多元函数微积分.ppt

第第第第6 6章章章章 多元函数微积分多元函数微积分多元函数微积分多元函数微积分 第第第第1 1节节节节 多元函数的概念多元函数的概念多元函数的概念多元函数的概念 第第第第2 2节节节节 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 第第第第3 3节节节节 多元复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数、隐函数的求导法则多元复合函数、隐函数的求导法则 第第第第4 4节节节节 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 第第第第5 5节节节节 二重积分的概念二重积分的概念二重积分的概念二重积分的概念 第第第第6 6节节节节 二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算 第第第第7 7节节节节 二重积分的应用二重积分的应用二重积分的应用二重积分的应用 1精选ppt课件6.1 6.1 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的定义二元函数的定义二元函数的定义二元函数的定义 二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的几何意义 二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限 二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性 小结小结小结小结 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习2精选ppt课件定义定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。n 二元函数的定义二元函数的定义二元函数的定义二元函数的定义3精选ppt课件例例4精选ppt课件例例2 一个有火炉的房间内一个有火炉的房间内,在同一时刻的温度分布在同一时刻的温度分布唯一的温度类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。5精选ppt课件 一般地讲，二元函数的几何意义表示空间直角坐标系中的一个曲面。n 二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的几何意义二元函数的几何意义6精选ppt课件（2）二元函数二元函数 z=f(x,y)的图形的图形通常是一张曲面（通常是一张曲面（函数曲面函数曲面）.7精选ppt课件n 二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限二元函数的极限8精选ppt课件小结小结：（）（）（）（）9精选ppt课件例例 求证求证证明证明10精选ppt课件由于平面上由一点到另一点有无数条路线，因此二元函数11精选ppt课件性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）n 二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性12精选ppt课件性质性质（零点定理）（零点定理）性质性质（有界性定理）（有界性定理）性质性质（介值定理）（介值定理）13精选ppt课件例例设设解解因此14精选ppt课件小结：小结：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它在点n n思考题思考题思考题思考题:一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。一元函数连续和二元函数连续的区别与联系。15精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页6.2 6.2 多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分 偏导数的概念偏导数的概念偏导数的概念偏导数的概念 偏导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数的几何意义 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 小结小结小结小结 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习 高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数 全微分的概念和应用（未做）全微分的概念和应用（未做）全微分的概念和应用（未做）全微分的概念和应用（未做）16精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页n 偏导数的概念偏导数的概念偏导数的概念偏导数的概念17精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页同理,如果极限导数,记作18精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页偏导函数,简称偏导数,记作记作19精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页解解根据偏导数的定义可知,求多元函数关于某个自变量的偏导数,并不需要新的方法,只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.例例120精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例2解解所以21精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例3解解22精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页意义.n 偏导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数的几何意义偏导数的几何意义23精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页如下图所示如下图所示24精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例如例如n 偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系25精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页注注注注:偏导数存在偏导数存在偏导数存在偏导数存在与连续的区别与连续的区别与连续的区别与连续的区别(1)(1)偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续；偏导数存在，不一定连续；(2)(2)连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数；连续，不一定存在偏导数；26精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设一般来说,这两个偏导数还是可定义二元函数的二阶偏导数如下n 高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数27精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页28精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例 4 4解解29精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页二阶以上的偏导数称为高阶偏导数30精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例5解解31精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有条件的.为此,给出下面的定理:定理定理6.1相等.例例632精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页解解 因为因为所以所以n n小结：小结：小结：小结：在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导次序无关。次序无关。次序无关。次序无关。33精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页6.3 6.3 多元函数复合函数、隐函数的求导法则多元函数复合函数、隐函数的求导法则 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法 小结小结小结小结 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习34精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页定理定理6.5n n 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则35精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页证明证明36精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页37精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页所以有完全类似地可以证明第二个等式。下面再介绍一特殊情形。38精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似则则39精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 （1）搞清函数的复合关系；（2）对某个自变量求偏导数，应注意要经过一切有关的中间变量而归结到该自变量。例例1解解注意：注意：40精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例2解解41精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页n n 隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法隐函数的偏导数求法42精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页同理可证定理定理6.6（隐函数存在定理）（隐函数存在定理）43精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页并有注意注意例例3解解44精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例4解解45精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页应用上面公式，得46精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页6.4 6.4 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用 在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用 二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法 小结小结小结小结 思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习47精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 1.空间曲线的切线与法平面n n 在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用在几何上的应用48精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页即即49精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例1解解50精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页于是，切线方程为法平面方程为2.曲面的切平面方程与法线方程为51精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页52精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例2解解或法线方程为53精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页1、二元函数的极值二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。定理定理6.7(极值存在必要条件极值存在必要条件)使n n 二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法二元函数极值的求法54精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页定理定理6.8（极值存在充分条件）（极值存在充分条件）令55精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页第一步第二步第三步56精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页 例例3解解（1）求驻点解方程组（2）判断驻点是否极值点，若是，说明取得极值情况又由于57精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页2.条件极值与拉格朗日乘数法在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件条件极值问题有如下两种解法。方法方法1例例4解解58精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页由一元函数极值存在的必要条件，得所以方法方法2 （拉格朗日数乘法）（拉格朗日数乘法）59精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。60精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页例例5解解作辅助函数令61精选ppt课件上上 页页首首 页页下下 页页尾尾 页页由前三式，得即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。注注注注:求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法求二元函数极值的方法(1)(1)换元法。换元法。换元法。换元法。(2)(2)拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。拉格朗日数乘法。62精选ppt课件