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1 (每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳 高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结归纳 单选题 1、若2 2 0Bln(+1)0Dln|0 答案：A 分析：将不等式变为2 3 2 3，根据()=2 3的单调性知 ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2 2 3 3得：2 3 2 3，令()=2 3，=2为上的增函数，=3为上的减函数，()为上的增函数，0，+1 1，ln(+1)0，则 A 正确，B 错误；|与1的大小不确定，故 CD 无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.2、已知=log20.6,=log20.8,=log21.2，则（）A B 2 C D 答案：A 分析：由对数函数得单调性即可得出结果.=log2在定义域上单调递增，log20.6 log20.8 .故选：A.3、荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365 37.7834；而把(1 1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365 0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，大约经过(参考数据：lg101 2.0043，lg99 1.9956)（）天 A200 天 B210 天 C220 天 D230 天 答案：D 分析：根据题意可列出方程100 0.99=1.01，求解即可.设经过x天“进步”的值是“退步”的值的 100 倍，则100 0.99=1.01，即(1.010.99)=100，=log1.010.99100=lg100lg1.010.99=lg100lg10199=2lg101 lg99 22.00431.9956=20.0087 230 故选：D 4、已知对数式log(+1)24（Z）有意义，则的取值范围为（）A(1,4)B(1,0)(0,4)C1,2,3D0,1,2,3 答案：C 3 分析：由对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1 列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:+1 0+1 124 0 1 0 4，解之得:1 4且 0.Z，的取值范围为1,2,3.故选：C.5、如图所示，函数=|2 2|的图像是（）AB CD 答案：B 分析：将原函数变形为分段函数，根据=1及 1时的函数值即可得解.=|2 2|=2 2,12 2,0.故选：B.6、若 0，则2+2+2 2 2+2等于（）A2B2C2D2 答案：C 4 分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|+|，0，+0，原式=(+)()=2 故选：C 小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知=log20.2,=20.2,=0.20.3，则 A B C D 答案：B 分析：运用中间量0比较,，运用中间量1比较,=log20.2 20=1,0 0.20.3 0.20=1,则0 1,故选 B 小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题 8、若函数()=3+2 2 2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)=2(1.5)=0.625(1.25)=0.984(1.375)=0.260(1.4375)=0.162(1.40625)=0.054 那么方程3+2 2 2=0的一个近似根（精确度 0.1）为（）A1.2B1.4C1.3D1.5 答案：B 分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为(1)0，所以(1)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0，所以(1.25)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；5 因为(1.375)0，所以(1.375)(1.5)0.1，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0，所以(1.4375)(1.375)0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.375=0.0625 0.1，所以满足精确度0.1；所以方程3+2 2 2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选 B.故选：B 9、若函数()=ln(+2+1)是奇函数，则a的值为（）A1B1 C1D0 答案：C 分析：根据函数奇函数的概念可得ln(+2+1)+ln(+2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为()=ln(+2+1)是奇函数，所以f(x)f(x)0即ln(+2+1)+ln(+2+1)=0恒成立，所以ln(1 2)2+1=0，即(1 2)2=0 恒成立，所以1 2=0，即=1 当=1时，()=ln(+2+1)，定义域为，且()+()=0，故符合题意；当=1时，()=ln(+2+1)，定义域为，且()+()=0，故符合题意；故选：C.10、已知 5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（）AabcBbacCbcaDcab 答案：A 分析：由题意可得、(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由=log85，得6 8=5，结合55 84可得出 45，由=log138，得13=8，结合13445，综合可得出、的大小关系.由题意可知、(0,1)，=log53log85=lg3lg5lg8lg51(lg5)2(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2 1，；由=log85，得8=5，由55 84，得85 84，5 4，可得 45；由=log138，得13=8，由134 85，得134 4，可得 45.综上所述，.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.多选题 11、已知函数()=1，()=2记max,=,，则下列关于函数()=max(),()(0)的说法正确的是（）A当 (0,2)时，()=2 B函数()的最小值为2 C函数()在(1,0)上单调递减 D若关于的方程()=恰有两个不相等的实数根，则2 1 答案：ABD 分析：得到函数()=1,1 0或 22,1或0 2，作出其图象逐项判断.由题意得：()=1,1 0或 22,1或0 2，其图象如图所示：7 由图象知：当 (0,2)时，()=2，故 A 正确；函数()的最小值为2，故正确；函数()在(1,0)上单调递增，故错误；方程()=恰有两个不相等的实数根，则2 1，故正确；故选：ABD 12、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）Ay=2xBy=x6Cy=3Dy=x23x+4 答案：ACD 分析：横纵坐标相等的函数即=，与=有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即=，与=有交点即存在完美点，对于 A,=2，解得=0=0，即存在完美点(0,0)，对于 B,=6，无解，即不存在完美点，8 对于 C,=3，解得=3=3或=3=3，即存在完美点(3,3)，(3,3)对于 D,=2 3+4，2 3+4=,即2 4+4=0，解得=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.13、已知 0，0且 1，1，若log 1，则下列不等式可能正确的是（）A(1)()0B(1)()0 C(1)(1)0 答案：AD 分析：由于log 1=log，然后分情况利用对数函数的单调性比较大小即可.解：log 1=log，若 1，则 ，即 1 (1)()0，故 A 正确(1)()0，故 D 正确 若0 1，则0 1，(1)()0，故 BC 错误，故选：AD 小提示：此题考查了对数函数的性质，属于基础题.14、若()满足对定义域内任意的1,2，都有(1)+(2)=(1 2)，则称()为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A()=2B()=(12)C()=log12D()=log3 答案：CD 9 分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断 A，B；计算判断 C，D 作答.对于 A，函数()定义域为R，取1=1,2=2，则(1)+(2)=6，(1 2)=4，则存在1,2，使得(1)+(2)(1 2)，A 不是；对于 B，函数()定义域为R，取1=1,2=2，则(1)+(2)=34，(1 2)=14，则存在1,2，使得(1)+(2)(1 2)，B 不是；对于 C，函数()定义域|0内任意的1,2，(1)+(2)=log121+log122=log12(12)=(1 2)，C 是；对于 D，函数()定义域|0内任意的1,2，(1)+(2)=log31+log32=log3(12)=(1 2)，D 是 故选：CD 15、给定函数()=(+1).下列说法正确的有（）A函数()在区间(,2)上单调递减，在区间(2,)上单调递增 B函数()的图象与x轴有两个交点 C当12 0时，方程()=有两个不同的的解 D若方程()=只有一个解，则 0 答案：AC 分析：求出导函数，利用导数研究函数的性质，结合零点存在性定理，作出函数()的图象与直线=判断各选项 由()=(+1)可知，()=(+2)，2时，()2时，()0，()递增，故 A 正确；()min=(2)=2 0，2时，()0，因此()只在(2,0)上有一个零点，它与只有一个交点，B 不正确；10 由上面讨论知 2时，()递减，()(2,0)，(2,0)时，()递增，()(2,1)，作出=()图象和直线=，如图，知当12 0 而(12+12)2=+1+2=5 12+12=5 又由2+2=(+1)2 2=7 11 综上，有：12+122+2=57 所以答案是：57 小提示：本题考查了利用指数幂运算化简求值，应用指数幂运算化简含+形式的代数式并求值 17、设x，y为正实数，已知lg+3=lg+lg4，则+的值为_ 答案：7 分析：根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得.解：由lg+3=lg+lg4，可得lg(+3)4=lg，则(+3)4=，则(+3)2=，则+=7，两边同时除以得+=7 所以答案是：7 18、已知函数()=2 的定义域为2,+)，则=_ 答案：4 分析：由已知可得不等式2 0的解集为2,+)，可知=2为方程2 =0的根，即可求得实数的值.由题意可知，不等式2 0的解集为2,+)，则22 =0，解得=4，当=4时，由2 4 0，可得2 4=22，解得 2，合乎题意.所以答案是：4.解答题 19、已知函数()=ln(22+3).（1）若()是定义在R上的偶函数，求a的值及()的值域；（2）若()在区间3,1上是减函数，求a的取值范围.12 答案：（1）=0，ln3,+)；（2）(5,4 解析：（1）根据偶函数的定义，求出=0，得()=ln(22+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）()=22+3,()=ln，由条件可得，()=22+3在3,1上是减函数，且()0在3,1上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数的不等式，即可求解.解：（1）因为()是定义在R上的偶函数，所以()=()，所以ln(22+3)=ln(22 +3)，故=0，此时，()=ln(22+3)，定义域为R，符合题意.令=22+3，则 3，所以ln ln3，故()的值域为ln3,+).（2）设()=22+3,()=ln.因为()在3,1上是减函数，所以()=22+3在3,1上是减函数，且()0在3,1上恒成立，故4 1,()min=(1)=5+0,解得5 4，即 (5,4.小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.20、某镇发展绿色经济，因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”，根据研究发现：生产某农产品，固定投入50万元，最大产量50万斤，每生产万斤，需其他投入()万元，()=122+20,0 3560+16000 1300,35 50，根据市场调查，该农产品售价每万斤50万元，且所有产量都能全部售出.（利润=收入成本）13 (1)写出年利润()（万元）与产量（万斤）的函数解析式；(2)求年产量为多少万斤时，该镇所获利润最大？求出利润最大值.答案：(1)()=50 ()50=122+30 50,0 3516000 10+1250,35 50；(2)当年产量为40万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为450万元 分析：（1）根据利润=收入成本可得函数解析式；（2）分别在0 35和35 50两种情况下，利用二次函数和对勾函数最值的求法可得结果.（1）由题意得：()=50 ()50=122+30 50,0 3516000 10+1250,35 50；（2）当0 35时，()=122+30 50=12(30)2+400，则当=30时，()max=(30)=400；当35 400，当=40，即年产量为40万斤时，该镇所获利润最大，最大利润为450万元.