基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案).pdf

1基本不等式及其应用基本不等式及其应用 1基本不等式若 a0,，b0，则，当且仅当 时取“”ab2ab这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）（一正）(2)和或积为定值；（二定）（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值（三相等）（三相等）2常用不等式(1)a2b2(a，bR)ab2(2)2abab 0,ba注：不等式 a2b22ab 和它们成立的条件不同，前者只要求2ba aba、b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数.其等价变形：ab（）2.2ba(3)ab(a，bR)22ba(4)2(a，b 同号且不为 0)baab(5)(a，bR).22baa2b22（6）baabbaba11222220,ba2(7)abc;a3b3c33,0a b c(8)；abc33abc,0a b c 3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab，a2b2有 ，即ab ，a2b2 .(2)求最大值：a0，b0，当 ab 为定值时，ab 有最大值，即 ；或 a2b2为定值时，ab 有最大值(a0，b0)，即 .设 a，bR，且 ab3，则 2a2b的最小值是()A.6 B.4C.2 D.2226解：因为 2a0，2b0，由基本不等式得2a2b224，当且仅当 ab 时取等号，故选 B.2a2b2ab232 若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为()A.B.1 C.2 D.412解：a0，b0，a2b2，a2b22，即 ab.当且仅当2ab12a1，b 时等号成立.故选 A.12 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，则()A.av B.vabab3C.v D.vabab2ab2解：设甲、乙两地之间的距离为 s.ab，v.2ssasb2abab2ab2 abab又 vaa0，va.故选 A.2abababa2aba2a2ab()若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为_.2014上海解：由 xy1 得 x22y2x22，当且仅当 x时等号成立.故填2x22422.2 2 点(m，n)在直线 xy1 位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n 的最大值是_.解：由条件知，m0，n0，mn1，所以 mn，(mn2)2 14当且仅当 mn 时取等号，12log2mlog2nlog2mnlog22，故填2.14类型一类型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)求函数 y(x1)的值域.（x5）（x2）x1解：x1，x10，令 mx1，则 m0，且4ym 5259，当且仅当 m2 时取等号，故（m4）（m1）m4mm4mymin9.又当 m或 m0 时，y，故原函数的值域是9，).(2)下列不等式一定成立的是()A.lglgx(x0)B.sinx2(xk，kZ)(x214)1sinxC.x212(xR)D.1(xR)|x|1x21解：A 中，x2 x(x0)，当 x 时，x2 x.141214B 中，sinx2(sinx(0，1)；1sinxsinx2(sinx1，0).1sinxC 中，x22|x|1(|x|1)20(xR).D 中，(0，1(xR).故 C 一定成立，故选 C.1x21点拨：这里(1)是形如 f(x)的最值问题，只要分母 xd0，都可以将ax2bxcxdf(x)转化为 f(x)a(xd)h(这里 ae0；若 ae0，可以直接利用单调性exd等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等，特别注意等号成立5条件要存在.(1)已知 t0，则函数 f(t)的最小值为 .t24t1t解：t0，f(t)t 42，t24t1t1t当且仅当 t1 时，f(t)min2，故填2.(2)已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求：()xy 的最小值；()xy 的最小值.解：()由 2x8yxy0，得 1，又 x0，y0，8x2y则 1 2，得 xy64，8x2y8x2y8xy当且仅当 x4y，即 x16，y4 时等号成立.()解法一：由 2x8yxy0，得 x，x0，y2，8yy2则 xyy(y2)1018，8yy216y2当且仅当 y2，即 y6，x12 时等号成立.16y2解法二：由 2x8yxy0，得 1，8x2y则 xy(xy)1010218，当且仅当(8x2y)2xy8yx2xy8yxy6，x12 时等号成立.6类型二类型二利用基本不等式求有关参数范围利用基本不等式求有关参数范围若关于 x 的不等式(1k2)xk44 的解集是 M，则对任意实常数k，总有()A.2M，0M B.2M，0MC.2M，0M D.2M，0M解法一：求出不等式的解集：(1k2)xk44x(k21)k44k212x22(当且仅当 k21 时取等5k21（k21）5k212 min55号).解法二(代入法)：将 x2，x0 分别代入不等式中，判断关于 k 的不等式解集是否为 R.故选 A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min；(3)af(x)有解af(x)min；(4)af(x)有解af(x)max.已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数.若关于 x 的不等式mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围.解：由条件知 m(exex1)ex1 在(0，)上恒成立.令 tex(x0)，则 t1，且 m 对任意t1t2t11t11t117t1 成立.t11213，1t1（t1）1t1，1t11t1113当且仅当 t2，即 xln2 时等号成立.故实数 m 的取值范围是.(，13类型三类型三利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x(单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元).(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为 a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a，360 x所以 y225x360(x2).3602x(2)x0，225x210800，3602x225 3602y225x36010440，3602x8当且仅当 225x，即 x24 时等号成立.3602x答：当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔排出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比.现有制箱材料 60 m2，问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计).解法一：设 y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，其中 k 是比例系数且 k0.kab依题意要使 y 最小，只需 ab 最大.由题设得：4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2b30ab(a0，b0).a2b2，2ab2ab30，得 03.2abab2当且仅当 a2b 时取“”号，ab 最大值为 18，此时得 a6，b3.故当 a6 m，b3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得 b，代入 y求解.30aa2kab91.若 a1，则 a的最小值是()1a1A.2 B.a C.3 D.2aa1解：a1，aa1121213，1a11a1（a1）1a1当 a2 时等号成立.故选 C.2.设 a，bR，ab，且 ab2，则下列各式正确的是()A.ab1 B.ab1 C.1ab a2b22a2b22a2b22D.ab1a2b22解：运用不等式 ab2ab1 以及(ab)22(a2b2)2a2b2(由(ab2)于 ab，所以不能取等号)得，ab1，故选 A.a2b223.函数 f(x)在(，2)上的最小值是()54xx22xA.0 B.1 C.2 D.3解：当 x2 时，2x0，因此 f(x)(2x)21（44xx2）2x12x2，当且仅当2x 时上式取等号.而此方程有解12x（2x）12xx1(，2)，因此 f(x)在(，2)上的最小值为 2，故选 C.4.()要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知2014福建该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A.80 元 B.120 元C.160 元 D.240 元10解：假设底面的长、宽分别为 x m，m，由条件知该容器的最低总造价为4xy8020 x160，当且仅当底面边长 x2 时，总造价最低，且为 160 元.80 x故选 C.5.下列不等式中正确的是()A.若 a，bR，则 22baabbaabB.若 x，y 都是正数，则 lgxlgy2lgxlgyC.若 x0，则 x 244xx4xD.若 x0，则 2x2x222x2x解：对于 A，a 与 b 可能异号，A 错；对于 B，lgx 与 lgy 可能是负数，B错；对于 C，应是 x 24，C 错；对于4x（x）4x（x）4xD，若 x0，则 2x2x22 成立(x0 时取等号).故选 D.2x2x6.()若 log4(3a4b)log2，则 ab 的最小值是()2014重庆abA.62 B.7233C.64 D.7433解：因为 log4(3a4b)log2，所以 log4(3a4b)log4(ab)，即ab3a4bab，且 即 a0，b0，所以 1(a0，b0)，3a4b0，ab0，)4a3bab(ab)77274，当且仅当时取(4a3b)4ba3ab4ba3ab34ba3ab等号.故选 D.7.若对任意 x0，a 恒成立，则 a 的取值范围是.xx23x1解：因为 x0，所以 x 2(当且仅当 x1 时取等号)，1x11所以有，xx23x11x1x312315即的最大值为，故填 a.xx23x1151 15 58.()设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线2014四川mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.解：易知定点 A(0，0)，B(1，3).且无论 m 取何值，两直线垂直.所以无论 P 与 A，B 重合与否，均有|PA|2|PB|2|AB|210(P 在以 AB 为直径的圆上).所以|PA|PB|(|PA|2|PB|2)5.12当且仅当|PA|PB|时，等号成立.故填 5.59.(1)已知 0 x，求 x(43x)的最大值；43(2)点(x，y)在直线 x2y3 上移动，求 2x4y的最小值.解：(1)已知 0 x，03x4.43x(43x)(3x)(43x)，1313(3x43x2)2 43当且仅当 3x43x，即 x 时“”成立.23当 x 时，x(43x)取最大值为.2343(2)已知点(x，y)在直线 x2y3 上移动，所以 x2y3.2x4y2224.2x4y2x2y23212当且仅当 即 x，y 时“”成立.2x4y，x2y3，)3234当 x，y 时，2x4y取最小值为 4.3234210.已知 a0，b0，且 2ab1，求 S24a2b2的最大值.ab解：a0，b0，2ab1，4a2b2(2ab)24ab14ab.且12ab2，即，ab，S24a2b22(14ab)2abab2418abab24ab1.当且仅当 a，b 时，等号成立.ab212141211.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件，知 4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼的面积为 S，则 Sxy.解法一：由于 2x3y22，2x 3y6xy218，得 xy，即 S.6xy272272当且仅当 2x3y 时等号成立.由解得2x3y，2x3y18，)x4.5，y3.)故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.13解法二：由 2x3y18，得 x9 y.32x0，0y6.Sxyy(6y)y.(932y)320y6，6y0.S.32（6y）y22 272当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.解法一：2x3y2224，2x3y6xyl4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立.由解得2x3y，xy24，)x6，y4.)故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由 xy24，得 x.24yl4x6y6y66248，96y(16yy)16y y当且仅当y，即 y4 时，等号成立，此时 x6.16y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长度最小.