文科立体几何知识点、方法总结高三复习.doc

立体几何知识点整理（文科）
一． 直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。

方法二：用面面平行实现。

方法三：用线面垂直实现。
若，则。
方法四：用向量方法：
若向量和向量共线且l、m不重合，则。

2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。

方法二：用面面平行实现。

方法三：用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量，且,则。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
方法二：用线面平行实现。

三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。

方法二：用面面垂直实现。

2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。

方法二：三垂线定理及其逆定理。

方法三：用向量方法：
若向量和向量的数量积为0，则。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：

(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：

(二) 线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。

(2)范围：
当时，或
当时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

(2)范围：
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算
步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。
四． 距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。

如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。
方法三：公式法。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，，则异面直线m和n之间的距离为：

高考题典例
考点1 点到平面的距离
例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．A
B
C
D

O
F

考点2 异面直线的距离
例2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离.

考点3 直线到平面的距离
B
A
C
D
O
G
H

例3． 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离

考点4 异面直线所成的角
例4如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．

考点5 直线和平面所成的角
例5. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．
（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

考点6 二面角
例6．如图，已知直二面角，，，，A
B
C
Q

P
，，直线和平面所成的角为．（I）证明
（II）求二面角的大小．

考点7 利用空间向量求空间距离和角
例7． 如图，已知是棱长为的正方体，
点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求

<一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.
7.夹角公式 ：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.
8．异面直线所成角：=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
9.直线与平面所成角：(为平面的法向量).
10、空间四点A、B、C、P共面，且 x + y + z = 1
11.二面角的平面角
或（，为平面，的法向量）.
12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
13.空间两点间的距离公式 若A，B，则=.
14.异面直线间的距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
16.三个向量和的平方公式：

17. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
18. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).
19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）
〈二〉温馨提示：
1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义？
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.
② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．
〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：
线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

2、三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理)
高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.
4.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.
题型一：两条异面直线间的距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.

例1题图
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2)求AB和CD间的距离；
【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.
又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.
同理EF⊥DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)在Rt△BEF中，BF=,BE=,
所以EF2=BF2-BE2=2，即EF=.

例2题图
由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为.
【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.
设AB中点为E，连CE、ED.
∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.
∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.
同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.
∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.
∴AB、CD的距离是.
【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.
（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.
（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

例3题图
题型二：两条异面直线间的距离
【例3】 如图(1),正四面体ABCD的棱长为1，求：A到平面BCD的距离；
过A作AO⊥平面BCD于O，连BO并延长与CD相交于E，连AE.
∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD＝BC＝CD，
∴O是△BCD的中心，∴BO=BE=.
又AB＝1，且∠AOB=90°,∴AO=.∴A到平面BCD的距离是.
【例4】 在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,
求：(1)二面角P—CD—A的大小; (2)点A到平面PBC的距离.
【规范解答】 (1)作AF⊥DC于F,连结PF,
∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,
∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.
在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=,
在Rt△PAF中tan∠PFA=,∴∠PFA=arc tan.
(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,
∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,
∴PB=a,∴AH=.

【例5】 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.
∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.
∴DF=C1H=2.
（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，
且AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.
在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，

（II）设为面AEC1F的法向量，

的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为

【例6】 正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。
B
A
C
D

（1）求点到直线AC的距离.（2）求直线到平面的距离．
解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，
所以就是点到直线AC的距离。
在中．
．
（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，
设，则//DE，所以//平面，
所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD
的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱
锥的高， ，
，，即直线到平面BD的距离是．
【解后归纳】 求空间距离注意三点：
1．常规遵循一作二证三计算的步骤；
2．多用转化的思想求线面和面面距离；
3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．
【范例4】如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
解析：法1
（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x