(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识归纳.pdf

1 (每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识归纳 高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识归纳高中数学第四章指数函数与对数函数重点知识归纳 单选题 1、已知9=10,=10 11,=8 9，则（）A 0 B 0C 0D 0 答案：A 分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知=log910 1，再利用基本不等式，换底公式可得 lg11，log89 ，然后由指数函数的单调性即可解出 方法一：（指对数函数性质）由9=10可得=log910=lg10lg9 1，而lg9lg11 (lg9+lg112)2=(lg992)2lg11lg10，即 lg11，所以=10 11 10lg11 11=0.又lg8lg10 (lg8+lg102)2=(lg802)2lg10lg9，即log89 ，所以=8 9 0 .方法二：【最优解】（构造函数）由9=10，可得=log910 (1,1.5)根据,的形式构造函数()=1(1)，则()=1 1，令()=0，解得0=11，由=log910 (1,1.5)知0(0,1).()在(1,+)上单调递增，所以(10)(8)，即 ，2 又因为(9)=9log910 10=0，所以 0 .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,的形式构造函数()=1(1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解 2、已知实数,(1,+)，且log2+log3=log2+log2，则（）A B C D 答案：B 分析：对log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，结合=1的单调性判断 ，同理利用换底公式得log2 1log2 log3，再根据对数运算性质得log2 log2，结合=log2单调性，继而得解.由log2+log3=log2+log2，变形可知log2 log2 log2 log2，利用换底公式等价变形，得log2 1log2 log2 1log2，由函数()=1在(0,+)上单调递增知，log2 log2，即 log3，得log2+log3 log3+log2，即log2 log2 log3 log3，同样利用()=1的单调性知，log2 log3，又因为log3=log3 log2，得log2 log2，即 ，所以 .故选：B.3、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365 37.7834；而把(1 1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365 0.0255.若“进步”的值是3 “退步”的值的 100 倍，大约经过(参考数据：lg101 2.0043，lg99 1.9956)（）天 A200 天 B210 天 C220 天 D230 天 答案：D 分析：根据题意可列出方程100 0.99=1.01，求解即可.设经过x天“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，则100 0.99=1.01，即(1.010.99)=100，=log1.010.99100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199=2lg101 lg99 22.00431.9956=20.0087 230 故选：D 4、已知函数()=,0(3)+4,0 满足对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，则a的取值范围为（）A(0,14B(0，1)C14,1)D(0，3)答案：A 分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1x2，都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 成立，不妨令x1f(x2)，于是可得f(x)为 R 上的减函数，则函数=在(,0)上是减函数，有0 1，函数=(3)+4在0,+)上是减函数，有 3 0，即 3，并且满足：0(0)，即4 1，解和 14，综上得0 0,(12)=2 2 0,(13)=23 3 0(14)=24 4 0，所以(12)(1)0，又函数()图象连续且在(0,+)单调递增，所以函数()的零点所在的区间是(12，1)，故选：B 小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.5 7、已知函数()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，若函数()=()恰有两个零点，则实数m不可能是（）A1B0C1D2 答案：D 解析：依题意画出函数图象，函数()=()的零点，转化为函数=()与函数=的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；解：因为()=2,(,0),(0,1)2+4 3,1,+)，画出函数图象如下所示，函数()=()的有两个零点，即方程()=()=0有两个实数根，即()=，即函数=()与函数=有两个交点，由函数图象可得 0或=1，故选：D 小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数6 的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 8、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型()=0e描述，假定某药物的消除速率常数=0.1（单位：h1），刚注射这种新药后的初始血药含量0=2000mg/L，且这种新药在病人体内的血药含量不低于 1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln2 0.693,ln3 1.099）A5.32hB6.23hC6.93hD7.52h 答案：C 分析：利用已知条件()=0e=2000e0.1，该药在机体内的血药浓度变为 1000mg/L 时需要的时间为1，转化求解即可.解：由题意得：()=0e=2000e0.1 设该要在机体内的血药浓度变为 1000mg/L 需要的时间为1(1)=2000e0.11 1000 e0.1112 故0.1 ln2，ln20.1 6.93 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93 故选：C 9、如图所示，函数=|2 2|的图像是（）7 AB CD 答案：B 分析：将原函数变形为分段函数，根据=1及 1时的函数值即可得解.=|2 2|=2 2,12 2,0.故选：B.10、若=log321在(0,+)内为增函数，且=也为增函数，则的取值范围是（）A(33,1)B(0,12)C(33,63)D(63,1)答案：D 分析：根据函数单调性，列出不等式组32 1 10 1，由=为增函数得0 10 1 C方程有两个正根的充要条件是0 1D方程有一个正根和一个负根的充要条件是 1，1是1 9的必要条件，所以选项 B 正确；由题得0 1，所以方程有两个正根的充要条件是0 1，所以选项 C 正确；由题得 0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0，所以选项 D 正确.对于选项 A，方程为2+3=0，方程没有实数根，所以选项 A 错误；对于选项 B，如果方程没有实数根，则=(3)2 4=2 10+9 0,所以1 1是1 0 0,所以0 1，所以方程有两个正根的充要条件是0 0 0,所以 0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是 0，且 1，则 0，0，log(+)=log+log B若 0，且 1，则 0，0，log log=log()C 0，0，ln()=ln+ln D 1，0，log=答案：BCD 分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项 AC，由对数的运算性质知 0，0有log()=log+log，而log(+)log+log，选项 A 错误，C 正确；对于选项 B，当=1时，log log=log()成立，选项 B 正确；对于选项 D，由对数的概念可知选项 D 正确 故选:BCD 14、已知函数()=|2 1|，实数，满足()=()(2B，使得0 +1 C2+2=2D+22 2=22+，所以2+1，则+0)2,(0)，则(2)=_ 答案：12#0.5 分析：首先计算(2)=1，从而得到(2)=(1)，即可得到答案.因为(2)=log122=1，所以(2)=(1)=21=12.所以答案是：12 17、函数()=log12(2 5+6)的单调递减区间为_.答案：(3,+)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：2 5+6 0，解得 3或 0)，=1.2+(0)，=log2(15+2)+(0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于 4.5 分，至少需要锻炼多少分钟.（注：2 1.414，结果保留整数）答案：(1)模型，理由见解析，=3log2(15+2)3(2)55 分钟 分析：（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将=4.5代入解析式即可.（1）第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当 0时，匀速增长；对于模型二，当 0时，先慢后快增长；13 对于模型三，当 0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选=log2(15+2)+.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式 将（0，0），（30，3）代入解析式得到+=0log24+=3，即+=02+=3，解得=3,=3，即=3log2(15+2)3.第四步：验证模型是否合适 当=90时，=3log2(6+2)3=6，满足每天得分最高不超过 6 分的条件.所以函数的解析式为=3log2(15+2)3.（2）由=3log2(15+2)3 4.5，得log2(15+2)2.5=log2252，得15+2 252=42 5.656，得 54.84，所以每天得分不少于 4.5 分，至少需要运动 55 分钟.20、某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(3500)万元(0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？14 答案：（1）500 名；（2）(0,5.解析：（1）求出剩下1000 名员工创造的利润列不等式求解；（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为10(3500)万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000)(1+1500)万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围 解：（1）由题意，得10(1000 )(1+0.2%)10 1000，即2 500 0，又 0，所以0 0，所以0 5.所以a的取值范围为(0,5.小提示：本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力