高考数学平面向量知识点及相关题型.pdf

平面向量平面向量1 1、向量、向量：既有大小，又有方向的量。向量不能比较大小，只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。数量：只有大小，没有方向的量。数量可以比较大小，也可以判断是否相等。2 2、有向线段的三要素、有向线段的三要素：起点、方向、长度起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。零向量零向量：长度为的向量0单位向量单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量相等向量：长度相等且方向相同的向量3 3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。4 4、向量加法运算、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab运算性质：交换律：；abba结合律：；abcabc00aaa坐标运算（坐标加减）：设，11,ax y22,bxy则1212,abxxyy5 5、向量减法运算、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则11,ax y22,bxy1212,abxxyy设、两点的坐标分别为，则A11,x y22,xy1212,xxyyA 6 6、向量数乘运算、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aa；aa当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相0aa0aa反；当时，00a b a C A abCC AA 运算律：；aa aaaabab坐标运算：设，则,ax y,ax yxy【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关具体位置无关，只与其相对位置有关】7 7、向量共线定理、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使0a a bba/)ab（设，其中，则当且仅当时，向量、11,ax y22b,xy0b 12210 x yx ya共线0b b 练习练习 设 a,b 是两个不共线的向量，若2,2ABapb BCab CDab A,B,D 三点共线，则实数 p 的值是对于对于(均为实数均为实数)，若，若 A,B,CA,B,C 三点共线，则三点共线，则，反之仍，反之仍OAOBOC ,+=1 然成立。然成立。练习练习 如图所示，在中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线ABCAB，AC 于不同的两点 M，N，若,则 m+n 的值为,ABmAM ACnAN 8 8、平面向量基本定理、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于1e2e 这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共a121 122aee 线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）1e2e 练习练习 在下列向量组中，可以把向量 a=a=（3,2）表示出来的是A，e e1 1=（0,0），e e2 2=（1,2）B,e e1 1=（-1,2），e e2 2=（5,-2）C,e e1 1=（3,5），e e2 2=（6,10）D,e e1 1=（2,-3），e e2 2=（-2,3）【解题】用已知向量表示另外一些向量，除了利用向量加减法和数乘运算外，还充分利用平面几何的一些定理。在求向量时要尽可能的转化到平行四边形或三角形中。常要用到相似三角形对应边成比例，三角形中位线等平面几何的性质。练习练习 1、在中，点 M,N 满足,则 x=ABC2,AMMC BNNCMNxAByAC 若，y=2、如图，已知平面内有三个向量,其中的夹角为 120 度，,OA OB OC ,OA OB 的夹角为 30 度，且,OA OC ,则的值为=12 3,(,)OAOBOCOCOAOBR ，若9 9、分点坐标公式、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，12 1211,x y，当时，点的坐标是（当22,xy12 1212,11xxyy时，就为中点公式。）11010、平面向量的数量积：、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba bab0的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积a b a b aabacosb 练习练习 已知点 A(-1，1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的投ABCD 在影为性质性质：设和都是非零向量ab0aba b当与同向时，；当与反向时，；aba ba baba ba b 或22a aaa aa a a ba b两向量夹角的范围为，求夹角时一定要注意两向量夹角的范围0，练习练习 若非零向量 a,ba,b 满足，则 a a 与 b b 的夹角2 2,()(32)3ababab且为运算律运算律：；a bb a aba bababca cb c 坐标运算坐标运算：设两个非零向量，则11,ax y22,bxy1212a bx xy y若，则，或 设，,ax y222axy22axy11,ax y22,bxy则12120abx xy y设、都是非零向量，是与的夹角，则ab11,ax y22,bxyab121222221122cosx xy ya ba bxyxy 练习练习 1、平面向量，且 c c 与 a a 的夹角等于 c c 与 b b 的(1,2),(4,2),cmab(mR)ab夹角，则 m=A,-2 B,-1 C,1 D,22、在平行四边形 ABCD 中，AD=1，角 BAD=60 度，E 为 CD 的重点，若，则 AB 的长为1AC BE A解三角形解三角形1 1、（1 1）正弦定理）正弦定理：在中，、分别为角、的对边，则有CAabcAC2sinsinsinabcRCA(为的外接圆的半径)RCA（2 2）正弦定理的变形公式：）正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cCA（3 3）正弦定理的应用：）正弦定理的应用：已知两角和任一边，求另一角和其他两条边练习 在ABC 中，A60，B75，a10，则 c 等于()A5 B10 C.D52210636已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角【注意】在中，已知 a,b 和 A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的ABC情况，一般可根据三角形中“大边对大角，三角形内角和定理”来取舍，具体情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解3 3、三角形面积公式、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4 4、余弦定理：、余弦定理：在中，有CA2222cosabcbcA推论：推论：222cos2bcabcA 应用：应用：已知三边，求各角 已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 练习练习 在ABC 中，a3，b1，c2，则 A 等于()A30 B45 C60 D755 5、三角形中常用结论、三角形中常用结论在中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，常见的结论有ABC（1）A+B+C=（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC 中，ABabsin Asin B.（3）常用三角恒等式：sin（A+B）=sin（C）；cos（A+B）=-cos（C）；tan(A+B)=-tan(C)sin)cos();cos)sin()22ABCABCCC（练习练习 1、的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,cABC（1）若 a,b,c 成等差数列，证明 sinA+sinC=2sin(A+C)（2）若 a,b,c 成等比数列，求 cosB 的最小值6、三角形形状的判定，利用正余弦定理把已知条件转化为三角形的三角函数关系或者边边关系再进行下一步求解 练习练习 1、在中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若直线 bx+ycosA+cosB=0ABC与 ax+ycosB+cosA=0 平行，则一定是（）ABCA,锐角三角形 B,等腰三角形 C,直角三角形 D，等腰或者直角三角形2、在ABC中，若；则ABC是()acos Abcos Bccos CA直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形7 7、三角形的面积公式的选择、三角形的面积公式的选择（1）已知三角形一边及该边上的高，利用12Sah（2）已知三角形的两边及其夹角，利用1sin()2SabC（3）已知三角形的三边，利用()()(),2abcSp papbpc其中p=练习练习 1、在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()2313A3 B2 C4 D.33332、在中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知ABC22,3,coscos3sinAcosA3sincosab cABBB（1）求角 C 的大小（2）若，求的面积4sin5A ABC3、设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，a=btanA，且 B 为钝角（1）证明2AB（2）求 sinA+sinC 的取值范围4、已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且 2cos2 cos A0.A2(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积3