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高一数学集合知识点归纳及典型例题高一数学集合知识点归纳及典型例题 一、一、知识点：、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用 Venn 图。本本 章章 知知 识识 结结 构构 集集合合的的概概念念 集集合合的的表表示示法法 列列举举法法 特特征征性性质质描描述述法法 集集合合与与集集合合的的关关系系 集集合合 包包含含关关系系 集集合合的的运运算算 子子集集 真真子子集集 相相等等 交交集集 并并集集 补补集集 1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握 4 个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象、确定的、不同的、整体。对象即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的集合元素的确定性元素与集合的“从属”关系。不同的集合元素的互异性。2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做。理解它时不妨思考一下“0 与”及“与”的关系。几个常用数集 N、N*、N、Z、Q、R 要记牢。3、集合的表示方法（1）列举法列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：元素不太多的有限集，如0，1，8元素较多但呈现一定的规律的有限集，如1，2，3，100 呈现一定规律的无限集，如 1，2，3，n，注意 a 与a的区别注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。（2）特征性质描述法特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如x|yx2，y|yx2，（x，y）|yx2是三个不同的集合。4、集合之间的关系注意区分“从属”关系与“包含”关系“从属”关系是元素与集合之间的关系。“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用 Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。注意辨清 与两种关系。5、集合的运算集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：ABABAAAAAAABBA BBABAAAAAAAABBA UACBBCABAAACCACAUACAUUUUUU)(还要尝试利用 Venn 图解决相关问题。二、典型例题典型例题例 1.已知集合33,)1(,222aaaaA，若A1，求 a。解：解：A1根据集合元素的确定性，得：133,11,1222aaaa或）或（若 a21，得:1a，但此时21332aaa，不符合集合元素的互异性。若1)1(2a，得：2-,0 或a。但2a时，22)1(133aaa，不符合集合元素的互异性。若,1332 aa得：。或2,1a1)1(-2a1;2a,-1a2a时，时但，都不符合集合元素的互异性。综上可得，a 0。【小结小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。例 2.已知集合 M012|2xaxRx中只含有一个元素，求 a 的值。解：解：集合 M 中只含有一个元素，也就意味着方程0122 xax只有一个解。（1）012,0 xa方程化为时，只有一个解21x（2）只有一个解若方程时012,02xaxa1,044aa即需要.综上所述，可知 a 的值为 a0 或 a1【小结小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。例 3.已知集合,01|,06|2axxBxxxA且 BA，求 a 的值。解：解：由已知，得：A3，2，若 BA，则 B，或3，或2。若 B，即方程 ax10 无解，得 a0。若 B3，即方程 ax10 的解是 x 3，得 a 31。若 B2，即方程 ax10 的解是 x 2，得 a 21。综上所述，可知 a 的值为 a0 或 a31，或 a 21。【小结小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。例 4.已知方程02cbxx有两个不相等的实根 x1，x2.设 Cx1，x2，A1，3，5，7，9，B1，4，7，10，若CBCCA,，试求 b，c 的值。解：解：由BCCBC，那么集合 C 中必定含有 1，4，7，10 中的 2 个。又因为CA，则 A 中的 1，3，5，7，9 都不在 C 中，从而只能是 C4，10因此，b（x1x2）14，cx1 x2 40【小结小结】对CBCCA,的含义的理解是本题的关键。例 5.设集合121|,52|mxmxBxxA，（1）若BA，求 m 的范围；（2）若ABA，求 m 的范围。解：解：（1）若BA，则 B，或 m15，或 2m12m1，得：m5 时，m12m1，得：m4当 2m12 时，m12m1，得：m综上所述，可知 m4（2）若ABA，则 BA，若 B，得 m M2.有下列命题：是空集 若NbNa,，则2ba 集合012|2 xxx有两个元素 集合,100|ZxNxxB为无限集，其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2 D.33.下列集合中，表示同一集合的是（）A.M（3，2），N（2，3）B.M3，2，N（2，3）C.M（x，y）|xy1，Ny|xy1D.M1，2，N2，14.设集合12,4,1,3,222aaaNaM，若2NM，则 a 的取值集合是（）A.21,2,3B.3C.21,3D.3，25.设集合 A x|1 x 2，B x|x a，且BA，则实数 a 的范围是（）A.2aB.2a C.1aD.1a6.设 x，yR，A（x，y）|yx，B1|),(xyyx，则集合 A，B 的关系是（）A.ABB.BA C.AB D.A B7.已知 Mx|yx21，Ny|yx21，那么 MN（）A.B.M C.N D.R8.已知 A 2，1，0，1，B x|x|y|，yA，则集合B_9.若AB,01|,023|22且aaxxxBxxxA，则 a 的值为_10.若1，2，3 A 1，2，3，4，5，则 A_11.已知 M2，a，b，N2a，2，b2，且 MN 表示相同的集合，求 a，b 的值12.已知集合B,A02|,04|22且xxxBpxxxA求实数 p 的范围。13.已知065|,019|222xxxBaaxxxA，且 A，B 满足下列三个条件：BA BBA BA，求实数 a 的值。四、练习题答案四、练习题答案1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.C 8.0，1，29.2，或 310.1，2，3或1，2，3，4或1，2，3，5或1，2，3，4，511.解：解：依题意，得：22bbaa或abba22，解得：00ba，或10ba，或2141ba 结合集合元素的互异性，得10ba或2141ba。12.解：解：Bx|x2 若 A ，即 0416p，满足 A B，此时4p 若A，要使 A B，须使大根142p或小根242p（舍），解得：43 p所以 3p13.解：解：由已知条件求得 B2，3，由BBA，知 A B。而由 知BA，所以 AB。又因为 BA，故 A，从而 A2或3。当 A2时，将 x2 代入01922aaxx，得019242aa53或a经检验，当 a 3 时，A2，5;当 a5 时，A2，3。都与 A2矛盾。当 A 3时，将 x3 代入01922aaxx，得019392aa52或a经检验，当 a 2 时，A3，5;当 a5 时，A2，3。都与 A2矛盾。综上所述，不存在实数 a 使集合 A，B 满足已知条件。