考点：
方差；算术平均数．菁优网版权所有
分析：
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
解答：
解：∵3，4，5，x，7，8的平均数是6，
∴x=9，
∴s2=[（3﹣6）2+（4﹣6）2+（5﹣6）2+（9﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]=×28=，
故答案为：．
点评：
本题考查方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

15．（3分）（2014•德阳）半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　．

考点：
正多边形和圆．菁优网版权所有
分析：
作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．
解答：
解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∵OD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵OB=1，
∴OD=．
故答案是：．

点评：
考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．

16．（3分）（2014•德阳）如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为　65°　．

考点：
翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析：
首先求得∠AEA′，根据折叠的性质可得∠A′ED=∠AED=∠AEA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．
解答：
解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，
又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．
故答案是：65°．
点评：
本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．

17．（3分）（2014•德阳）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是　301　．

考点：
等边三角形的判定与性质；平移的性质．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有n+1个，小等边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．
解答：
解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，
∴B′O=AB，CO=AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有3个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有n+1个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：100+1+2×100=301．
故答案为：301．

点评：
本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．

18．（3分）（2014•德阳）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的是　①③④　．（填番号）
①AC⊥DE；②=；③CD=2DH；④=．

考点：
直角梯形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所
分析：
在等腰直角△ADE中，根据等腰三角形三线合一的性质可得AH⊥ED，即AC⊥ED，判定①正确；进而可判定③；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°所以EC=2EH，因为∠ECB=15°，所以EC≠4EB，所以不成立②错误；根据全等三角形对应边相等可得CD=CE，再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过H作HM⊥AB于M，所以HM∥BC，所以△AHM∽△ABC，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定④正确．
解答：
解：∵∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∴AH⊥ED，
即AC⊥ED，故①正确；
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴EH≠2EB；故②错误．
：∵∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠BAC=45°，
∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=90°﹣45°=45°，
∴∠BAC=∠CAD，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD=CE，
∵∠BCE=15°，
∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，
∴∠CED=180°﹣∠BEC﹣∠AED=180°﹣75°﹣45°=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，故③正确；
过H作HM⊥AB于M，
∴HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
∵DH=AH，
∴，
∵△BEH和△CBE有公共底BE，
∴，故④正确，
故答案为：①③④．

点评：
此题考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定好性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．熟记各性质是解题的关键．

三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（6分）（2014•德阳）计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°．

考点：
实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣32+2﹣4+1=﹣33．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（11分）（2014•德阳）为增强环境保护意识，争创“文明卫生城市”，某企业对职工进行了依次“生产和居住环境满意度”的调查，按年龄分组，得到下面的各组人数统计表：
各组人数统计表
组号
年龄分组
频数（人）
频率
第一组
20≤x＜25
50
0.05
第二组
25≤x＜30
a
0.35
第三组
35≤x＜35
300
0.3
第四组
35≤x＜40
200
b
第五组
40≤x≤45
100
0.1
（1）求本次调查的样本容量及表中的a、b的值；
（2）调查结果得到对生产和居住环境满意的人数的频率分布直方图如图，政策规定：本次调查满意人数超过调查人数的一半，则称调查结果为满意．如果第一组满意人数为36，请问此次调查结果是否满意；并指出第五组满意人数的百分比；
（3）从第二张和第四组对生产和居住环境满意的职工中分别抽取3人和2人作义务宣传员，在这5人中随机抽取2人介绍经验，求第二组和第四组恰好各有1人被抽中介绍经验的概率．

考点：
频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：
（1）根据第一组的人数是50，频率是0.05即可求得总人数，则根据频率公式即可求得a、b的值；
（2）根据第一组的频数是36人，频率是0.06据此即可求得调查的总人数，则满意度即可求得；
（3）用A表示从第二组抽取的人，用B表示从第四组抽取的人，利用列举法即可求解．
解答：
解：（1）调查的总人数：50÷0.05=1000（人），
则a=1000×0.35=350，
b==0.2；

（2）满意的总人数是：36÷0.06=600（人），
则调查的满意率是：=0.6，则此次调查结果为满意；
第五组的满意的人数是：600×0.16=96（人），
则第五组的满意率是：×100%=96%；

（3）用A表示从第二组抽取的人，用B表示从第四组抽取的人．
，
总共有20种情况，则第二组和第四组恰好各有1人被抽中的概率是：=．
点评：
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（10分）（2014•德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

考点：
矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．菁优网版权所有
分析：
（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
解答：
解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
代入反比例函数解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；

（2）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8=3，
或×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．

点评：
本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（2）难点在于要分情况讨论．

22．（11分）（2014•德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：
农产品种类
A
B
C
每辆汽车的装载量（吨）
4
5
6
（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？
（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．

考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：
（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．等量关系：40辆车都要装运，A、B、C三种农产品共200吨；
（2）关系式为：装运每种农产品的车辆数≥11．
解答：
解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
，
解得．
答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；

（2）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则
4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，
解得：y=﹣2x+40．
由题意可得如下不等式组：，即，
解得：11≤x≤14.5
因为x是正整数，
所以x的值可为11，12，13，14；共4个值，因而有四种安排方案．
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．
方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．
点评：
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键．

23．（14分）（2014•德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．
（1）分别求出线段AP、CB的长；
（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果tan∠E=，求DE的长．

考点：
切线的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；
（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出DE=．
解答：
（1）解：∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，
∴BC==2，
∵直径FG⊥AB，
∴AP=BP=AB=2；

（2）证明：∵AP=BP，
∴OP为△ABC的中位线，
∴OP=BC=1，
∴=，
而==，
∴=，
∵∠EOC=∠AOP，
∴△EOC∽△AOP，
∴∠OCE=∠OPA=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP，
∴∠DCB=∠E，
∴tan∠DCB=tan∠E=
在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，
∴BD=3，
∴CD==，
∵BC∥EP，
∴=，即=，
∴DE=．
点评：
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．

24．（14分）（2014•德阳）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

考点：
二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有
专题：
综合题．
分析：
（1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x﹣4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．
（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．
（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题．
解答：
解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．
∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，
∴﹣8a=﹣8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x﹣4）
=x2﹣2x﹣8
=（x﹣1）2﹣9．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）．

（2）如图，
设直线CD的解析式为y=kx+b．
∴
解得：．
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
当y=0时，﹣x﹣8=0，
则有x=﹣8．
∴点E的坐标为（﹣8，0）．
设点P的坐标为（m，n），
则PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．
∵PM=EF，
∴m2﹣m=（m+8）．
整理得：5m2﹣6m﹣8=0．
∴（5m+4）（m﹣2）=0
解得：m1=﹣，m2=2．
∵点P在对称轴x=1的右边，
∴m=2．
此时，n=22﹣2×2﹣8=﹣8．
∴点P的坐标为（2，﹣8）．

（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10．
∴点M的坐标为（2，﹣10）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，
①若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，
则方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有两个相等的实数根．
∴（﹣1）2﹣4×1×c=0．
∴c=．
②若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点M，
则有22﹣2×2﹣8+c=﹣10．
∴c=﹣2．
③若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点E，
则有（﹣8）2﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．
∴c=﹣72．
综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．

点评：
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性．

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