高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结.pdf

数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记1函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注 1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。x注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数)(xfy 在处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称0 xx 函数)(xfy 在点0 x处可导，并把这个极限叫做)(xfy 在0 x处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分yc0 y nyx*nN1nynx11nnxx dxnxya0,1aalnxyaalnxxaa dxaxyexyexxe dxelogayx0,1,0aax1lnyxalnyx1 yx1lndxxxsinyxcosyxcossinxdxxcosyxsinyx sincosxdxx 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若，均可导（可积），则有：f x g x和差的导数运算()()()()f xg xfxg x积的导数运算()()()()()()f xg xfx g xf x g x特别地：Cf xCfx商的导数运算2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg x特别地：21()g xg xgx复合函数的导数xuxyyu微积分基本定理 （其中 baf x dx）Fxf x和差的积分运算1212()()()()bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx特别地：()()()bbaakf x dxkf x dx k为常数积分的区间可加性()()()()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：求函数 f(x)的导数()fx令0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.()fx令0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；()fx注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2)求函数 f(x)的导数()fx(3)求方程=0 的根()fx(4)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在/()fx这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求在上的最大值与最小值的步骤如下：)(xfba,求在上的极值；)(xfba,将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一)(xf(),()f af b个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abdxba1性质 5 若，则baxxf,0)(0)(badxxf推广：1212()()()()()()bbbbmmaaaaf xfxfx dxf x dxfx dxfx 推广:121()()()()kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx11 定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.(l）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 12物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。数学选修 2-2 推理与证明知识点必记13.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？答：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。17.类比推理的思维过程是什么？答：观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。19演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M 是 P小前提：S 是 M结论：S是 P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24 什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤是什么？答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。26 常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立至多有一个至少有两个对任意 x 不成立存在 x 使成立至少有 n 个至多有 n-1 个p 或 q且pq至多有 n 个至少有 n+1 个p 且 q或pq27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反28.如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？答：(1)证明：当 n 取第一个值时命题成立；00nnN(2)假设当 n=k(kN*，且 kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确奎屯王新敞新疆注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记30.复数的概念是什么？答：形如 a+bi 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集ab叫做复数集。|,Cabi a bR规定：a=c 且 b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不abicdi相等。31数集的关系有哪些？答：0000bZaba实数()复数一般虚数()虚数()纯虚数()32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对biaz唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因),(ba),(ba此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上xy的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数对应的向量的模r叫做复数biaz的模(也叫绝对值)记作zOZ。由模的定义可知：biaz或22babiaz35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的加、减法法则：，则。12zabicdi与z12()zzacbd i注：注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：。()()abi cdiacbdadbc i复数的除法法则：2222()()()()abiabi cdiacbdbcadicdicdi cdicdcd其中叫做实数化因子cdi36.什么是共轭复数？答答：两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。abiabi与0b 常见的运算规律常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzza zzbi2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR41424344(6),1,1;nnnnii iii i 22111(7)1;(8),112iiiiiiiiii 设是 1 的立方虚根，则，)9(231i0121,332313nnn