基本初等函数知识点.pdf

指数函数及其性质指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念（一）根式的概念1、如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，,1nxa aR xR nnNxanna的 次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负nnananna的次方根用符号表示；0 的次方根是 0；负数没有次方根nnanan2、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；nanana当 为偶数时，n0a 3、根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，()nnaannnaan (0)|(0)nnaaaaaa（二）分数指数幂的概念（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：且0 的正分数指数幂等于(0,mnmnaaam nN1)n 02、正数的负分数指数幂的意义是：且0 的负 11()()(0,mmmnnnaam nNaa1)n 分数指数幂没有意义 注意口诀：注意口诀：底数取倒数，指数取相反数3、a0=1(a 0)ap 1/ap(a0；pN)4、指数幂的运算性质 (0,)rsr saaaar sR()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR 5、0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念二、指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R R)1a,0a(ayx且注意：指数函数的定义是一个形式定义；1 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和 1 2三、指数函数的图象和性质三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数(0 xyaa1)a 1a 01a图象定义域R值域（0,+）过定点图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数R在上是减函数Rxay xy(0,1)O1y xay xy(0,1)O1y 函数值的变化情况y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)y1(x0),y=1(x=0),0y1(x0)变化对a图象影响在第一象限内，越大图象越高，越靠近ay 轴；在第二象限内，越大图象越低，越靠近ax 轴在第一象限内，越小图象越高，越靠a近 y 轴；在第二象限内，越小图象越低，越靠a近 x 轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b上，值域是或)1a0a(a)x(fx且)b(f),a(f)a(f),b(f（2）若，则；取遍所有正数当且仅当0 x 1)x(f)x(fRx（3）对于指数函数，总有)1a0a(a)x(fx且a)1(f（4）当时，若，则1a 21xx)x(f)x(f21四、四、底底数数的的平平移移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即“上上加加下下减减，左左加加右右减减”五五、幂幂的的大大小小比比较较常用方法（1）比差差（商商）法法：（2）函函数数单单调调性性法法；（3）中中间间值值法法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与 B 之间的大小。注注意意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指指数数函函数数的的单单调调性性 来判断。例如：y1=34,y2=35（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指指数数函函数数图图像像的的变变化化规规律律来判断。例如：y1=（1/2）4,y2=34,（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中中间间值值来比较对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1 的大小）进行 分分组组，再比较各组数的大小即可。在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向时，ax大于 1，异向时ax小于 1.对数函数及其性质对数函数及其性质一、对数与对数的运算一、对数与对数的运算（一）对数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：Nax)1,0(aaxaN（底数，真数，对数式）NxalogaNNalog说明：说明：注意底数的限制，且；0a1a；xNNaaxlog注意对数的书写格式Nalog两个重要对数：常用对数：以 10 为底的对数；Nlg 自然对数：以无理数为底的对数的对数71828.2eNln指数式与对数式的互化幂值 真数 N bba logaN 底数 指数 对数（二）对数的运算性质（二）对数的运算性质如果，且，那么：0a1a0M0N；Ma(log)NMalogNalog 2NMalogMalogNalog 3naMlognMalog)(RnMaMannlog1log bbaalogbabalog loga1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b注意：换底公式注意：换底公式（，且；，且；）abbccalogloglog0a1a0c1c0b推论推论(利用换底公式利用换底公式)；bmnbanamloglogabbalog1log二、对数函数二、对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数0(logaxya)1ax的定义域是（0，+）注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，xy2log2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数5log5xy 对数函数对底数的限制：，且0(a)1a三、对数函数的图像和性质：三、对数函数的图像和性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数log(0ayx a1)a 1a 01a图象定义域(0,)值域R过定点图象过定点，即当时，(1,0)1x 0y 奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数(0,)在上是减函数(0,)xyO(1,0)1x logayx xyO(1,0)1x logayx 函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高aa变化对a图象影响在第一象限内，越大，图象越靠近 x 轴a在第四象限内，越大，图象越靠近 y 轴a在第一象限内，越小，图象越靠近 x 轴a在第四象限内，越小，图象越靠近 y 轴a四、对数的平移、大小比较与指数函数类似四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数反函数一、反函数定义一、反函数定义设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式()yf xAC()yf xx子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的()xyyC()xyxA值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，()xyxy()xy()yf x记作，习惯上改写成1()xfy1()yfx二、反函数的求法二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；()yf x1()xfy将改写成，并注明反函数的定义域1()xfy1()yfx三、反函数的性质三、反函数的性质原函数与反函数的图象关于直线对称()yf x1()yfxyx函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域()yf x1()yfx若在原函数的图象上，则在反函数的图象上(,)P a b()yf x(,)P b a1()yfx一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数()yf x幂函数及其性质幂函数及其性质一、幂函数的定义一、幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数yxx二、幂函数的图象二、幂函数的图象 函数 特征 性质 y=x yx2 yx3 yx12 yx1 定义域 R R R 0，）|x x 0 值域 R 0，）R 0，）|y y 0 x )0，增 x ()0，增 单调性 增 x (，0减 增 增 x ()，0减 所过定点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）三、幂函数的性质三、幂函数的性质1、图象分布：图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；y幂函数是奇函数奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 2、过定点：过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点(0,)(1,1)3、单调性：单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数00,)如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近0(0,)轴与轴xy4、奇偶性：奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），qp,p qpqZ若为奇数为奇数时，则是奇函数，pqqpyx若为奇数为偶数时，则是偶函数，pqqpyx若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数pqqpyx5、图象特征：图象特征：幂函数，,(0,)yxx当时，若，其图象在直线下方，101xyx若，其图象在直线上方，1x yx当时，若，其图象在直线上方，101xyx若，其图象在直线下方1x yx练习题练习题