基于古塔变形问题的数学模型-大学生数学建模竞赛-毕设论文.doc

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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日期： 2013 年 9 月 16 日

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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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基于古塔变形问题的数学模型

摘要
本文主要通过建立数学模型来探讨古塔的变形情况以及未来的变形趋势。首先通过建立解析几何模型确定古塔各层的中心坐标，然后利用Matlab软件进行多项式拟合得到各层中心坐标的曲线方程，最后借助此曲线方程计算得倾斜、弯曲、扭曲等各个变形量，并绘制出各层的位移沉降折线图，通过这些图形的变化趋势并结合各个变形量之间的关系，我们预测出古塔未来的变形趋势。

针对问题一：我们根据题中给出的数据和条件，结合对古塔实际观测点，通过Matlab绘图软件确定古塔形状为八角形，从而建立起解析几何模型，并用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值，进而确定各次测量的古塔各层中心坐标。

针对问题二：首先由问题一中所计算出的各层中心坐标，对于各个测量年份而言，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出的曲线，取得该曲线的xyz三个旋转角度，即倾斜（z轴与xy平面的夹角），弯曲（曲线的曲率），扭曲（绕z轴的旋转角度）等，记为、K、。
针对问题三：利用题中所给数据，绘制各测量年份的各层位移沉降折线图，观察其倾斜趋势，并进行预测；结合问题二中曲线曲率和扭曲角度，联系测量年份，分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式，进而更好地预测出弯曲、扭曲的变形趋势。

最后，综合分析各个变形量的趋势，并对模型进行评价推广。

关键词： 中心坐标 matlab软件 多项式拟合

一． 问题重述

古塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的东方传统建筑，是中国五千年文明史的载体之一，为祖国城市山林增光添彩，矗立在大江南北的古塔，被誉为中国古代杰出的高层建筑。[1]
古塔由于长时间经过各种自然环境的影响，必然会产生变形。文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时的观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔的变形趋势，最后制定必要的保护措施。因此，根据上述信息，我们讨论以下问题：
1、建立数学模型，研究古塔各层中心位置的通用方法，并列表确定各次测量的古塔各层中心坐标。
2、分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3、综合各种变形情况，分析古塔未来的变形趋势。

二． 问题分析

本文研究的是古塔的变形问题。题中古塔的变形主要包括倾斜、弯曲、扭曲。首先，根据题中给出的数据和条件，确定各次测量的古塔各层中心坐标；然后对各个测量年份依次分析，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出的曲线，计算倾斜、弯曲、扭曲三个变形量的大小关系；最后绘制各测量年份的各层位移沉降折线图，并分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式，从而更好地预测古塔未来的变形趋势。

三． 模型建设
1．假设每层各个点都在同一平面内；
2．假设古塔在各种自然环境作用下，不发生破坏；
3. 假设倾斜只受地基的沉降影响，忽略其他因素。

四． 符号说明

（x,y,z）
中心坐标

每层第i个点x轴的坐标

每层第j个点y轴的坐标

每层第k个点z轴的坐标
A
侧面的横坐标
K
曲率
T
年份

倾斜角度

扭曲角度
五． 模型建立与求解

5.1关于问题一的模型建立与求解：

根据题中给出的数据和条件，我们利用Matlab绘图软件可以得出题中的古塔为八角形古塔:

假设每层各个点都在同一个平面内，根据简单的解析几何的方法确定各次测量的古塔各层中心坐标。
可得中心坐标（x,y,z）的通用公式：
x=
y=
z=
根据上式，用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值,确定各次测量的古塔各层中心坐标。如表1如下：

表1 各次测量的古塔各层中心坐标
年
份
坐
标
层
数

1986年

1996年

2009年

2011年
1
（566.6648, 522.7105, 1.787375）
(566.665, 522.7102, 1.783)
（566.7268, 522.7015, 1.7645）
(566.727, 522.7014, 1.76325)
2
（566.7196, 522.6684, 7.32025）
(566.7205, 522.6674, 7.314625)
(566.764, 522.6693,
7.309 )
(566.7642, 522.669, 7.2905)
3
(566.7735,
522.6273,
12.75525)
(566.7751, 522.6256, 12.75075)
(566.8001, 522.6384, 12.73225)
（566.8004, 522.6387, 12.72688）
4
(566.8161, 522.5944, 17.07825)
（566.8183, 522.5922, 17.07513）
(566.8293, 522.6132, 17.06975)
（566.8297, 522.6127, 17.052）
5
(566.8621, 522.5591, 21.7205)
（566.8649, 522.5563, 21.716）
(566.8604, 522.5866, 21.70938)
（566.861, 522.586, 21.70388）
6
(566.9084, 522.5244, 26.23513)
（566.9118, 522.521, 26.2295）
(566.9471, 522.5342, 26.211)
（566.9478, 522.5335, 26.2045）
7
(566.9468, 522.5081, 29.83688)
（566.9506, 522.5042, 29.83225）
(566.9792, 522.5123, 29.82463)
（566.98, 522.5115, 29.817）
8
(566.9843, 522.4924, 33.35088)
（566.9884, 522.4881, 33.34538）
(567.0305, 522.4797, 33.33988)
（567.0313, 522.4788, 33.33663）
9
(567.0218, 522.4764, 36.85488)
（567.0265, 522.4714, 36.84825）
(567.0816, 522.4466, 36.84375)
（567.0825, 522.4457, 36.82225）
10
(567.0569, 522.4624, 40.17213)
（567.062, 522.4572, 40.16763）
(567.137, 522.3937, 40.16113)
（567.1381, 522.3926, 40.14413）
11
(567.1045, 522.423, 44.44088)
（567.1102, 522.4173, 44.43538）
(567.1799, 522.3547, 44.43263)
（567.181, 522.3535, 44.42488）
12
(567.1518, 522.3836, 48.71188)
（567.1578, 522.3775, 48.70738）
(567.2225, 522.316, 48.69975)
（567.2238, 522.3147, 48.68388）
13
(567.085, 522.7403, 52.83429)
（567.0912,
522.734，
52.83）
(567.2712, 522.2715, 52.81838)
（567.2725, 522.2701, 52.81313）
塔尖
(567.2473, 522.2438, 55.12325)
（567.2544, 522.2367, 55.11975）
(567.336, 522.2148, 55.091)
（567.3375, 522.2135, 55.087）

5.2关于问题二的模型建立与求解：

根据问题一，我们得出各次测量的古塔各层中心坐标，如图1所示：

图1
由图1，可以看出图中后两点偏差较大，所以拟合时将其忽略。
由于中心坐标为三维坐标，所以不能将各层中心坐标进行三维多项式拟合。[2]
首先，我们要将三维转换成二维进行计算，令A=,进而让三维坐标转换成二维坐标；分别作面的投影，然后将各层二维坐标进行多项式拟合。拟合程序见附录，拟合图像如图2所示：
图2
通过拟合得到：
z= 21794.387 A-50411386.903A+38867927591.030A-9989249763219.082
倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导
z=65383.161A-100822773.806A+38867927591.030=tan()
=arctan(65383.161A-100822773.806A+38867927591.030)
弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导
z=130766.322A-100822773.806
[3]
=
扭曲（绕z轴的旋转角度）:我们先做出古塔俯视图（即xoy面的曲线），如图3所示：

图
根
图3
据观察可得出，前10个点基本在同一条直线上，受扭曲的影响较小，所以我们用这10个点可以拟合出一条直线函数作为不受扭曲的参照直线，再连接第一层塔心和塔尖的塔心得到另一条直线，两条直线所成的夹角即为扭曲角度。
1986年前十组中心坐标拟合图如图4

图4

前10点拟合图方程：y= -0.6425x+886.7750
同时，我们可以求出连接第一层塔心和塔尖的塔心所得到的另一条直线的方程：
>> x=[566.6648,567.2473];
>> y=[522.7105,522.2438];
>> polyfit(x,y,1)

ans =

-0.8012 976.7233

即y=-0.8012x+976.7233
计算两条直线所成夹角（）：
tan=0.1048
=arctan(0.1048)5.9828
同理得1996年拟合图如图5所示:
图5
拟合可得：
z= 21370.001 A-49429783.860A+38111111831.081A-9794748160971.658
倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导
z=64110.003A- 98859567.72A+38111111831.081=tan()
=arctan(64110.003A- 98859567.72A+38111111831.081)
弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导
z=128220.006A-98859567.72
K=
=

计算扭曲（即绕z轴的旋转角度）：
1996年前十组中心坐标拟合图如图6

图6
前10点拟合图方程：y= -0.6472x+889.4415
同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：

即y=-0.8034x+977.9458
计算两条直线所成夹角（）：
tan=0.1028
=arctan(0.1028)5.8673
同理2009年拟合图像如图7所示:

图7
拟合可得：
z= 128823.49 A-297978795.54A+229749413861.65A-59047594420594.91
倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导
z=386470.47A- 595957591.08A+229749413861.65=tan()
=arctan(386470.47A- 595957591.08A+229749413861.65)
弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导
z=772940.94A-595957591.08
K=
=
计算2009年扭曲（绕z轴的旋转角度）:
2009年前十组中心坐标拟合图如图8

图8
前10点拟合图方程：y= -0.7170x+929.0644
同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：
y=-0.7989x+975.4690
计算两条直线所成夹角（）：
tan=0.0521
=arctan(0.0521) 2.9824
同理2011年拟合图如图9所示:
图9
拟合可得：
z= 128358.73A-296903805.25A+228920599111.73A-58834589739854.68
倾斜(z轴与xy平面的夹角)：对z求一阶导
z=385076.19A- 593807610.5A+228920599111.73=tan()
=arctan(385076.19A- 593807610.5A+228920599111.73)
弯曲（曲线的曲率）：对z求二阶导
z=770152.38A-593807610.5
K=
=
计算2011年扭曲（绕z轴的旋转角度）:
2011年前十组中心坐标拟合图如图10所示。

图10
前10点拟合图方程：y= -0.7181x+929.6627
同时，我们可以求出连接第一层塔心和顶尖的塔心所得到的另一条直线的方程：
即
y=-0.7992x+975.6189
计算两条直线所成夹角（）：
tan=0.0515
=arctan(0.0515)2.9481
5.3关于问题三的模型建立与求解：
5.3.1对古塔倾斜的分析：古塔的倾斜主要是由于地基沉降产生。
根据题中给出的数据和条件，我们可以绘制出各期的各层位移沉降曲线图，如图11所示：

图11
由各层的沉降图，我们可以看出2009—2011的沉降图（黄色折线图）大部分沉降差比较大。
各个沉降差基本都大于0。

结论1：随着观测年份的增加，倾斜角度逐渐增大。

5.3.2对于古塔弯曲的趋势的分析：
通过问题二的计算，我们得出四次测量时，古塔弯曲程度随着层数不同而不同，很难找出通用公式，所以我们取古塔中部作为研究对象来反映古塔弯曲的趋 势。取第七层四次测量的中心坐标：
1986年中心坐标(566.9468, 522.5081, 29.83688)；
1996年中心坐标（566.9506, 522.5042, 29.83225）；
2009年中心坐标(566.9792, 522.5123, 29.82463)；
2011年中心坐标（566.98, 522.5115, 29.817）；
由A=，依次得出：A=771.0015 A=771.0017
A=771.0282 A=771.0283

代入问题二中各年份的曲率公式中可得：
K=8.4096 K=8.3641
K=3.7786 K=5.7690
将以上四点进行多项式拟合，如图12所示：

图12
弯曲（曲线的曲率）与年份的关系：
K=0.000000002771248T-0.000016630193912T+0.033265008131802T-22.19216231310239
结论2：由图可知，随着观测年份的增加，弯曲（曲线的曲率）随之减小。

5.3.3古塔扭曲的趋势的分析：
通过问题二，我们可以得出四次测量时古塔的扭曲角度，分别为5.9828、5.8673、2.9824、2.9481。将其拟合图像如图13所示：
图13
扭曲（绕z轴的旋转角度）与年份的关系：
=0.000911894T-5.472302482T+10946.210671130T-7298357.507072766
结论3：由图可知，随着观测年份的增加，扭曲（绕z轴的旋转角度）随之减小。

综上所述，我们认为随着观测年份的增加，倾斜角度逐渐增大；弯曲（曲线的曲率）逐渐减小；扭曲角度逐渐减小。

六． 模型推广

针对古塔变形，运用拟合的方法，我们可以建立各个变形量与测量年份的函数关系。对古塔观测数据的拟合可以得到准确而切合实际的结论。因此，可以将其推广到一般的古建筑中。但是由于在拟合过程中，我们仅仅考虑几种主要的变形因素，而忽略其他的不定因素，因此，我们需要建立一个综合各种因素影响的模型。

七． 模型评价
7.1 模型的优点
（1）运用的模型简单易懂，有很好的实际指导意义。
（2）运用表格和图像相结合，对于结果的分析更加清晰。
（3）数学软件Matlab和Excel软件的运用提高了结果的可行度，数据更加精确。
7.2 模型的缺点
（1）本题对数据依赖性比较大，只是对题中所给数据做了一个理想化的模型可能与实际不相吻合。
（2）针对问题三，我们建立的拟合模型也只是一个预测模型，在实际生活中会有各方面的影响，因此通过我们所建立的模型只能大致体现一个发展趋势而无法精确地描述其发展趋势。

八． 参考文献
[1]
[2] 赵静 但琦，《数学建模与数学实验》第三版，北京市：高等教育出版社，2007年6月。
[3] 侯风波，《高等数学》，北京市：教育科学出版社，2012年4月。

九． 附录

问题一：
Matlab软件程序：
>> x=[565.454,562.058,561.39,563.782,567.941, 571.255,571.938, 569.5, 569.5,562.238,561.663,564.001,567.995,571.165,571.801,569.414,565.506,562.415, 561.931,564.216,568.048,571.076,571.666,569.33];
>> y=[528.012,525.544,521.447,518.108,517.407,519.857,523.953,527.356,527.764 ,525.364,521.42, 518.226,517.563,519.961,523.908,527.141,527.52,525.188,521.394,518.343, 517.716,520.063, 523.864,526.93];
>> z=[1.792,1.818,1.783,1.769,1.772,1.77,1.794,1.801,7.326,7.351,7.314,7.301,7.306, 7.304,7.324,7.336,12.761,12.786,12.749, 12.736,12.741, 12.74, 12.758,12.771];
>> plot3(x,y,z)

各次测量的古塔各层中心坐标计算表格

1986年观测数据
层
点
坐标
x/m
y/m
z/m
1
1
565.454
528.012
1.792
2
562.058
525.544
1.818
3
561.39
521.447
1.783
4
563.782
518.108
1.769
5
567.941
517.407
1.772
6
571.255
519.857
1.77
7
571.938
523.953
1.794
8
569.5
527.356
1.801
平均值
566.6648
522.7105
1.787375
2
1
565.48
527.764
7.326
2
562.238
525.364
7.351
3
561.663
521.42
7.314
4
564.001
518.226
7.301
5
567.995
517.563
7.306
6
571.165
519.961
7.304
7
571.801
523.908
7.324
8
569.414
527.141
7.336
平均值
566.7196
522.6684
7.32025
3
1
565.506
527.52
12.761
2
562.415
525.188
12.786
3
561.931
521.394
12.749
4
564.216
518.343
12.736
5
568.048
517.716
12.741
6
571.076
520.063
12.74
7
571.666
523.864
12.758
8
569.33
526.93
12.771
平均值
566.7735
522.6273
12.75525
4
1
565.526
527.327
17.084
2
562.555
525.047
17.109
3
562.144
521.373
17.072
4
564.387
518.435
17.059
5
568.091
517.838
17.064
6
571.005
520.144
17.063
7
571.558
523.829
17.081
8
569.263
526.762
17.094
平均值
566.8161
522.5944
17.07825
5
1
565.548
527.119
21.726
2
562.706
524.896
21.751
3
562.373
521.351
21.714
4
564.571
518.534
21.701
5
568.136
517.969
21.705
6
570.929
520.232
21.708
7
571.443
523.791
21.723
8
569.191
526.581
21.736
平均值
566.8621
522.5591
21.7205
6
1
565.57
526.915
26.267
2
562.854
524.748
26.309
3
562.6
521.329
26.308
4
564.752
518.632
26.264
5
568.18
518.095
26.189
6
570.857
520.315
26.136
7
571.333
523.755
26.164
8
569.121
526.406
26.244
平均值
566.9084
522.5244
26.23513
7
1
565.671
526.652
29.869
2
563.132
524.585
29.911
3
562.883
521.356
29.91
4
564.949
518.846
29.866
5
568.172
518.346
29.791
6
570.679
520.441
29.737
7
571.094
523.672
29.765
8
568.994
526.167
29.846
平均值
566.9468
522.5081
29.83688
8
1
565.77
526.397
33.383
2
563.403
524.427
33.425
3
563.158
521.382
33.424
4
565.141
519.055
33.38
5
568.164
518.59
33.305
6
570.506
520.564
33.251
7
570.862
523.591
33.279
8
568.87
525.933
33.36
平均值
566.9843
522.4924
33.35088
9
1
565.868
526.141
36.887
2
563.674
524.268
36.929
3
563.433
521.408
36.928
4
565.333
519.263
36.884
5
568.156
518.834
36.809
6
570.333
520.686
36.755
7
570.63
523.51
36.783
8
568.747
525.701
36.864
平均值
567.0218
522.4764
36.85488
10
1
565.961
525.9
40.201
2
563.927
524.12
40.214
3
563.693
521.433
40.244
4
565.516
519.462
40.223
5
568.148
519.068
40.171
6
570.171
520.801
40.038
7
570.408
523.433
40.129
8
568.631
525.482
40.157
平均值
567.0569
522.4624
40.17213
11
1
566.078
525.628
44.472
2
564.193
523.95
44.485
3
563.958
521.463
44.505
4
565.649
519.607
44.486
5
568.094
519.242
44.442
6
570.013
520.885
44.309
7
570.236
523.35
44.4
8
568.615
525.259
44.428
平均值
567.1045
522.423
44.44088
12
1
566.195
525.355
48.743
2
564.459
523.78
48.756
3
564.224
521.492
48.776
4
565.782
519.753
48.757
5
568.039
519.415
48.713
6
569.854
520.969
48.58
7
570.063
523.268
48.671
8
568.598
525.037
48.699
平均值
567.1518
522.3836
48.71188
13
1
566.308
525.092
52.866
2
564.716
523.616
52.878
3
564.481
521.521
52.897
4
565.91
519.893
52.88
5

6
569.701
521.05
52.703
7
569.897
523.188
52.794
8
568.582
524.822
52.822
平均值
567.085
522.7403
52.83429
塔尖
1
567.255
522.238
55.128
2
567.235
522.242
55.108
3
567.247
522.251
55.128
4
567.252
522.244
55.129
平均值
567.2473
522.2438
55.12325

1996年观测数据
层
点
坐标
x/m
y/m
z/m
1
1
565.4542
528.0117
1.791
2
562.0582
525.5437
1.818
3
561.3902
521.4467
1.78
4
563.7822
518.1077
1.766
5
567.9412
517.4067
1.765
6
571.2552
519.8567
1.763
7
571.9382
523.9527
1.785
8
569.5002
527.3557
1.796
平均值
566.665
522.7102
1.783
2
1
565.4809
527.7631
7.324
2
562.2389
525.3631
7.343
3
561.6639
521.4191
7.306
4
564.0019
518.2251
7.294
5
567.9959
517.562
7.299
6
571.1659
519.9601
7.303
7
571.8019
523.907
7.317
8
569.4149
527.14
7.331
平均值
566.7205
522.6674
7.314625
3
1
565.5076
527.5183
12.759
2
562.4166
525.1864
12.785
3
561.9326
521.3924
12.741
4
564.2176
518.3414
12.734
5
568.0496
517.7144
12.739
6
571.0776
520.0614
12.733
7
571.6676
523.8624
12.749
8
569.3316
526.9284
12.766
平均值
566.7751
522.6256
12.75075
4
1
565.5282
527.3248
17.083
2
562.5572
525.0448
17.089
3
562.1462
521.3708
17.069
4
564.3892
518.4328
17.056
5
568.0932
517.8358
17.057
6
571.0072
520.1418
17.056
7
571.5601
523.8268
17.102
8
569.2652
526.7598
17.089
平均值
566.8183
522.5922
17.07513
5
1
565.5508
527.1162
21.724
2
562.7087
524.8932
21.75
3
562.3758
521.3482
21.706
4
564.5737
518.531
21.699
5
568.1388
517.9662
21.703
6
570.9317
520.2292
21.701
7
571.446
523.7882
21.714
8
569.1938
526.578
21.731
平均值
566.8649
522.5563
21.716
6
1
565.5734
526.9116
26.265
2
562.8574
524.7446
26.301
3
562.6034
521.3256
26.3
4
564.7554
518.6286
26.257
5
568.1834
518.0916
26.182
6
570.8604
520.3116
26.135
7
571.3364
523.7516
26.157
8
569.1244
526.4025
26.239
平均值
566.9118
522.521
26.2295
7
1
565.6748
526.6482
29.868
2
563.1358
524.581
29.904
3
562.8868
521.352
29.903
4
56