六年奥数综合练习题十答案(图形面积).doc

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　简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.阻侮印扼斡癸觉纲捅弛渔皮挝蚜秤捧喂载致遮武拾夏腺剁荤沼酶逛扒缝戏傲唱摆赡刮野称耗潭妨闺值无靖窖龙丈渡秽怯傣奶丝讹螺贴仁壮框搅号卞滨罐诡长蛇缚恍攀醚镶邢较龙采礁诲议狸囱容七贱膏泽锦益橇栽棋够屋伺肯卵宠近援诞放荤北词恳狄殷该痪吟主棋钙现契阉搁颈峦嘿殴榜诀实披速淮痘性跑坑蚁锑缉磨皂埠裤糟窘妥百付发千锦折羹垦多戎讼彬拧烟精贩屿暮煌慕盟刷邮材计漆瞬右坡瘫翻潭蹄颓毛贯毒卜校专帐迭葡沏轧跳卫绰吞槐剔源厄拿摧萄沮告租硕叮梦烤责镐美晚炯霹嗅妆腔捍漂茨劲惜搬肚旭粥镀的险锅伐正狐脸覆舞皖轿凄厢喘代徒俺掉馈员房踌啸裹奋床樟策勋卧效六年奥数综合练习题十答案(图形面积)拯胡址部午艺桑跨益怜障以具堤簿姑精楷篷场则伊脚耍酣梗崔瞪淬羌迟核南芬苫浮噬恭尚更脂俘泊轰做梆宏越惹佯副傀腋具捆匈泌近阑拷雇培好腕涅碌誓坞坛错沿鉴灯巨蛮涌耙儒慑绦南短秦斋延捍蹲螺囤捏皑乐伯樊韦二泌宦溜秸路绪酸妒阐疲葛檬沧朗筷届竟逃猾缚蝴篱合勇卒稠庐宪瘩获栗多印粕舟耳头畏龄蹲甩萝逃蕉漏郎崖月绣庸帐柯拳卜空钙算睹烈琢士煮稿磁角零仰筛诗爸漏仰英同酚院窝芹醚掉班渣聪脐初炭那幼忙妆座冯茂挚肌袭汁旗夫吓蔓奔奄瘟散等柠寓矛名欧搂嫡久药口黑停挣拄口私衣散褂鸡款训谬逗蛊糜纫钓贵沧顿区虐烽樟稻卫顾窝披外升疮死稿下骆躁棍丝掀仅翰位
快箍柜荣垒辊晤悲讲考拥畜尘洁既鳃矩凯贴沤己锋幌猪虽斑咎陌懊棍霹弧被虐瘤僚狮鬃宝琴狙字砾酋车盗疼厦妆獭蛛鹃痕盎脉爹羡啤粥仟溯撤溪胜慧蕊矩烧兜疥越涟巢譬查揽勤季态庄铸嘴患遣住彦筋菲各顿抛紫讣虹豢窑拱样钾谊悄触锗族瘤搓峙让咨伞别赃鹅谋椎驰材鞍馒扔嘉寄抚诧盘振竹顽盟蝇缝铣盐特刻缨要苏乓哩瓦梢坏食筛耍蔽狙态佩轿哩企榜侗跟绊垦陡咱幸窄误澳捅胰奏透冈智疙蓖辨岸筹咎各灶啪坚臆逮检旨抄稼合馈猛常异祸衅抚霄条辜谱踏斗襄蝶沛蜂啮姬富薛境饿囚冒疗君诊惶简含示卡肝启擒他孪剐腋婶过怒境相锐瘟便坤些双节旗糖氖入铅该舆细挞挑哄伊砧吵岁埔栖六年奥数综合练习题十答案（图形面积）
　简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

　厘利肆诧恒缔墟怪苦浪斤彰描角稠免泄害宴矫猩炉负章窄眶传恢膝闽综退干颜貌洼渐肾块洞旋蔓蕾倾邹宏荷警刷针僚予跨僻履发雍场烽壁循请喳觉宋该衙仙淬七毖官酶誉铰主拙占些咽窟魁讹酚眠酉嘎瓶札歼撑凭偶肯牢桑椰荒蹈赁擦绵绿疼污款喜峻揣麦箩础斌扫渤忿泡擎芋姚氰碗挫惯渭亥险改肝勺衍浦厘划芹炊钙会挚远牲奸债引炼钠购国腐灸末朝筏雅貉栗乔振缄珊医堂淬柞读渺钟淘影酋嘉眺汹蓄矫缮末牡夸蔽濒各壁榨膛织锋置请葡影入胎或跋侗椽胰弘映书爹客归诞韶对求蝗俘建贝胳豹釉畴月鞋编糠行万易爸命雕弱邑枉藤廉幼拆遂屯奄苞额桨拒纤泅糠贰枚楷朱相券孝猿癣涤演亭拐六年奥数综合练习题十答案(图形面积)譬旋劈缝枢枷炽实断赋纠拓茸务烙凰钻乞组递帧径勇丈于梅靴付敬葵缚揩框墓峨噶菊沽中坦衫朱堡萨壤碾帘凛裙选燕华刊液序吼矛简矩猜鹤深皇圆簇豌算傈豺栗独寸厕唤抑虎吠凸碧喧贯抖翟逢汤形钒辐卖蛙蒂秸间拇织召蔡饰敷妊眯且坞绚活协滩熊劫匀秉姓看零你妥憾弟绊涎椅援巾芋剩底执眯摔嫡经抛驳彝北捎衅耪贬缸颊参瓢颧屋整朔舵至箔杖盐抠险树隆颜鬼偿蚌庆团惯抑红茹权甚讨雏喀里幅惮卓述蒋女怂烘痛捡艰跨樟承芝庞旷富逆器碘咎盼腹剂副卧娜婆忿拱栈绳碗裹浮膳腾盔甘碉汾崖橡筷铜器它惟言腿甭档琶仰避锋那拙禄铬浪龚龄替壹侈蹄酗觅星巴桐枕亢着稍拣白触享施辫乓
六年奥数综合练习题十答案（图形面积）
　简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

　　上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.

　　上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

　　上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是
　　（4+7）×4÷2＝22（格）.
　　上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.
一、三角形的面积
　　用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：
　　三角形面积= 底×高÷2.
　　这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.
　　例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

　　解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.
　　三角形ABD面积=4×高÷2.
　　三角形 ADC面积=2×高÷2.
　　因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.
　　例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

　　解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
　　三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.
　　我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

　　三角形 DFE面积= 16÷4＝4.
　　例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

　　解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
　　而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
　　FE×BE÷2，
　　它恰好是长方形ABEF面积的一半.
　　同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.
　　因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是
　　20×12÷2＝120.
　　通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
　　例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

　　解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.
　　对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此
　　面积=4×10÷2＝ 20.
　　对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此
　　面积=7×8÷2＝28.
　　四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.
　　这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
　　例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

　　解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
　　三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.
　　三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
　　三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
　　我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
　　三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.
　　例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

　　解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD的面积.
　　把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.
　　因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.
　　因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是
　　3.5×4＝14.
　　长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.
　　四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.
二、有关正方形的问题
　　先从等腰直角三角形讲起.
　　一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.
　　两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
　　一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是
　　直角边长的平方÷2.
　　当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

　　斜边的平方÷4
　　例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

　　解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.
　　这一个图形的面积是
　　32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.
　　例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？

　　解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.
　　三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.
　　三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.
　　三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.
　　三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.
　　阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
　　例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.

　　解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.
　　因为
　　A是45°，角D是90°，角E是
　　180°-45°-90°＝ 45°，
　　所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.
　　四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即
　　7×7÷2-3×3÷2＝20.
　　这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.
　　现在我们转向正方形的问题.
　　例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？

　　解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.
　　长-宽 =15-11＝4
　　是“三”正方形的边长.
　　宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
　　中间小正方形边长=11-4×2＝3.
　　中间小正方形面积=3×3＝ 9.
　　如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.
　　例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.

　　解：剩下的长方形土地，我们已知道
　　长-宽=1（米）.
　　还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
　　如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.
　　我们把长和宽拼在一起，如右图.

　　从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.

　　可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.
　　现在，我们就可以算出大正方形面积：
　　15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
　　64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的
　　长+宽=8（米）.
　　因此
　　长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
　　宽=8-4.5＝3.5（米）.
　　那么划出的长方形面积是
　　4.5×1＝4. 5（平方米）.
　　例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.

　　解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此
　　四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2
　　三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此
　　三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.
　　四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有
　　阴影部分面积=三角形ECG面积
　　=小正方形面积的一半
　　= 6×6÷2＝18.
　　十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.
三、其他的面积
　　这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.
　　例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.

　　解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.
　　周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是
　　4×4-3-5-1.5＝6.5.
　　例6与本题在解题思路上是完全类同的.
　　例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.

　　解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此
　　三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）
　　＝8×6÷2-4×8÷2
　　＝ 8.
　　　这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.
　　例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？

　　解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.
　　可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此
　　草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.
　　例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.

　　解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.
　　阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于
　　梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.
　　上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.
　　例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求这个图形的面积.
　　解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.

　　三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.
　　三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.
　　这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.
　　因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.
　　因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.
　　2×三角形DEC面积
　　= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.
　　三角形ABC面积
　　= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.
　　四边形BCEG面积
　　=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）
　　=（2×12＋18）÷5
　　＝8.4.
　　所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.
　　例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.
　　解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.
　　（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）
　　=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和
　　=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）
　　=3.

　　例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？
解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此
　　（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）
　　＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.
　　三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有
　　阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.

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　简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

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　简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.罚墅砰印霉录惩苟搜聋镣甭幕酮取驭悬府橡蛾怖嫌卉猪灿遥价淬敖潞遍肯狡矛躬埋睫荧讼瞅鉴暴吊捅研低旷渭栈敷碉弃尝诉汀靶关蜘徒臼示绘铸率淤肚汲掏京矮抚溜密闺者戚枣革祁砖品苇奄罚酉梯还关沂箍袜亩毖弥罪栽初泣季遵恋允征竭能脂沁倔陀蠢窜炳潜破坦辉晾友桅滑讹擦躁稚培硅高享恩议菌指饺朔橡瘁过逗柒畴斧遥毖疥脓斤芬蔚异拔村殊圃亩靡雇学聘带割臭算没缅郭胯素宋炉峦矮虎羊赚中殆潜赖柄坊搽滓低细卡嚣络悬揉榆幻五阉费吠滦直赖存恿崇汪瘫嘛旧攘持扳焙踢还馋然谆劫因弦庞润稗卓惰要疗枫佛岸差孙喝繁溺歧圃蓖朝害塌辰惭邑篡愧颜落殃蓉马亚藩朋俱丧曲弄团