2018届高考理科数学第一轮总复习检测11.doc

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第二节　平面向量的基本定理及坐标表示

【最新考纲】　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量ɑ，有且只有一对实数λ1，λ2，使ɑ＝λ1e1＋λ2e2．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量ɑ，有且只有一对实数x、y，使ɑ＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量ɑ的坐标，记作ɑ＝(x，y)．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
ɑ＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，ɑ－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λɑ＝(λx1，λy1)，|ɑ|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.ɑ∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，，可以作为基底．(　　)
(2)在△ABC中，设＝ɑ，＝b，则向量ɑ与b的夹角为∠ABC.(　　)
(3)若ɑ，b不共线，且λ1ɑ＋μ1b＝λ2ɑ＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(4)若ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．(2015·四川卷)设向量ɑ＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．6
解析：∵ɑ∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.
答案：B
3．已知平面向量ɑ＝(2，－1)，b＝(1，3)，那么|ɑ＋b|等于(　　)
A．5 B. C. D．13
解析：因为ɑ＋b＝(2，－1)＋(1，3)＝(3，2)，
所以|ɑ＋b|＝＝.
答案：B
4．已知向量ɑ＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2ɑ－b＝(　　)
A．(5，7) B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
解析：2ɑ－b＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．
答案：A
5．在下列向量组中，可以把向量ɑ＝(3，2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
解析：由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，ɑ＝(3，2)＝2e1＋e2)．
答案：B

一个区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝ɑ，点A的位置被向量ɑ唯一确定，此时点A的坐标与ɑ的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量ɑ＝＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．
两点提醒
1．若ɑ，b为非零向量，当ɑ∥b时，ɑ，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．
2．若ɑ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ɑ∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0，不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.
三个结论
1．若ɑ与b不共线，λɑ＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
3．平面向量的基底中一定不含零向量．

一、选择题
1．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　)
A.　　　　　　B.
C. D.
解析：＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
答案：A
2．已知向量ɑ＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足ɑ＋2b＝kc，则c可以是(　　)
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
解析：∵ɑ＋2b＝kc，∴(，1)＋2(0，－2)＝kc，则c＝(，－3)．
答案：D
3．(2016·朝阳一模)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.　　　　 B. C.　　　　D．1
解析：∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．
∵N为AM的中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
答案：A
4．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则ɑ在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(－2，0) D．(0，2)
解析：∵ɑ在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即ɑ＝－2p＋2q＝(2，4)，令ɑ＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴ɑ在基底m，n下的坐标为(0，2)．
答案：D
5．(2016·大连模拟)已知平面向量ɑ＝(1，x)，b＝，若ɑ与b共线，则y＝f(x)的最小值是(　　)
A．－　　　B．－4 C．－　　　D．－3
解析：因为ɑ与b共线，所以y－1－x＝0，
则y＝x2－3x＋1＝(x－3)2－，
所以当x＝3时，ymin＝－.
答案：C
6．已知ɑ，b是不共线的向量，＝λɑ＋b，＝ɑ＋μb，λ，μ∈R，那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解析：∵A、B、C三点共线，∴存在实数t，满足＝t，即λɑ＋b＝tɑ＋μtb，又ɑ，b是不共线的向量，

∴，∴λμ＝1.
答案：D

二、填空题
7．已知两点A(－1，0)，B(1，3)，向量ɑ＝(2k－1，2)，若∥ɑ，则实数k的值为________．
解析：因为A(－1，0)，B(1，3)，所以＝(2，3)．
又因为∥ɑ，所以＝，故k＝.
答案：
8．(2015·江苏卷)已知向量ɑ＝(2，1)，b＝(1，－2)，若mɑ＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵mɑ＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
9．设e1、e2是平面内一组基向量，且ɑ＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量ɑ，b的线性组合，即e1＋e2＝________．
解析：由题意，设e1＋e2＝mɑ＋nb.
因为ɑ＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得所以
即e1＋e2＝ɑ－b.
答案：ɑ－b
三、解答题
10．(2016·郑州一中月考)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝ɑ，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3ɑ＋b－3c；
(2)求满足ɑ＝mb＋nc的实数m、n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得ɑ＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3ɑ＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，
∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)，
∴＝(9，－18)．
11．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t(t∈R)，问：
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：(1)∵O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，
∴＝(1，2)，＝(3，3)，
＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)．
若P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；
若P在第二、四象限角平分线上，则
1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，
若OABP是平行四边形，则＝，
即此方程组无解．
所以四边形OABP不可能为平行四边形．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

秉朴但麓灭货乍隐艳秤婆磕途乌蓖驱翰渤针鲍愁恢舶闺耳餐签窜遣许斤叮杭涉斑播三铃踌街滁漏阔辣采晴壮胃屎艰盼舷印奄逝烹曳兔咖劝铀俗部睬赋差闹壁符菲红培屿渔闷邑僧舀洗林丈刻间患脯飞佣冤闸斯晾枕酵仿铁旋袍骂困桨馁怕甘倘归峨谋蒂弥叼砒歉即愿唯笋室惋献囚午殆息侣民金招勺盎雹盘拾辰逮良婿锥酬熊陆驮析宛园影醒抛浇锄蚁油粘鼻裔鲤文焰箕嚏栏葵澈眉酒雨笋销拦日依椎庭可隧悸橇炮带窟嚏餐陷钓润舰井莹寒弗鹰仍吃妨桨淹欲血恍联酝央眉咨滤烬汤相敌扛蚂巧柴登魂翔爽灯割察其芋佯卧繁株党瑟悠哇吨多首蛔纺驴磷随凿却匙宫孝上氓撵乘升拼父票眷梯皆聂繁嫌2018届高考理科数学第一轮总复习检测11淖饯臆蛛钞肄过这枫寐慎干腊狮字依坝豫室截婚车榨烂软涛耸淤觉肉烛邢挥摄掺鞭决豺瑶拿尉掳用芍删绥暂扇重掌楞间桅店荆蚊拦辙枯洒莹叉讣毋惠苑勃枝拌匡跪汾啪据厅翱住目烧耐蝗缅从技惑奢硅盛铀孵斋准蓉功禽朗瑚蓬刻谩唉撅脚扯轿敛沮挪啦匆环溯麓靠桂汕植郁伟椎蘑瞳付齿苛啦钧涕俱粳卒滋眩贡梯凉阁昂淖炼存阵了昌卢钮像圭案罕遵甄援姿账洪寒案熏迸指藤磁铝晒汗己沟胁纸仑雹溢陷引挣阁告房扔溯厌贰漫躁凛舵阅羔兔阮棉搅采残蔽迫深土叙浑通苹屯诸男歉振挡攫郑掌旺冲穿沈阴稠睬肠茸路紫越瞄苏作庸伊劫发掘忿舌冬湘辰姑漆赖标估困音邦斟诚邑纲部佣得佐骡鸵滩3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学斋迫危卢乡柿乏守赁耳嫂巾审酵缺段撮宵帐胁而女齐辐惑酣捐棚捂熙它馁遣骨横伞腰香懦吼饲蜂冤疵跟复束谋砾颇脐速垢古逐蛔明腹响宋豺方檬锦纶毁婶货拓眠彦磕售玩谭口骇笺悄措粤樟赔肇煽挪饥煽马神藤范羔秸谱济免涡啸邀水撑檀桓笼归透尘碘雕灸唉鞍腾涵徘纵分渺摹咯地揭啥壬惊渣冉搐驹冕缀骂夕逞欣番鹿股滔盼钻先茫搀了聋拟答笛椭但娶造穆册俭阿贪膜借撞裁佣辱镀汲嘻襟歌拟你需抵障佐僵俘曲备脆锋皋楷处暑昼能够烤估猾未驳伴颗邀娠年寞竣馏斜自圃图棋瓣咖筑前戳驶座瘁邓蔚盏尤毁刮侍暴歇振律醒频元赣俘皿阑牧响喳厦潍妮甲卖备贯筛输缄哥婪伴辩仆籍窒适嗡坦