基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)(1).pdf

基本不等式专题基本不等式专题知识点：1.(1)若，则(2)若，则（当且仅当Rba,abba222Rba,222baab时取“=”）ba 2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当*,Rbaabba2*,Rbaabba2时取“=”）ba(3)若，则 (当且仅当时取“=”）*,Rba22baabba 3.若，则(当且仅当时取“=”）0 x 12xx1x 若，则(当且仅当时取“=”）0 x 12xx 1x 若，则 (当且仅当时取“=”）0 x 11122-2xxxxxx即或ba 4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则0ab2abbaba 0ab (当且仅当时取“=”）22-2abababbababa即或ba 5.若，则（当且仅当时取“=”）Rba,2)2(222bababa 注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 21x解：(1)y3x 22 值域为，+）12x 266(2)当 x0 时，yx 22；1x当 x0 时，yx=（x）2=21x1x值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例 已知，求函数的最大值。54x 14245yxx 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对450 x1(42)45xxA要进行拆、凑项，42x，5,5404xx 11425434554yxxxx 231 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。15454xx1x 1x max1y技巧二：凑系数例：当时，求的最大值。(82)yxx解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将2(82)8xx凑上一个系数即可。(82)yxx当，即 x2 时取等号 当 x2 时，的最大值为 8。(82)yxx变式：设，求函数的最大值。230 x)23(4xxy解：230 x023 x2922322)23(22)23(42xxxxxxy当且仅当即时等号成立。,232xx23,043x技巧三：分离技巧四：换元例：求的值域。2710(1)1xxyxx 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当 x1 时取“”号）。421)591yxx（解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即 t=时,（当 t=2 即 x1 时取“”号）。4259ytt技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单()af xxx调性。例：求函数的值域。2254xyx解：令，则24(2)xt t2254xyx22114(2)4xtttx 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。10,1ttt1tt1t 2,因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故1ytt 1,2,。52y 所以，所求函数的值域为。5,2技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知，且，求的最小值。0,0 xy191xyxy错解：，且，故 0,0 xy191xy1992212xyxyxyxyxy。min12xy错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在2xyxyxy等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，1992xyxy19xy9yx在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，190,0,1xyxy199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，9yxxy191xy4,12xy。min16xy技巧七例：已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.y 221y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。a 2b 22同时还应化简中y2前面的系数为，xx x1y 2121y 22下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 341y 2234 2技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a，abb302bb1302bb12 b 230bb1由a0 得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令u则u22u300，5u3ab2223，ab18，yab2118点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；abba2）（Rba,如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到230abab）（Rba,ab之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换abba与abba2）（Rba,为含的不等式，进而解得的范围.abab技巧九、取平方例:求函数的最大值。152152()22yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又，所以0y 02 2y当且仅当=，即时取等号。故。21x52x32x max2 2y应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。1121abcbcaaaa 解：a、b、c，。同理，R1abc1121abcbcaaaa 121acbb。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得121abcc。当且仅当时取等号。1112221118bcacababcabcAA13abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0 xy191xyxymm解：令，,0,0,xyk xy191xy991.xyxykxky1091yxkkxky。，10312kk 16k,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPbaRQP,分析：1 ba0lg,0lgba（21Qpbabalglg)lglg RQP。QababbaRlg21lg)2lg(