(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数总结(重点)超详细.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数总结（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数总结(重重点点)超详细超详细 单选题 1、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：()=1+e0.23(53)，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln193）A60B63C66D69 答案：C 分析：将=代入函数()=1+0.23(53)结合()=0.95求得即可得解.()=1+0.23(53)，所以()=1+0.23(53)=0.95，则0.23(53)=19，所以，0.23(53)=ln19 3，解得30.23+53 66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（）A10 名 B18 名 C24 名 D32 名 答案：B 分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600 1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、一种药在病人血液中的量不少于1500才有效，而低于500病人就有危险现给某病人注射了这种药2500，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg2 0.3010，lg3 0.4771，结果精确到0.1）A2.3小时 B3.5小时 C5.6小时 D8.8小时 答案：A 分析：根据已知关系式可得不等式500 2500 (1 20%)1500，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则500 2500 (1 20%)1500，整理可得：0.2 0.8 0.6，log0.80.6 log0.80.2，log0.80.6=lg0.6lg0.8=lg61lg81=lg2+lg313lg21 2.3，log0.80.2=lg0.2lg0.8=lg213lg21 7.2，2.3 7.2，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.4、已知函数()=log12,0,(13),0,若关于x的方程()=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A(,0)(0,1)B(,0)(1,+)C(,0)D(0,1)(1,+)答案：B 分析：利用换元法设=()，则等价为()=0有且只有一个实数根，分 0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.令()=，则方程()=0等价于()=0，当=0时，此时当 0时，()=(13)=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当 0，则()=(13)0，所以由()=log12=0，得=1，则关于x的方程()=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程()=1有且只有一个实数根，作出()的图象如图：当 0时，要使直线=1与=()的图象只有一个交点，则只需要当 0时，直线=1与()=(13)的图象没有交点，因为 0 时，()=(13),+)，此时()最小值为，所以 1，综上所述，实数a的取值范围是(,0)(1,+)，故选：B.5、函数=|lg(+1)|的图像是（）AB CD 答案：A 分析：由函数=lg的图象与轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数=|lg(+1)|的图象与轴的公共点是(0,0)，即可求解.由于函数=lg(+1)的图象可由函数=lg的图象左移一个单位而得到，函数=lg的图象与轴的交点是(1,0)，故函数=lg(+1)的图象与轴的交点是(0,0)，即函数=|lg(+1)|的图象与轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有 A 选项满足.故选：A.6、已知=log20.6,=log20.8,=log21.2，则（）A B C D 答案：A 分析：由对数函数得单调性即可得出结果.=log2在定义域上单调递增，log20.6 log20.8 .故选：A.7、已知函数()=2+e12(0)与()=2+ln(+)图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A(,1e)B(,e)C(0,1e)D(0,e)答案：B 分析：()=2+e12(0)，函数()=2+e12(0)与()=2+ln(+)图象上存在关于轴对称的点，即()=()有解，通过数形结合即可得解.()=2+e12(0)，函数()=2+e12(0)与()=2+ln(+)图象上存在关于轴对称的点，即()=()有解，即2+e12=2+ln(+)，整理的：e12=ln(+)，=e12和=ln(+)的图像存在交点，如图：临界值在=0处取到（虚取），此时=e，故当 e时=e12和=ln(+)的图像存在交点，故选：B.8、计算：2lg5 lg412=（）A10B1C2Dlg5 答案：B 分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg5 lg412=lg(5)2+lg4=lg5+lg2=lg10=1.故选：B 9、若 0，则2+2+2 2 2+2等于（）A2B2C2D2 答案：C 分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|+|，0，+0，原式=(+)()=2 故选：C 小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.10、化简(1og62)2+log62 log63+2log63 6log62的值为（）Alog62Blog63Clog63D-1 答案：A 分析：运用对数的运算性质即可求解.解析：(log62)2+log62 log63+2log63 6log62=log62(log62+log63)+2log63 2=log62+2log63 2=2(log62+log63)log62 2=2 log62 2=log62 故选：A.填空题 11、函数yloga(2x3)8 的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）_.答案：27 分析：由对数函数的图象所过定点求得点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值 由题意2 3=1，=2，则=8，定点A为(2,8)，设f(x)x，则 28，3，f(x)x3，f（3）3327.所以答案是：27 12、计算：1634 8 (6449)12 8 (87)1=_.答案：6 分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634 8 (6449)12 8 (87)1=(24)34 8 (87)212 8 78=23 8 (87)1 7=8 8 78 7=8 7 7=6.所以答案是：6.13、函数f（x）2+2,0ln,0，则f（f（1）_.答案：1 解析：先计算出(1e)=1，再计算(1)得值，由此得出结果.解：依题意得(1e)=(1)=1.所以答案是：1.小提示：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.14、写出一个同时具有下列三个性质的函数：()=_.函数()=()1为指数函数；()单调递增；(1)3.答案：3+1（答案不唯一）分析：根据给定条件可得函数()的解析式，再利用另两个条件判断作答.因函数()是指数函数，则令()=，0且 1，于是得()=+1，由于()单调递增，则 1，又(1)=+1 3，解得 2，取=3，所以()=3+1.所以答案是：3+1（答案不唯一）15、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=_ 答案：2 1263 分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1 12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1 12)2即可 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)(1 12)2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1 122)2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1 124)2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1 128)2=(1+1232)(1+1216)(1 1216)2=(1+1232)(1 1232)2=(1 1264)2=2 1263 所以答案是：2 1263 解答题 16、已知函数()=121+12(1)判断()的奇偶性，并加以证明；(2)求函数的值域 答案：(1)()是奇函数；证明见解析(2)(,12)(12,+)分析：（1）首先确定()定义域，根据奇偶性定义可得结论；（2）令=2 1，可求得1的范围，进而可得()的值域.（1）由2 1 0得：0，()定义域为|0，关于原点对称；()=121+12=212+12，()+()=121+12+212+12=1+1=0，()为奇函数；（2）令=2 1，2 1 0且2 0，(1,0)(0,+)，1 0，1+1212，()的值域为(,12)(12,+).17、已知 R，函数()=log2(12+).(1)若关于的方程()+2=0的解集中恰有两个元素，求的取值范围；(2)设 0，若对任意 1,0，函数()在区间,+1上的最大值与最小值的和不大于log26，求的取值范围.答案：(1)(14,0)(2)(0,1 分析：（1）化简方程()+2=0，分离常数，利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围.（2）利用函数的单调性求得()在区间,+1上的最大值与最小值，根据最大值与最小值的和不大于log26列不等式，利用换元法，结合二次函数的性质来求得的取值范围.（1）()+2=0，log2(12+)+2=0，log2(12+)+log222=log21，(12+)22=1，=1222=12212，令=12(0,+)，则=2 =(12)214，02 0=0,2 =0 =0或=1，(12)214 14（=12时，等号成立）要使=与=(12)214在区间(0,+)有两个交点，结合二次函数的性质可知 (14,0).（2）因为函数=12+在R上递减，所以函数()=log2(12+)在定义域内递减.所以()在区间,+1上的最大值为()=log2(12+)，最小值为(+1)=log2(12+1+)，()+(+1)=log2(12+)+log2(12+1+)=log2(12+)(12+1+)log26，所以(12+)(12+1+)6对 1,0恒成立，令=12+1(12 1)，(2+)(+)=22+3+2 6对 12,1恒成立，=22+3+2在12,1上递增，所以max=2+3+2 6,2+3 4=(+4)(1)0，解得4 1，由于 0，所以0 1的解集；（2）若函数()=log2(2 1)(0)，若关于的方程()=+()在1,2有解，求的取值范围.答案：（1）|0；（2）log213,log235.分析：（1）由()1可得2+1 2，从而可求出不等式的解集，（2）由()=+()，得=()()=log2(1 22+1)，再由 1,2可得log2(1 22+1)的范围，从而可求出的取值范围（1）原不等式可化为2+1 2，即2 1,0，所以原不等式的解集为|0 （2）由()=+()，=()()=log2(1 22+1)，当1 2时，2522+123，13 1 22+135，log213，log235 19、某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验已知小白鼠服用 1 粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为=28(0 6)12 (6 12)当每毫升血液含药量不低于 4 微克时，该药能起到有效抗病毒的效果(1)若小白鼠服用 1 粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用 1 粒药，6 小时后再服用 1 粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？答案：(1)163小时(2)263小时 分析：（1）根据 4，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于 4，分段求解即可.（1）设服用 1 粒药，经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于 4 微克，可得0 628 4，解得163 6，所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于 4 微克；若0 6，药物浓度28 4，解得163 6，若6 12，药物浓度(12 )+2(6)8(6)4，化简得2 20+100 0，所以6 12；若12 18，药物浓度12 (6)4，解得 14，所以12 14；综上 163,14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时