电子科技大学大学微积分上册总复习.ppt

高等数学第一册高等数学第一册期末总复习期末总复习电子科技大学应用数学学院1.(1)(2)1 1、两个重要极限、两个重要极限2.等价无穷小替换等价无穷小替换则 应用应用 (如果下列各极限存在如果下列各极限存在)1.若若3.常用的等价无穷小替换常用的等价无穷小替换4.1 1、连续的定义、连续的定义二二 函数的连续性函数的连续性2 2、单侧连续、单侧连续定理定理 初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.5.可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx3 3、间断点的分类、间断点的分类6.定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)闭区间上闭区间上的的连续函数连续函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值.Mmab推推论论(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.三三 闭区间上连续闭区间上连续 函数的性质函数的性质7.8.MCmab9.求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数第二章第二章 导数与微分导数与微分10.11.定理定理12.4.(1)隐函数求导法则隐函数求导法则13.(2)参数函数求导法则参数函数求导法则14.15.洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用第三章第三章 中值定理和导数的应用中值定理和导数的应用16.(1)(1)费马费马(Fermat)(Fermat)引理引理1 1、中值定理、中值定理17.(2)(2)、罗尔中值定理、罗尔中值定理18.(3)(3)、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理19.(4)(4)、柯西中值定理、柯西中值定理20.2 2、洛必达法则、洛必达法则21.22.23.3 3、泰勒中值定理、泰勒中值定理皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项24.常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式25.26.导数的应用导数的应用1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法27.2.曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点28.3.函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理1 1(必要条件必要条件)29.定理定理2 2(第一充分条件第一充分条件)定理定理3 3(第二充分条件第二充分条件)30.步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,注意注意:如果区间内如果区间内只有一个极值只有一个极值,4.最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值实际问题求最值:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值:那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;则这个极值则这个极值就就 是最值是最值(最大值或最小值最大值或最小值).31.5 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 32.33.积分法积分法原原 函函 数数基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第四章第四章 不定积分不定积分34.1 1、原函数与、原函数与不定积分不定积分存在定理存在定理连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数运算性质运算性质35.2 2、基本积分表、基本积分表36.37.常见类型常见类型:3 3、第一类换元法、第一类换元法38.4 4、第二类换元法、第二类换元法常用代换常用代换:39.5 5、分部积分法、分部积分法40.41.（1）有理函数的积分）有理函数的积分真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6.有理函数与可化为有理函数的积分有理函数与可化为有理函数的积分42.令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为43.（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号44.问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容第五章第五章 定积分定积分45.46.3 (定积分中值定理定积分中值定理)积分中值公式积分中值公式47.48.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数49.50.定积分的计算法定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式51.反常（广义）积分反常（广义）积分(1)无穷限的无穷限的反常反常积分积分(2)无界函数的无界函数的反常反常积分积分52.1 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形第六章第六章 定积分的应用定积分的应用53.如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数54.极坐标情形极坐标情形55.2 体积体积xyo旋转体的体积旋转体的体积56.柱壳法柱壳法57.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积58.3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长59.1 变力所作的功变力所作的功2 水水(液液)压力压力60.3 引力引力61.一阶微分方程一阶微分方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程 可化为齐次可化为齐次 方程方程4.4.线性方程线性方程 伯努利方程伯努利方程5.5.一般换元法一般换元法一阶微分方程一阶微分方程第七章第七章 62.1 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量法分离变量法2 齐次方程齐次方程63.64.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程65.伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程66.高阶微分方程高阶微分方程1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型代入原方程代入原方程,得得67.型型代入原方程代入原方程,得得68.2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次）二阶齐次线性线性方程解的结构方程解的结构:（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:69.解的叠加原理解的叠加原理70.特征方程为特征方程为3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程71.特征方程为特征方程为推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项72.4 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.73.74.例例解解75.