高中导数知识点及练习题.pdf

导数导数一、导数的概率一、导数的概率设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，)(xfy 0 xx 0 xx x则函数相应地有增量，如果时，与)(xfY)()(00 xfxxfy0 xy的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们xxyxy把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即)(xfy 0 xx 0/xxyxxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。0 x2.在定义导数的极限式中，趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而可xy能为 0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义xy)(xfy xx是过曲线上点（）及点）的割线斜率。)(xfy)(,00 xfx)(,(00 xxfxx4.导数是函数在点的处瞬时变化xxfxxfxfx)()(lim)(0000/)(xfy 0 x率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲)(xfy 0 x线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点)(xfy)(,00 xfx)(xfy 可导，则曲线在点（）处的切线方程为0 x)(xfy)(,00 xfx。)()(00/0 xxxfxfy5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，)(xfy 0 x与无关。x6.在定义式中，设，则，当趋近于 0 时，趋近于xxx00 xxxxx，因此，导数的定义式可写成0 x。00000/)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxox7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。xxfxxfx)()(lim000)(xfy 0 x8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不)(xf0 x)(xfy)(,00 xfx然。若曲线在点（）有切线，函数在不一定可)(xfy)(,00 xfx)(xfy 0 x导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切)(xfy 0 x)(,00 xfx线。一般地，其中为常数。特别地，。axbax)(lim0ba,aax0lim如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个)(xfy),(ba，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。),(bax)(/xf)(/xf称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作)(/xf)(xfy，即/y)(/xf/yxxfxxfxyxx)()(limlim00函数在处的导数就是函数在开区间)(xfy 0 x0/xxy)(xfy),(ba上导数在处的函数值，即。所以函数),(bax)(/xf0 x0/xxy)(0/xf在处的导数也记作。)(xfy 0 x)(0/xf注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数)(xfy),(ba在开区间内可导。)(xfy),(ba2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。)(xfy 0 x)(/xf0 x3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即0 xx)(/xfxxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：)(xfy（1）.求函数的改变量。)()(xfxxfy（2）.求平均变化率。xxfxxfxy)()(（3）.取极限，得导数。/yxyx0lim二二.练习题练习题（一）、选择题1若函数在区间内可导，且则()yf x(,)a b0(,)xa b000()()limhf xhf xhh的值为（）A B C D0()fx02()fx02()fx02一个物体的运动方程为其中 的单位是米，的单位是秒，21ttsst那么物体在 秒末的瞬时速度是（）3A米/秒 B米/秒 76C 米/秒 D 米/秒583函数的递增区间是（）3yxx=+A B ),0()1,(C D),(),1(4,若,则的值等于（）32()32f xaxx(1)4faA B 319316C D3133105函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）)(xfy 0)(xfy A充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件6函数在区间上的最小值为（）344xxy2,3A B 7236C D120（二）、填空题1若，则的值为_；30(),()3f xxfx0 x2曲线在点 处的切线倾斜角为_；xxy43(1,3)3函数的导数为_；sin xyx4曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为xyln(,1)M e_；5函数的单调递增区间是_。5523xxxy（三）、解答题1求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。2610 xy 3235yxx2求函数的导数。()()()yxa xb xc3求函数在区间上的最大值与最小值。543()551f xxxx4,14已知函数，当时，有极大值；23bxaxy1x 3（1）求的值；（2）求函数的极小值。,a by（一）、选择题1函数有（）()323922yxxxx=-A极大值，极小值 527B极大值，极小值511C极大值，无极小值 5D极小值，无极大值272若，则（）0()3fx 000()(3)limhf xhf xhhA B 36C D9123曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标3()2f xxx=+-0p41yx=-0p为（）A B(1,0)(2,8)C和 D和(1,0)(1,4)(2,8)(1,4)4与是定义在 R 上的两个可导函数，若,满足,则()f x()g x()f x()g x()()fxg x与满足（）()f x()g xA B为常数函数 ()f x()g x()f x()g xC D为常数函数()f x()0g x()f x()g x5函数单调递增区间是（）xxy142A B C D),0()1,(),21(),1(6函数的最大值为（）xxylnA B C D1ee2e310（二）、填空题1函数在区间上的最大值是 。2cosyxx0,22函数的图像在处的切线在x轴上的截距为3()45f xxx1x _。3函数的单调增区间为 ，单调减区间为32xxy_。4若在增函数，则的关系式为是 32()(0)f xaxbxcxd aR,a b c。5函数在时有极值，那么的值分别为322(),f xxaxbxa1x10ba,_。（三）、解答题1已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值。12 xy31xy0 xx 0 x2如图，一矩形铁皮的长为 8cm，宽为 5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知的图象经过点，且在处的切线方程是cbxaxxf24)(0,1)1x 2yx（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。)(xfy)(xfy 4平面向量，若存在不同时为的实数和，使13(3,1),(,)22ab0kt且，试确定函数的单调区间。2(3),xatb ykatb xy()kf t（一）、选择题1若,则等于（）()sincosf xx()fA B CDsincossincos2sin2若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（2()f xxbxc()fx）3已知函数在上是单调函数,则实数的1)(23xaxxxf),(a取值范围是（）A B ),33,(3,3C D),3()3,()3,3(4对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）R()f x(1)()0 xfxA B.(0)(2)2(1)fff(0)(2)2(1)fffC.D.(0)(2)2(1)fff(0)(2)2(1)fff5若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为（）4yxl480 xylA B C D430 xy450 xy430 xy430 xy6函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，)(xf),(ba)(xf),(ba则函数在开区间内有极小值点（）)(xf),(ba abxy)(xfyO abxy)(xfyOA 个 B个 C 个 D个1234（二）、填空题1若函数在处有极大值，则常数 的值为_；()()2f xx xc=-2x c2函数的单调增区间为 。xxysin2 3设函数，若为奇函数，则()cos(3)(0)f xx()()f xfx=_4设，当时，恒成立，则实数的321()252f xxxx2,1x()f xmm取值范围为 。5对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，n)1(xxyn2x yna则数列的前项和的公式是1nann三、解答题1求函数的导数。3(1 cos2)yx2求函数的值域。243yxx3已知函数在与时都取得极值32()f xxaxbxc23x 1x(1)求的值与函数的单调区间。,a b()f x(2)若对，不等式恒成立，求 的取值范围。1,2x 2()f xcc4已知,，是否存在实数,使同时满23()logxaxbf xx(0,)xab、)(xf足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）)(xf(0,1)1,的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.)(xf1ab、三三.导数综合应用导数综合应用1.已知函数的图象如图所示dxbacbxaxxf)23()(23（I）求的值；dc,（II）若函数在处的切线方程为，求函)(xf2x0113 yx数的解析式；)(xf（III）在（II）的条件下，函数与的)(xfy mxxfy5)(31图象有三个不同的交点，求的取值范围m2已知函数)(3ln)(Raaxxaxf（I）求函数的单调区间；)(xf（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数)(xf4x,23在区间（1，3）上不是单调函数，求 m 的取值范围2)(31)(23mxfxxxg3已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大cbxaxxxf23)(1x值（I）求实数的取值范围；a（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；9)32()(2axf)(xf（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：)(xfR、81|)sin2()sin2(|ff4已知常数，为自然对数的底数，函数，0aexexfx)(xaxxgln)(2（I）写出的单调递增区间，并证明；)(xfaea（II）讨论函数在区间上零点的个数)(xgy),1(ae5已知函数()ln(1)(1)1f xxk x（I）当时，求函数的最大值；1k()f x（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；()f xk6已知是函数的一个极值点（）2x 2()(23)xf xxaxae 718.2e（I）求实数的值；a（II）求函数在的最大值和最小值()f x 3,23x7已知函数)0,(,ln)2(4)(2aRaxaxxxf （I）当 a=18 时，求函数的单调区间；)(xf （II）求函数在区间上的最小值)(xf,2ee8已知函数在上不具有单调性()(6)lnf xx xax(2,)x（I）求实数的取值范围；a（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两()fx()f x22()()6g xfxx个不相等正数，不等式恒成立12xx、121238|()()|27g xg xxx9已知函数.1,ln)1(21)(2axaaxxxf （I）讨论函数的单调性；)(xf （II）证明：若.1)()(,),0(,521212121xxxfxfxxxxa有则对任意10已知函数21()ln,()(1),12f xxaxg xaxa（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，(),()f xg x1,3求实数的取值范围；a（II）若，设，求证：当(1,(2.71828)aee()()()F xf xg x时，不等式成立12,1,x xa12|()()|1F xF x11设曲线：（），表示导函数C()lnf xxex2.71828e()fx()f x（I）求函数的极值；()f x（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯C11(,)A x y22(,)B xy12xx一的，使直线的斜率等于0 x12(,)x xAB0()fx12定义，),0(,)1(),(yxxyxFy（I）令函数，写出函数的定义域；22()(3,log(24)f xFxx()f x（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b322()(1,log(1)g xFxaxbx使得曲线C在处有斜率为8 的切线，求实数的取值范围；)14(00 xxa（III）当且时，求证,*x yNxy(,)(,)F x yF y x