2018中考数学专题复习勾股定理含答案.pdf

第 1 页勾股定理勾股定理 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNPQ 的面积分别为S1、S2、S3若 S1+S2+S3=60，则 S2的值是（）A12B15C20D302以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.53如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是ABCD4下列条件中，不能判断ABC 为直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：4：55如图，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树干底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A8 米B12 米C5 米D5 或 7 米6如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则 AE=（）A1BCD27已知 a，b，c 为ABC 的三边长，且满足 a2c2b2c2=a4b4，判断ABC 的形状（）A等腰三角形B直角三角形第 2 页C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8如图是由 5 个正方形和 5 个等腰直角三角形组成的图形，已知号正方形的面积是 1，那么号正方形的面积是（）A4B8C16D329直角三角形的两边长分别是 6，8，则第三边的长为（）A10B2C10 或 2D无法确定10如图，在ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点已知ACB=90，BE=4，AD=7，则 AB 的长为（）A10B5C2D211长方形台球桌 ABCD 上，一球从 AB 边上某处 P 击出，分别撞击球桌的边BC、DA 各 1 次后，又回到出发点 P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图=）若 AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A不确定B12C11D10二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题）12勾股定理 a2+b2=c2本身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股数组可以发现，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1），分析上面规律，第 5 个勾股数组为 13如图，在ABC 中，AB=AC=6，BC=7，E 是 BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），DEFABC，其中点 A，B 的对应点分别是点 D，E当点E 运动时 DE 边始终经过点 A设 EF 与 AC 相交于点 G，当AEG 是等腰三角形时，BE 的长为 14如图，OP=1，过 P 作 PP1OP 且 PP1=1，根据勾股定理，得 OP1=；再过P1作 P1P2OP1且 P1P2=1，得 OP2=；又过 P2作 P2P3OP2且 P2P3=1，得OP3=2；依此继续，得 OP2019=，OPn=（n 为自然数，且第 3 页n0）15如图，已知点 A（1，0）和点 B（1，2），在 y 轴正半轴上确定点 P，使得ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P 的坐标为 16若一个三角形的三边长分别为 3，4，x，则使此三角形是直角三角形的 x的值是 17直角三角形三边长分别为 5，12，x，则 x2=若 a，b 为两个连续的正整数，且 ab，则 a+b=18有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的19如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若 S1=30，S2=40，则 S3=20如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则b 的面积为 21如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格”只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条22如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10cm，正方形 A2的边长为 6cm，正方形 B 的边长为5cm，正方形 C 的边长为 5cm，则正方形 D 的面积是 cm223设 x0，则三个正数 2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是 ；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的 x 的取值范围分别是 、三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题）24如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走5 海里，客船与货船速度的比为 4：3，货船沿东偏南 10方向航行，2 小时后货船到达 B 处，客船到达 C 处，若此时两船相距 50 海里（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向25从正面看一个底面直径为 10cm 的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外第 4 页1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐求杯子的高度26先阅读下列一段文字，在回答后面的问题已知在平面内两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式 P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2x1|或|y2y1|（1）已知 A（2，4）、B（3，8），试求 A、B 两点间的距离；（2）已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B 的纵坐标为1，试求 A、B 两点间的距离（3）已知一个三角形 ABC 其中两个顶点坐标为 A（0，6）、B（8，0）在坐标轴上是否存在点 C，使三角形 ABC 中 AB=AC 或者 AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点 C 的坐标；若不能，请说明理由27阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形理解：根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）若某三角形的三边长分别为 1、2，则该三角形 （填“是”或“不是”）奇异三角形探究：在 RtABC 中，两边长分别是 a、c，且 a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由拓展：在 RtABC 中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，且 ba，若 RtABC 是奇异三角形，求 a2：b2：c228如图，在ABC 中，ACB=90，BC=15，AC=20，CD 是高（1）求 AB 的长；第 5 页（2）求ABC 的面积；（3）求 CD 的长29阅读下列材料，并回答问题 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为 6、8，那么这个直角三角形斜边长为 （2）如图 1，ADBC 于 D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求 BD 的长度（3）如图 2，点 A 在数轴上表示的数是 ，请用类似的方法在图 2 数轴上画出表示数的 B 点（保留作图痕迹）30定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若以AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由（2）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若AB=24，AM=6，求 BN 的长31如图，将边长为 a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 ABCD，绕点 C 顺时针旋转 90得到长方形 FGCE，连接 AF通过用不同方法计算梯形 ABEF 的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程32在ABC 中，ABC=90，D 为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中 a，b 为常数，且 ab将ABD 沿射线 BC 方向平移，得到FCE，点 A、B、D 的对应点分别为点 F、C、E连接 BE（1）如图 1，若 D 在ABC 内部，请在图 1 中画出FCE；（2）在（1）的条件下，若 ADBE，求 BE 的长（用含 a，b 的式子表示）；（3）若BAC=，当线段 BE 的长度最大时，则BAD 的大小为 ；当线段 BE 的长度最小时，则BAD 的大小为 （用含 的式子表示）33如图，四边形 ABCD 中，ABC=135，BCD=120，第 6 页AB=，BC=5，CD=6，求 AD答案答案一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题）1如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNPQ 的面积分别为S1、S2、S3若 S1+S2+S3=60，则 S2的值是（）A12B15C20D30【分析】设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1=4m+S2，S3=S24m，依据S1+S2+S3=60，可得 4m+S2+S2+S24m=60，进而得出 S2的值【解答】解：设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1=4m+S2，S3=S24m，因为 S1+S2+S3=60，所以 4m+S2+S2+S24m=60，即 3S2=60，解得 S2=20故选：C【点评】此题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理2以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.5【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形【解答】解：A、因为 32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误；B、因为 92+122=152，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，此选项正确；D、因为 0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，此选项错误第 7 页故选：C【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形3如图，有四个三角形，各有一边长为 6，一边长为 8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是ABCD【分析】过 C 作 CDAB 于 D，依据 AB=6，AC=8，可得 CD8，进而得到当 CD与 AC 重合时，CD 最长为 8，此时，BAC=90，ABC 的面积最大【解答】解：如图，过 C 作 CDAB 于 D，AB=6，AC=8，CD8，当 CD 与 AC 重合时，CD 最长为 8，此时，BAC=90，ABC 的面积最大，BC=10，四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为 6，8，10，故选：C【点评】本题主要考查了三角形的面积以及勾股定理的逆定理，关键在于正确的表示出斜边、直角边的长度，熟练运用勾股定理的逆定理进行分析4下列条件中，不能判断ABC 为直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：4：5【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和为 180 度，即可判断出三角形的形状第 8 页【解答】解：A、因为 1.52+22=2.52符合勾股定理的逆定理，故ABC 为直角三角形；B、因为 a：b：c=5：12：13，所以可设 a=5x，b=12x，c=13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，故ABC 为直角三角形；C、因为A+B=C，A+B+C=180，则C=90，故ABC 为直角三角形；D、因为A：B：C=3：4：5，所以设A=3x，则B=4x，C=5x，故3x+4x+5x=180，解得 x=15，3x=153=45，4x=154=60，5x=155=75，故此三角形是锐角三角形故选：D【点评】此题考查了解直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键5如图，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树干底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A8 米B12 米C5 米D5 或 7 米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度【解答】解：一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，折断的部分长为=5，折断前高度为 5+3=8（米）故选：A【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力6如图所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，则 AE=（）A1BCD2【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可【解答】解：AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，第 9 页AC=；AD=；AE=2故选：D【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方7已知 a，b，c 为ABC 的三边长，且满足 a2c2b2c2=a4b4，判断ABC 的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断ABC 的形状【解答】解：由 a2c2b2c2=a4b4，得a4+b2c2a2c2b4=（a4b4）+（b2c2a2c2）=（a2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2c2）=（a+b）（ab）（a2+b2c2）=0，a+b0，ab=0 或 a2+b2c2=0，即 a=b 或 a2+b2=c2，则ABC 为等腰三角形或直角三角形故选：D第 10 页【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可8如图是由 5 个正方形和 5 个等腰直角三角形组成的图形，已知号正方形的面积是 1，那么号正方形的面积是（）A4B8C16D32【分析】等腰直角三角形中，直角边长和斜边长的比值为 1：，正方形面积为边长的平方；所以要求号正方形的面积，求出号正方形的边长即可【解答】解：要求号正方形的面积，求号正方形的边长即可，题目中给出号正方形的面积为 1，即号正方形的边长为 1，根据勾股定理 4 号正方形的边长为=，以此类推，可以求得号正方形边长为 4，所以号正方形面积为 44=16故选：C【点评】本题考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的运用，已知直角边求斜边边长，解本题的关键是正确的运用勾股定理9直角三角形的两边长分别是 6，8，则第三边的长为（）A10B2C10 或 2D无法确定【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：长为 8 的边可能为直角边，也可能为斜边当 8 为直角边时，根据勾股定理，第三边的长=10；当 8 为斜边时，根据勾股定理，第三边的长=2故选：C第 11 页【点评】此题易忽视的地方：长为 8 的边可能为直角边，也可能为斜边10如图，在ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点已知ACB=90，BE=4，AD=7，则 AB 的长为（）A10B5C2D2【分析】设 EC=x，DC=y，则直角BCE 中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC 中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得 x、y，在直角ABC 中，AB=【解答】解：设 EC=x，DC=y，ACB=90，在直角BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得 x=，y=1在直角ABC 中，AB=2，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和直角ADC 求 DCBC 的长度是解题的关键11长方形台球桌 ABCD 上，一球从 AB 边上某处 P 击出，分别撞击球桌的边BC、DA 各 1 次后，又回到出发点 P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（例如图=）若 AB=3，BC=4，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为（）A不确定B12C11D10【分析】要求球走过的总长度，就要求 PQ+QR，根据计算得 PQ+QR=BD=AC根据此关系式可以解题【解答】解：令 PQAC，则 QRBD，撞击前后的路线与桌边所成的角相等图中所有三角形均相似；+=1，即 PQ+QR=AC=BD，同理 PS+SR=AC=BD，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC第 12 页AC=5，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10故选：D【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中令 PQAC 是解题的关键二填空题（共二填空题（共 12 小题）小题）12勾股定理 a2+b2=c2本身就是一个关于 a，b，c 的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股数组可以发现，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1），分析上面规律，第 5 个勾股数组为（11，60，61）【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1），可得第 5 组勾股数中间的数为：5（11+1）=60，进而得出（11，60，61）【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1（3+1），12=2（5+1），24=3（7+1），可得第 4 组勾股数中间的数为 4（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；第 5 组勾股数中间的数为：5（11+1）=60，即（11，60，61），故答案为：（11，60，61）【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理逆定理13如图，在ABC 中，AB=AC=6，BC=7，E 是 BC 上的一个动点（不与点B，C 重合），DEFABC，其中点 A，B 的对应点分别是点 D，E当点E 运动时 DE 边始终经过点 A设 EF 与 AC 相交于点 G，当AEG 是等腰三角形时，BE 的长为1 或第 13 页【分析】首先由AEF=B=C，且AGEC，可得 AEAG，然后分别从AE=EG 与 AG=EG 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案【解答】解：AEF=B=C，且AGEC，AGEAEF，AEAG；当 AE=EG 时，则ABEECG，CE=AB=6，BE=BCEC=76=1，当 AG=EG 时，则GAE=GEA，GAE+BAE=GEA+CEG，即CAB=CEA，又C=C，CAECBA，CE=，BE=7=；BE=1 或故答案为：1 或【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键14如图，OP=1，过 P 作 PP1OP 且 PP1=1，根据勾股定理，得 OP1=；再过P1作 P1P2OP1且 P1P2=1，得 OP2=；又过 P2作 P2P3OP2且 P2P3=1，得OP3=2；依此继续，得 OP2019=，OPn=（n 为自然数，且n0）【分析】根据题意找出规律，根据规律解答第 14 页【解答】解：由题意得，OP1=；OP2=；OP3=，则 OP2019=，OPn=，故答案为：；【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c215如图，已知点 A（1，0）和点 B（1，2），在 y 轴正半轴上确定点 P，使得ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P 的坐标为（0，3）或（0，1+）【分析】分两种情况进行讨论，过 B 作 BPAB，交 y 轴于 P，过 B 作 BDCP于 D，则ABP=90，BD=1，依据BCP 是等腰直角三角形，即可得到点 P的坐标；当APB=90时，ABP 是直角三角形，依据 C 为 AB 的中点，AB=2，即可得到点 P 的坐标【解答】解：如图，过 B 作 BPAB，交 y 轴于 P，过 B 作 BDCP 于 D，则ABP=90，BD=1，点 A（1，0）和点 B（1，2），直线 AB 的表达式为 y=x+1，令 x=0，则 y=1，C（0，1），即 OC=1=OA，AOC 是等腰直角三角形，ACO=45=BCP，BCP 是等腰直角三角形，CP=2BD=2，OP=1+2=3，P（0，3）；第 15 页如图，当APB=90时，ABP 是直角三角形，点 A（1，0），点 B（1，2），点 C（0，1），C 为 AB 的中点，AB=2，CP=AB=，OP=1+，P（0，1+），综上所述，点 P 的坐标为（0，3）或（0，1+）故答案为：（0，3）或（0，1+）【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况16若一个三角形的三边长分别为 3，4，x，则使此三角形是直角三角形的 x的值是5 或【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边 4 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即 4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：设第三边为 x（1）若 4 是直角边，则第三边 x 是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以 x=5；（2）若 4 是斜边，则第三边 x 为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以 x=；所以第三边的长为 5 或【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解17直角三角形三边长分别为 5，12，x，则 x2=169 或 119若 a，b 为两个连续的正整数，且 ab，则 a+b=9【分析】分 12 为直角边和 12 为斜边两种情况，根据勾股定理计算；根据无理第 16 页数的估算方法、算术平方根的概念解答【解答】解：当 12 为直角边时，x2=52+122=169，当 12 为斜边时，x2=12252=119；162025，45，a=4，b=5，a+b=9，故答案为：169 或 119；9【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c218有一棵 9 米高的大树，树下有一个 1 米高的小孩，如果大树在距地面 4 米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树4米之外才是安全的【分析】根据题意构建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答【解答】解：如图，BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m，则 BC=41=3m，AB=94=5m，在 RtABC 中，AC=4【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答19如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若 S1=30，S2=40，则 S3=70【分析】根据勾股定理以及圆面积公式，可以证明：S1+S2=S3故 S3=70【解答】解：设直角三角形三边分别为 a、b、c，如图所示：则 S1=（）2=，S2=（）2=，S3=（）2=因为 a2+b2=c2，所以+=即 S1+S2=S3第 17 页所以 S3=70【点评】注意发现此图中的结论：S1+S2=S320如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 5 和 11，则b 的面积为16【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE，从而得到 b 的面积=a 的面积+c 的面积【解答】解：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90ACB=DECABC=CDE，AC=CE，在ABC 和CDE 中，ABCCDE（AAS），BC=DE（如上图），根据勾股定理的几何意义，b 的面积=a 的面积+c 的面积b 的面积=a 的面积+c 的面积=5+11=16【点评】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键21如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格”只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段8条【分析】如图，由于每个小正方形的边长为 1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有 8 条【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段22如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10cm，正方形 A2的边长为 6cm，正方形 B 的边长为5cm，正方形 C 的边长为 5cm，则正方形 D 的面积是14cm2第 18 页【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答【解答】解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，得正方形 A2，B，C，D 的面积和等于最大的正方形的面积，所以正方形 D 的面积=100362525=14cm2【点评】此题注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积23设 x0，则三个正数 2x，3x，x+5，构成三角形三边的条件是；构成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的 x 的取值范围分别是x=或 x=、x、x或x【分析】根据三角形两边之和大于第三边，根据三边表达式列不等式求解；直角三角形两直角边平方和等于第三边平方，锐角三角形两边平方和大于第三边平方，钝角三角形两边平方和小于钝角所对应的边的平方【解答】解：构成三角形则要满足2x+3xx+5，即 4x5，则 x，即可；当三角形为直角三角形时，若 x+53x，即 x（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得 x=，若 3xx+5，即 x（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得 x=当构成锐角三角形时，即（2x）2+（3x）2（x+5）212x210 x250解得 x第 19 页（2x）2+（x+5）2（3x）24x2+10 x+250 x综上，构成锐角三角形的 x 的取值范围是：x；当构成钝角三角形时，若 x+53x，即 x（2x）2+（3x）2（x+5）2解得x，若 3xx+5，即 x（2x）2+（x+5）2（3x）2解得 x综上，构成钝角三角形的 x 的取值范围是：x或 x；故答案为 x，x=或 x=，x；x或 x，【点评】本题考查了三角形成构成条件，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中确定以 x+5 为第三边是解本题的关键三解答题（共三解答题（共 10 小题）小题）24如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口 A 出发，客船每小时比货船多走5 海里，客船与货船速度的比为 4：3，货船沿东偏南 10方向航行，2 小时后货船到达 B 处，客船到达 C 处，若此时两船相距 50 海里（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向【分析】（1）设两船的速度分别是 4x 海里/小时和 3x 海里/小时，依据客船每小时比货船多走 5 海里，列方程求解即可；（2）依据 AB2+AC2=BC2，可得ABC 是直角三角形，且BAC=90，再根据货船沿东偏南 10方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东 10方向【解答】解：（1）设两船的速度分别是 4x 海里/小时和 3x 海里/小时，依题意第 20 页得4x3x=5解得 x=5，4x=20，3x=15，两船的速度分别是 20 海里/小时和 15 海里/小时；（2）由题可得，AB=152=30，AC=202=40，BC=50，AB2+AC2=BC2，ABC 是直角三角形，且BAC=90，又货船沿东偏南 10方向航行，客船航行的方向为北偏东 10方向【点评】此题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出 AB 的长是解题关键25从正面看一个底面直径为 10cm 的圆柱体饮料杯子如图所示，在它的正中间竖直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不动），吸管露出杯子外1cm，当吸管伸向杯壁底部时，吸管顶端刚好与杯口高度平齐求杯子的高度【分析】设杯子的高度为 xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据勾股定理可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设杯子的高度为 xcm，则吸管的长度为（x+1）cm，根据题意得：（x+1）2=52+x2，解得：x=12答：杯子的高度为 12cm【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图26先阅读下列一段文字，在回答后面的问题已知在平面内两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式 P1P2=，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标第 21 页轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2x1|或|y2y1|（1）已知 A（2，4）、B（3，8），试求 A、B 两点间的距离；（2）已知 A、B 在平行于 y 轴的直线上，点 A 的纵坐标为 5，点 B 的纵坐标为1，试求 A、B 两点间的距离（3）已知一个三角形 ABC 其中两个顶点坐标为 A（0，6）、B（8，0）在坐标轴上是否存在点 C，使三角形 ABC 中 AB=AC 或者 AB=BC？若能请直接写出所以符合条件的点 C 的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）根据两点的距离公式计算即可；（2）对于平行于坐标轴的两点距离公式可利用|y2y1|代入计算；（3）分别以 A、B 为圆心，以 10 为半径画圆与坐标轴的交点就是 C 点【解答】解：（1）A（2，4）、B（3，8），AB=13（4 分）答：A、B 两点间的距离是 13（2）ABy 轴，AB=5（1）=6，答：A、B 两点间的距离是 6（8 分）（3）如图所示：AB=AC 时，符合条件的点 C 的坐标为（8，0）、（0，4）、（0，16）；AB=BC 时，符合条件的点 C 的坐标为：（0，6）、（2，0）、（18，0）（12 分）综上所述，符合条件的点 C 的坐标为：（2，0）、（8，0）（18，0）、（0，4）、（0，16）、（0，6）【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平面上两点的距离公式的理解与应用，认真阅读材料，理解两点间的距离公式，注意当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2x1|或第 22 页|y2y1|27阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形理解：根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？是（填“是”或“不是”）若某三角形的三边长分别为 1、2，则该三角形是（填“是”或“不是”）奇异三角形探究：在 RtABC 中，两边长分别是 a、c，且 a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由拓展：在 RtABC 中，C=90，AB=c，AC=b，BC=a，且 ba，若 RtABC 是奇异三角形，求 a2：b2：c2【分析】理解：根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断；根据奇异三角形的定义判断；探究：分 c 为斜边、b 为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断；拓展：根据根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可【解答】解：设等边三角形的边长为 a，a2+a2=2a2，等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；12+（）2=222，该三角形是奇异三角形，故答案为：是；第 23 页探究：当 c 为斜边时，b2=c2a2=50，RtABC 不是奇异三角形；当 b 为斜边时，b2=c2+a2=150，50+150=2100，RtABC 是奇异三角形；a2+b2=2c2RtABC 是奇异三角形拓展：RtABC 中，C=90，a2+b2=c2，cba，2c2b2+a2，2a2b2+c2，RtABC 是奇异三角形，2b2=a2+c2，2b2=a2+a2+b2，b2=2a2，a2+b2=c2，c2=3a2，a2：b2：c2=1：2：3【点评】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论28如图，在ABC 中，ACB=90，BC=15，AC=20，CD 是高（1）求 AB 的长；（2）求ABC 的面积；（3）求 CD 的长【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式计算第 24 页【解答】解：（1）由勾股定理得，AB=25；（2）ABC 的面积=BCAC=150；（3）由三角形的面积公式可得，ABCD=150则 CD=12【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c229阅读下列材料，并回答问题 事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为 6、8，那么这个直角三角形斜边长为10（2）如图 1，ADBC 于 D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求 BD 的长度（3）如图 2，点 A 在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图 2 数轴上画出表示数的 B 点（保留作图痕迹）【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据勾股定理求出 AD，根据题意求出 BD；（3）根据勾股定理计算即可【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为 6、8，则这个直角三角形斜边长=10，故答案为：10；（2）在 RtADC 中，AD=2，BD=AD=2；（3）点 A 在数轴上表示的数是：=，由勾股定理得，OC=，以 O 为圆心、OC 为半径作弧交 x 轴于 B，则点 B 即为所求，故答案为：第 25 页【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键30定义：如图，点 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若以AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点（1）已知 M、N 把线段 AB 分割成 AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点吗？请说明理由（2）已知点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点，且 AM 为直角边，若AB=24，AM=6，求 BN 的长【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点（2）设 BN=x，则 MN=12AMBN=7x，分三种情形当 AM 为最大线段时，依题意 AM2=MN2+BN2，当 MN 为最大线段时，依题意 MN2=AM2+NB2，当BN 为最大线段时，依题意 BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题【解答】解：（1）是理由：AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，AM2+NB2=MN2，AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，点 M、N 是线段 AB 的勾股分割点（2）设 BN=x，则 MN=24AMBN=18x，当 MN 为最大线段时，依题意 MN2=AM2+NB2，即（18x）2=x2+36，解得 x=8；当 BN 为最大线段时，依题意 BN