空间几何证明.doc

立体几何中平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

定理：
1. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。
2. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。
推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
b.经过两相交直线，有且只有一个平面；
c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。
3. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
作用：a.判定两个不重合平面是否相交；
b.判断点在直线上。
4. 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。
5. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6.（直线与平面平行的判定定理）
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
条件：a.一条直线在平面外；
b.一条直线在平面内；
c..这两条直线互相平行。
7.（平面与平面平行的判定定理）
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
条件：a.两条相交直线；
b.相交直线在一个平面内；
c.对应平行。
8. （直线与平面平行的性质定理）
一条 直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
条件：a.一条直线与一个平面平行；
b.过这条直线的任一个平面与此平面相交；
c.交线与直线平行。
9. （平面与平面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3
b.平面1与3相交，平面2与3相交
c.交线平行
点、线、面的相关证明

一. 多点共线和多线共点问题证明
方法：公理3的熟练应用；两个相交平面有且只有一条公共直线。
1. 如下图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，G，H。求证：E，F，G，H四点必定共线。

2. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B，Q，D1三点共线。

3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB 的中点，F为AA1的中点，求证：
a.E，C，D1，F四点共面；
b.CE，D1F，DA三线共点。

二． 计算异面直线所成角度
方法：平移法和辅助线（中位线）构造角度
1. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角度为______________.
2. 如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面面积为3，体积为√2/2，E为侧棱PC的中点，则PA与BE 所成的角为____________.

3. 如图所示，正三棱锥S-ABC（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E、F分别是SC、AB的中点，异面直线EF与SA所成的角为____________.

4. 如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：
（1） 三角形PCD的面积；
（2） 异面直线BC与AE所成的角的大小.

5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是棱AB、BC、CD、CC1的中点，直线MN与PQ所成的度数_______________.