混合样本下双因素误差模型的参数估计.pdf
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1、统计与决策2023年第18期总第630期混合样本下双因素误差模型的参数估计刘鑫1a,王维国2,薛景2,李飒1b(1.辽宁石油化工大学a.理学院;b.经济管理学院,辽宁 抚顺 113001;2.东北财经大学 经济学院,辽宁 大连 116025)摘要:考虑到面板数据的选择性偏误、不响应、样本流失及轮换面板数据的高成本,在实际应用中,根据研究的需要和两种样本各自的特征,有时将两种样本结合使用,从而得到普通面板数据和轮换面板数据的混合样本。文章提出了混合样本下双因素误差面板回归模型的迭代极大似然估计方法,得到了未知参数的迭代公式。使用蒙特卡罗模拟方法分析了面板数据和混合样本下参数估计的平均绝对偏差和均
2、方误差,结果显示:与面板数据下的极大似然估计量相比,混合样本下迭代极大似然估计方法整体上降低了估计量的平均绝对偏差和均方误差,优于面板数据下的极大似然估计量。关键词:混合样本;迭代极大似然估计;双因素误差中图分类号:O212.7文献标识码:A文章编号:1002-6487(2023)18-0039-05基金项目:国家自然科学基金面上项目(71773012;72273019);国家自然科学基金青年项目(72103032);辽宁省教育厅面上项目(LJKMR20220758;LJKR0151)作者简介:刘鑫(1985),女,辽宁沈阳人,博士,讲师,研究方向:面板数据理论。王维国(1963),男,吉林通
3、榆人,博士,教授,研究方向:人口、资源与环境。薛景(1988),女,江苏盐城人,博士,副教授,研究方向:经济计量分析、环境经济学。李飒(1987),女,安徽宿州人,博士,研究方向:国民经济学。0引言在计量分析领域,面板数据具有控制个体异质性、可研究动态调整过程等优点,然而在抽样调查领域,抽样框覆盖不全、调查个体不回答、大量调查样本流失等问题日益突出。轮换面板数据因其每期有新个体的加入,可有效缓解普通面板数据存在的问题,已被广泛应用于市场调查、民意调研及教育经济等众多领域,人们对轮换面板数据的关注度也越来越高。而轮换面板数据的每期调查需要找寻新个体的参与,与普通面板数据相比,调查成本不断增加1。
4、鉴于普通面板数据与轮换面板数据各自的特点,为了充分利用样本各自的优点,常考虑将普通面板与轮换面板数据结合得到混合样本来推断总体。如果将混合样本假设为普通面板或轮换面板数据,使用单独样本下的极大似然估计方法,会低估或高估未知参数估计量的方差,普通面板或轮换面板数据下的极大似然估计方法不再适用于混合样本。因此,如何利用混合样本来估计总体,是统计推断所面临的一个挑战性问题。目前,迭代极大似然估计已被广泛应用到非平衡面板数据中2,本文提出的混合样本属于一类特殊的非平衡样本,由于部分平衡样本的存在,直接使用非平衡面板数据下的迭代极大似然估计会产生较大偏误,因此也不能直接将这种方法用于混合样本。另外,目前
5、大量基于混合样本的研究发现,与单一样本相比,混合样本在各类研究过程中更具有普适性,同时也给出了混合样本下不同的估计方法3,4。受此启发,本文将现有混合样本下估计方法的构造思想与非平衡面板数据下迭代极大似然估计方法相结合,有效处理部分平衡和部分不平衡的特殊非平衡样本的方差-协方差矩阵,将非平衡面板数据下迭代极大似然估计方法拓展到混合样本,并保证估计方法具有良好性能。1模型及样本设定yit=f(xit;)+eit(1)其中,i=1N,t=1T;yit为第t期第i个个体的观测值,xit为k1维外生解释变量,=(12k)为待估参数,eit为随机误差项,设定为双因素误差:eit=ui+vt+it其中,u
6、i为不可观测的个体特殊效应,vt为时间效应,it为剩余的随机扰动项,ui、vt和it相互独立,且服从均值为0的同分布,同时:E(uuk)=ik2uE(vtvs)=ts2vE(witwks)=ikts2(2)对于所有的i、t、k和s,为克罗内克积,则有:E(eit)=0E(eiteks)=2k=it=s2k=ist2kis=t0kist(3)其中,2=2u+2v+2为总方差,=2u/2为个体效应方差比例,=2v/2为时期效应方差比例5。混合样本设定:先将被观测个体连续编号,由编号为理 论 探 讨DOI:10.13546/ki.tjyjc.2023.18.00739统计与决策2023年第18期总第
7、630期12N1,N1+1N1+2N1+N2的个体组成第一观测时期的样本;再将第一时期个体编号为N1+1N1+2N1+m()0mN2的个体由总体中编号为N1+N2+1,N1+N2+2,N1+N2+m的个体替代,其余部分保持不变,12N1为普通面板数据观测个体,两个部分共同构成了第二观测时期的观测个体。此过程为对前一期从样本N1+1,N1+2,N1+N2中去掉m个被观测个体,而从被观测总体中引入m个新个体,进而形成轮换部分后一期的观测个体,普通面板数据观测个体保持不变,这样每一期的观测数目相同,观测T期,被观测不同个体总数为H=()T-1 m+N1+N2,观测个体总数为T()N1+N2。2混合样
8、本下扰动项方差-协方差矩阵为了得到混合样本下的迭代极大似然估计,先需要得到T()N1+N2个观测个体方差-协方差矩阵的解析表达,参照Arkadiusz等(2020)4采用线性变换对非概率和概率样本整合的思想,本文引入样本设计矩阵实现普通面板数据和轮换面板数据的整合,得到混合样本下的方差-协方差矩阵。由于T期观测个体总数为12H,故将观测时期t的扰动项向量表示为:et=()e1te2teHt,t=12T(4)取it为N1+N2个个体中第i个个体的扰动项,则:t=1t2t()N1+N2t,t=12T(5)引入样本设计矩阵Dt,则t可由et表示为:t=Dtet,t=12T(6)其中:Dt=IN10N
9、2N10N1()t-1 m0N2()t-1 m0N1N2IN20N1()T-t m0N2()T-t m,t=12T(7)其中,0Nn为Nn零矩阵,IN为NN单位矩阵,Dt矩阵中()ij位置元素1表示总体中第j个观测个体是样本t期中的第i个观测个体。通过式(6)和式(7)可得到:E()etes=2()1-IH+EHs=ts;t=12T2IHst;st=12T(8)其中,EH表示所有元素均为1的矩阵。对于所有观测时期t,DtDt=IN1+N2且DtEHDt=EN1+N2,则:E()ts=DtE()etesDs=2ts=2()1-IN1+N2+EN1+N2s=t2DtDsst(9)其中:ts=2()
10、1-IN1+N2+EN1+N2s=tDtDsst取表示全部观测个体T()N1+N21的扰动矩阵,记为:=()12T则扰动项方差-协方差阵矩为:E()=2=2IT()()1-IN1+N2+EN1+N2+()DD-ITIN1+N2=2()1-ITIN+()ITEN+()DD(10)其中,=()ts,D=()D1D2DT。3参数的迭代极大似然估计与类似,y可表示为T()N1+N21的向量,设定f()x;为f()xit;的矩阵表达式,假设随机扰动项服从正态分布,则y的对数似然函数可写成:L()yx;2=-()N1+N2T2ln2-()N1+N2T2ln2-12ln|-12-2-1(11)其中,表示y-
11、f()x;;D由样本设计决定,如果和已知,则矩阵已知。这样,、和可通过如下两步交互迭代求解得到:步骤(1):设定和,将视为极大似然估计的待估参数,可通过最小化Q=-1求得。步骤(2):通过步骤(1)得到,将、和视为待估参数,可通过最小化T()N1+N2ln2+ln|+-2-1求得待估参数。极大似然估计迭代算法开始需要设定和的初始值,为方便起见,选择=0,即由步骤(1)计算得到的为最小二乘估计。迭代算法的实现过程需要-1和|的解析表达式,在实际运行中,将涉及计算的特征值,而这个过程过于复杂,因此本文考虑在实际应用中常被关注的一类特殊情形:N2=2m,m=kN1()k=12,即混合样本中轮换面板部
12、分为二分之一轮换面板,且轮换面板数据的每期观测个体为普通面板数据的偶数倍(多轮换少面板情况),在实际应用中,当数据来源于真实微观数据且观测时期T较小时,估计结果受到的影响主要来源于观测个体效应扰动项,时期效应扰动项带来的影响较小。考虑到实际应用,本文将忽视时间效应扰动项,即设=0。当N2=2m,m=kN1()k=12时,从式(7)可知:Dt=102k101()t-1 k02k()t-1 k012kI2k01()T-t k02k()T-t kIN1t=12T;k=12(12)将式(12)代入式(9)和式(10),可得:理 论 探 讨40统计与决策2023年第18期总第630期ts=I2k+1IN
13、1s=t101k01k0k10kk0kk0k1Ikk0kk()2k+1()2k+1IN1s=t+1;t=12T101k01k0k10kk0kk0k10kk0kk()2k+1(2k+1)IN1st+1令=1IN1,则1可写成:1=I2k+1s=t101k01k0k10kk0kk0k1Ikk0kk()2k+1()2k+1s=t+1;t=12T101k01k0k10kk0kk0k10kk0kk()2k+1()2k+1st+1且1可分解为矩阵D和E,其中:E=1 11 1TT01k01k0k10kk0kk0k10kk0kk()2k+1()2k+1D=1-IkIk0k1Ik01k1-01kIk0k1Ik
14、Ik0k1Ik01k1-01kIk0k1IkIk()1+2k T()1+2k T通过引理1,-1可写成:-11=D-1+-()1-+T()1-ETT101k01k0k10kk0kk0k10kk0kk()2k+1()2k+1其中,D-1=11-IkM-1M-1Ik,M-1=11-2Ik0k1-1-2Ik01k11-01k-1-2Ik0k111-2Ik,ETT=1 11 1TT。因此:-1=-11IN1(13)|=|1N1=()1-(T-1)N1()1-2k()T-1 N1(14)通过对混合样本进行样本设计,可将向量t分解成t=()tAtBtC,其中:tA=()1t2tN1t=()e1te2teN
15、1ttB=()N1+1tN1+2tN1+mt=()eN1+()t-1 m+1teN1+()t-1 m+2teN1+tmttC=()N1+m+1tN1+m+2tN1+2mt=()eN1+tm+1teN1+tm+2teN1+(t+1)mt(15)其中,tA为普通面板数据中被观测个体在观测t()t=12T期的扰动项,tB为轮换面板数据中t-1和t()t=2T期都被观测的个体在观测t期的扰动项,tC为轮换面板数据中在t和t+1()t=1T-1期都被观测的个体在观测t期的扰动项。合并式(10)、式(13)和式(15),这样,迭代步骤(2)中二次型Q可表达成一种简化形式:Q=-1=11-1A1A+Q1+L
16、Q2+Q3+Q4(16)其中:Q1=t=1T-111-2tCtC+-1-2t+1BtC+11-t+1At+1A+-1-2tCt+1B+11-2t+1Bt+1BQ2=t=1TtAt=1TtAL=11-1-+TQ3=TCTC,Q4=1B1B将式(14)和式(16)代入式(11),则对数极大似然函数可写成:L=-(N1+N2)T2ln2-(N1+N2)T2ln2-12ln()1-()T-1 N1()1-2k()T-1 N1-12-2对上述对数极大似然函数关于2求偏导,得到如下条件估计量:2=-1T()N1+N2=1T()N1+N2(11-1A1A+Q1+LQ2+Q3+Q4)(17)其中,Q1=t=1
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- 混合 样本 因素 误差 模型 参数估计
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