基本物理量的测量与误差分析.doc

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基本物理量的测量与误差分析
摘要：通过实验掌握测量长度、时间、质量的基本方法，学会使用电子秒表、数字式智能计时仪、电子天平、千分尺、游标卡尺等仪器。通过数据处理掌握误差均分原理、不确定度的计算方法，深刻理解误差对实验数据的意义。
关键词：测量基本物理量的方法、误差分析、计算不确定度

一、引言
【实验背景】
让大学生了解大学物理实验的基本操作流程和规范，培养大学生测量物理实验中基本物理量和处理数据的能力。

【实验目的】
1. 学会几种常用测量仪器的正确使用方法。
2. 学习并掌握误差均分原理及其应用。
3. 学会用不确定度法分析评估实验结果。
4. 研究单摆的运动规律，测量本地重力加速度。
5. 研究扭摆的运动规律，测量转动惯量和切变模量。

【实验原理】
（一） 误差均分原理
设间接测量量值为y，它是由n个互不相关的直接测量量通过函数关系得到 &nbsp;
间接测量量的相对不确定度传递公式为 &nbsp;
间接测量量的相对标准不确定度传递公式为 &nbsp;
若假设 &nbsp;
则 &nbsp; &nbsp; 这一方法被称之为误差均分原理。
以单摆法测量重力加速度实验为例，运用误差均分原理进行实验设计如下：
由公式得到相对不确定度传递公式:

式中，g为重力加速度，L为单摆线长，T为单摆摆动周期。
若要求重力加速度＜%，应用误差均分原理，即
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
若单摆摆长，周期，得
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
选择米尺测量摆长，精度足以达到要求，而电子秒表的最小分度为0.01s（＞0.005s），显然精度达不到要求，记一个周期与记n个周期的反应时间相同，约为0.2s，所以测量n个周期比测量一个周期的测量精度要高，至少要测量n=0.2/0.005=40个周期才能达到。

（二） 单摆
理想的单摆是一根长度为、没有质量和弹性的柔软细线，下端系一个没有体积，质量为m的质点，在与地面垂直的平面内绕支点o作摆角θ趋于零的自由振动。
其振动周期T为

实际的单摆是悬线为一根有质量（弹性很小）的细线，摆球是有质量有体积的刚性小球，摆角不为零，而且又受空气浮力的影响，其摆动公式为

式中，T是单摆的摆动周期，g是重力加速度，、是单摆摆线的长度和质量，d、m、是摆球的直径、质量和密度，是摆角。
实验时，若选择一根长度为的柔软细线与直径为d的小球构成单摆，不计空气阻力的影响，使小球在竖直平面内作小角度（不大于5°）摆动，则单摆周期为

（三）扭摆
设有一弹性固体的一个长方形体积元，它的底面固定，在它的顶面A上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切向力F，在这个力的作用下，两个侧面将转过一定角度，通常称这样一种弹性形变为切变。在切变角比较小的情况下有

式中A为受切向力F的面积，为切变角，G是一个物质常数，称为切变模量。G的单位为N/m2，大多数材料的切变模量约是拉伸杨氏模量的1/2到1/3。在实验中，待测样品对象是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何上说，就是一个细长圆柱体。设圆柱体的半径为R，高为L，其上端固定，下端面受到一个外加扭转力矩的作用，即沿着圆面上各点的切向施加外力，于是圆柱体中各体积元（取半径为r、厚为dr的圆环状柱体为体积元）均生生切变。总的效果是圆柱体下端面绕中心轴线´扭转了一个角，通过积分可求得下式

其中为外力矩。设圆柱体内部的反向弹性力矩为，在平衡时则有，令（称为扭转系数），则有

钢丝在扭转摆动中的角位移以表示，爪手整个装置对其中心轴的转动惯量为，根据转动定律有

此方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期为

式中钢丝的扭转系数和摆动物体绕轴的转动惯量可以通过实验测得。首先测得转动系统本身（爪手）绕轴摆动的周期，这时的转动惯量为，再将一个已知内外直径、高度和质量的圆环水平放在爪手上，测得爪手与圆环一起绕钢丝转动的周期，系统的转动惯量为系统本身的转动惯量与圆环的转动惯量之和，可得
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
将此两式相减消去，得：

钢丝的切变模量为

由理论推导可知，圆环绕中心轴作水平摆动的转动惯量为

式中，b为圆环的内直径，c为圆环的外直径，M为圆环的质量。
若使圆环在垂直方向绕同一轴摆动，圆环的高度为d，这时圆环绕轴的转动惯量为

二、实验过程
【实验内容】
1、固定单摆摆长测量摆动周期，计算本地重力加速度，检验测量结果是否满足精度要求。
（1）设定摆长为50cm，要求Ur(g)&lt;1%,选配仪器并设计实验方案。
（2）用米尺和千分尺分别测量单摆的摆长和摆球的直径各五次。
（3）搭建单摆，使小球在小角度下作平面内自由摆动，用秒表测量50个摆动周期的时间，重复测量5次。
（4）计算测量结果，写出结果表达式。
&nbsp; （5）检验测量结果是否满足Ur(g)&lt;1%，如果不满足要求该怎么办？
&nbsp; &nbsp; &nbsp;
&nbsp;2、验证单摆摆长与振动周期平方成正比的关系。
&nbsp; （1）设置摆长为50cm，用秒表测量单摆摆动50个周期的时间。
&nbsp; （2）每次增加摆长5cm直至80cm,测量单摆摆动50个周期的对应时间。
&nbsp; （3）分别作出摆长与摆动周期、摆长与摆动周期平方的关系图。

L-T图像：

l-T^2图像：

&nbsp; 3、测量钢丝的扭转系数及系统本身绕对称轴的转动惯量。
（1）分别用电子天平和游标卡尺测量圆环的质量和内、外径各5次。
（2）搭建单线扭摆，用智能计时仪测量系统本身绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
（3）测量在爪手上水平放置圆环时整个系统绕钢丝转动的5个周期，重复5次。
（4）计算钢丝的扭转系数及转动系统本身的转动惯量I0。
（5）计算K和I0的不确定度，写出结果表达式。

&nbsp; 5、用扭摆法测量钢丝的切变模量G。
（1）用米尺测量摆线有效长度1次。
（2）用千分尺测量不同处的直径5次。
（3）用游标卡尺测量圆环内外径和高度各1次。
（4）用电子天平称量圆环的质量1次。
（5）搭建单线扭摆，分别将圆环以水平和垂直两种状态放置在爪手上，用智能计时仪测量扭摆摆动5个周期的时间5次。
（6）计算铜丝的切变模量G和不确定度，写出结果表达式。

【实验方法和技术】
1、 多次测量取平均值。
2、 控制摆角度数不大于5°
3、 控制物体扭转角度，使之不要太大。
4、 搭建扭摆时，调节仪器底座螺丝保证装置水平，控制磁铁和霍尔开关的距离，注意磁铁南北极对实验的影响。
【实验结果的分析和结论】
1、 重力加速度。
&nbsp; &nbsp; &nbsp;g=4π2(l+d/2)/T2=9.81m/s2
计算不确定度：
L: uA=√10-7 &nbsp; &nbsp;Δ仪=0.0005 &nbsp;取ρ=0.683 &nbsp;u仪=0.0005/√3
&nbsp;uB=√u仪2+u估2
&nbsp;则uL=√uA2+uB2
同理可得 uT
则Ur(g)=√(uL/L)2+(2uT/T)2=0.3%&lt;1%
2、计算扭转系数及转动惯量。
&nbsp;圆环绕中心轴水平摆动的转动惯量I1=M（b2+c2）/8
K=I14π2/(T12-T02)=2.16（kg*m2/s2）
&nbsp; &nbsp; 由误差均分原理得Uk
&nbsp; &nbsp; &nbsp;即K=2.157*104(1±0.15%)
&nbsp; &nbsp; 则I0=kT02/(4π2)=0.506(1±0.19%)kg•m2 &nbsp; &nbsp;
3、 通过图像说明单摆摆长和周期平方成正比。
4、 计算铜丝的切变模量。
G=2KL/πR4=6.145*10-10(1±3.25%) kg/m*s2
【实验遇到的问题及解决的方法】
1、 在扭摆实验中，有些时候磁块靠近霍尔开关不会计数。解决方法：1.改变磁极方向；2.调节磁铁和霍尔感应器的距离。
2、 在扭摆实验中无法解决装置本身的振动。解决方法：旋转装置顶部的旋钮，减弱装置本身的振动。

三、实验小结
【体会或收获】
本次实验为基本物理量的测量及误差分析，在实验中学到了基本测量器材的使用方式和技巧，了解了误差分析和数据处理的基本方法。

【实验建议】
在扭摆的实验中，霍尔开关的灵敏度不够，摆长太长不易做到定轴转动，建议适当提高霍尔开关的灵敏度，并减小摆长。在扭摆测量过程中不宜控制扭摆装置本身的振动，建议改进实验装置。

四、参考文献
1.华中科技大学物理实验教学中心，实验1:基本物理量的测量与误差分析，《大学物理实验实验讲义》，P1，2015年3月
2.熊永红，张昆实，任忠明，皮厚礼，单摆的设计与不确定度的分析，转动惯量的测定，《大学物理实验》，P33，P38，2007年8月

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