数列求和同步练习题含答案解析.pdf

数列求和基础题1数列12n1的前 n 项和 Sn_.2若数列an的通项公式是 an(1)n(3n2)，则 a1a2a10_.3数列 1，3，5，7，的前 n 项和 Sn_.1214181164已知数列an的通项公式是 an，若前 n 项和为 10，则项数1n n1n_.5数列an，bn都是等差数列，a15，b17，且 a20b2060.则anbn的前 20 项的和为_6等比数列an的前 n 项和 Sn2n1，则 a a a _.2 12 22 n7已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足 bnlog3an，则数列的前 n 项和 Sn_.1bnbn1二、解答题(每小题 15 分，共 45 分)8已知an为等差数列，且 a36，a60.(1)求an的通项公式；(2)若等比数列bn满足 b18，b2a1a2a3，求bn的前 n 项和公式9设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn.10已知首项不为零的数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的 r，tN*，都有2.SrSt(rt)(1)判断an是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若 a11，b11，数列bn的第 n 项是数列an的第 bn1项(n2)，求 bn；(3)求和 Tna1b1a2b2anbn.能力题1已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列的前 5 项和为_1an2若数列an为等比数列，且 a11，q2，则 Tn1a1a21a2a3的结果可化为_1anan13数列 1，的前 n 项和 Sn_.11211234在等比数列an中，a1，a44，则公比12q_；|a1|a2|an|_.5已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，且 S1135S6，则 S17的值为_6等差数列an的公差不为零，a47，a1，a2，a5成等比数列，数列Tn满足条件 Tna2a4a8a2n，则 Tn_.7设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前 n 项和 Sn.anbn8在各项均为正数的等比数列an中，已知 a22a13，且 3a2，a4,5a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3an，求数列anbn的前 n 项和 Sn.提高题提高题1.（北京卷）（北京卷）设，则等于（）4710310()22222()nf nnN()f nA.B.C.D.2(81)7n12(81)7n32(81)7n42(81)7n2.等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A9B10 C11 D123.（福建）数列的前项和为，若，则等于（）nannS1(1)nan n5SA1 B C D56161304.（全国（全国 IIII）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（）S 3S 613S 6S 12A.B.C.D.3101318195.（天津卷）（天津卷）已知数列、都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为、，且nanb1a1b，设（），则数列的前 10 项和等于（511ba*11,Nbanbnac*Nnnc）A55 B70C85D1006.（江苏卷）（江苏卷）对正整数n，设曲线在x2 处的切线与y轴交点的纵坐标为)1(xxyn，则数列的前n项和的公式是na1nan7.（0707 高考天津理高考天津理 2121）在数列）在数列中，中，na1112(2)2()nnnnaaanN，其中其中0（）求数列）求数列的通项公式；的通项公式；na（）求数列）求数列的前的前项和项和；nannS8、（0606 湖北卷理湖北卷理 1717）已知二次函数）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为的图像经过坐标原点，其导函数为()yf x，数列，数列的前的前 n n 项和为项和为，点，点均在函数均在函数的图的图()62fxxnanS(,)()nn SnN()yf x像上。像上。（）求数列）求数列的通项公式；的通项公式；na（）设）设，是数列是数列的前的前 n n 项和，求使得项和，求使得对所有对所有都成立都成立11nnnba anT nb20nmT nN的最小正整数的最小正整数 m m；9 9、求数列的前 n 项和：，231,71,41,1112 naaan参考答案基础题基础题1.解析Snnn2n1.12n12答案n2n12.解析设 bn3n2，则数列bn是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.答案153.解析由题意知已知数列的通项为 an2n1，则 Sn12nn12n12n21.12(112n)11212n答案n2112n4.解析an，Sna1a2an(1)(1n n1n1n23)()1.令110，得 n120.2n1nn1n1答案1205.解析由题意知anbn也为等差数列，所以anbn的前 20 项和为：S20720.20a1b1a20b20220 57602答案7206.解析当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn12n1(2n11)2n1，又a11 适合上式an2n1，a 4n1.2 n数列a 是以 a 1 为首项，以 4 为公比的等比数列2 n2 1a a a (4n1)2 12 22 n114n1413答案(4n1)137.解析设等比数列an的公比为 q，则q327，解得 q3.所以a4a1ana1qn133n13n，故 bnlog3ann，所以.1bnbn11nn11n1n1则数列的前 n 项和为 1 1.1bnbn11212131n1n11n1nn1答案nn18.解(1)设等差数列an的公差为 d.因为 a36，a60，所以Error!Error!解得 a110，d2.所以 an10(n1)22n12.(2)设等比数列bn的公比为 q.因为 b2a1a2a324，b18，所以8q24，即 q3.所以bn的前 n 项和公式为 Sn4(13n)b11qn1q9.解(1)设 q 为等比数列an的公比，则由 a12，a3a24 得 2q22q4，即 q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)，因此 q2.所以an的通项为 an22n12n(nN*)(2)Snn122n1n22.212n12nn1210.解(1)an是等差数列证明如下：因为 a1S10，令 t1，rn，则由2，得n2，即 Sna1n2，SrSt(rt)SnS1所以当 n2 时，anSnSn1(2n1)a1，且 n1 时此式也成立，所以an1an2a1(nN*)，即an是以 a1为首项，2a1为公差的等差数列(2)当 a11 时，由(1)知 ana1(2n1)2n1，依题意，当 n2 时，bnabn12bn11，所以 bn12(bn11)，又 b112，所以bn1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 bn122n1，即 bn2n1.(3)因为 anbn(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)Tn12322(2n1)2n13(2n1)，即Tn12322(2n1)2nn2，2Tn122323(2n1)2n12n2，得 Tn(2n3)2n1n26.能力题能力题1.解析设数列an的公比为 q.由题意可知 q1，且，解得91q31q1q61qq2，所以数列是以 1 为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得 S5.1an123116答案31162.解析an2n1，设 bn2n1，则1anan1(12)Tnb1b2bn 32n1.12(12)(12)12(114n)11423(114n)答案23(114n)3.解析由于数列的通项 an2，1123n2nn1(1n1n1)Sn2(112121313141n1n1)2.(11n1)2nn1答案2nn14.解析q38，q2.|a1|a2|an|2n1.a4a11212n1212答案22n1125.解析因 S1135S6，得 11a1d356a1d，即11 1026 52a18d7，所以 S1717a1d17(a18d)177119.17 162答案1196.解析设an的公差为 d0，由 a1，a2，a5成等比数列，得 a a1a5，即(72d)2 22(73d)(7d)所以 d2 或 d0(舍去)所以 an7(n4)22n1.又 a2n22n12n11，故 Tn(221)(231)(241)(2n11)(22232n1)n 2n2n4.答案2n2n47.解(1)设an的公差为 d，bn的公比为 q，则依题意有 q0 且Error!Error!解得Error!Error!所以 an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，anbn2n12n1Sn1，3215222n32n22n12n12Sn23.522n32n32n12n2，得 Sn22 2222222n22n12n122(11212212n2)2n12n1226.112n11122n12n12n32n18.解(1)设an公比为 q，由题意，得 q0，且Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!(舍去)所以数列an的通项公式为 an33n13n，nN*.(2)由(1)可得 bnlog3ann，所以 anbnn3n.所以 Sn13232333n3n.所以 3Sn132233334n3n1两式相减，得 2Sn3(32333n)n3n1(332333n)n3n1n3n1313n13.32n13n12所以数列anbn的前 n 项和为 Sn.32n13n14提高题提高题1、D2、B3、B4、A解析解析:由等差数列的求和公式可得且31161331,26153SadadSad可得0d 所以,故选 A6112161527312669010SaddSadd5、C解：数列、都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为、，且，nanb1a1b511ba设（），则数列的前 10 项和等于=*11,Nbanbnac*Nnnc1210bbbaaa，11119bbbaaa111(1)4baab11119bbbaaa=，选 C4561385 6、解：，曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n1(1)nnynxnx 切点为（2，-2n）,所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn=.21nnan数列的前 n 项和为 2+22+23+2n=2n+1-21nan7、（）解：由，11(2)2()nnnnaanN0可得，111221nnnnnnaa所以为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故，所以数列2nnna21nnnan的通项公式为 na(1)2nnnan（）解：设，234123(2)(1)nnnTnn345123(2)(1)nnnTnn当时，式减去式，1得，212311(1)(1)(1)1nnnnnTnn21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT这时数列的前项和 nan21212(1)22(1)nnnnnnS当时，这时数列的前项和1(1)2nn nT nan1(1)222nnn nS8、解：（）设这二次函数 f(x)ax2+bx(a0),则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3,b=2,所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.(,)()nn SnN()yf xnS当 n2 时，anSnSn1（3n22n）6n5.)1(2)132nn（当 n1 时，a1S13122615，所以，an6n5（）nN（）由（）得知，13nnnaab5)1(6)56(3nn)161561(21nn故 Tn（1）.niib121)161561(.)13171()711(nn21161n因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即21161n20mnN2120mm10，所以满足要求的最小正整数m为 10.9、解：设)231()71()41()11(12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741()1111(12 naaaSnn当 a1 时，（分组求和）2)13(nnnSn2)13(nn 当时，1a2)13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan