高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线).pdf

-1-高中平面解析几何知识点总结高中平面解析几何知识点总结一一.直线部分直线部分1 1直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交xx点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角,斜率不存在.)180,0 90（2）直线的斜率：两点坐标为、.tan),(211212kxxxxyyk111(,)P x y222(,)P xy2 2直线方程的五种形式：直线方程的五种形式：（1 1）点斜式：）点斜式：(直线 过点，且斜率为)(11xxkyyl),(111yxPk注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 xx（2 2）斜截式：）斜截式：(b 为直线 在 y 轴上的截距).bkxyl（3 3）两点式：）两点式：(，).121121xxxxyyyy12yy12xx注：不能表示与轴和轴垂直的直线；xy 方程形式为：时，方程可以表示任意直线0)()(112112xxyyyyxx（4 4）截距式：）截距式：（分别为轴轴上的截距，且）1byaxba,xy0,0ba注：不能表示与轴垂直的直线，也不能表示与轴垂直的直线，特别是不能表示过原xy点的直线（5 5）一般式：）一般式：(其中 A、B 不同时为 0)0CByAx一般式化为斜截式：，即，直线的斜率：BCxBAyBAk注：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或bykxb0 x 已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率 k 存在时，为 k 的倒数)或0 x0 xmyxm0y 已知直线过点，常设其方程为或00(,)xy00()yk xxy0 xx（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合-2-3 3直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点1（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点14 4两条直线的平行和垂直：两条直线的平行和垂直：（1）若，有111:lyk xb222:lyk xb；.212121,/bbkkll12121llk k（2）若，有0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl；1221122121/CACABABAll0212121BBAAll5 5平面两点距离公式：平面两点距离公式：（1）已知两点坐标、，则两点间距离111(,)P x y222(,)P xy22122121)()(yyxxPP（2）轴上两点间距离：xABxxAB（3）线段的中点是，则 21PP),(00yxM22210210yyyxxx6 6点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：点到直线的距离：),(00yxP0CByAxl：2200BACByAxd7 7两平行直线间的距离公式：两平行直线间的距离公式：两条平行直线的距离：002211CByAxlCByAxl：，：2221BACCd8 8直线系方程：直线系方程：（1 1）平行直线系方程：）平行直线系方程：直线中当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程ykxbkb 与直线平行的直线可表示为:0l AxByC10AxByC 过点与直线平行的直线可表示为：00(,)P xy:0l AxByC00()()0A xxB yy（2 2）垂直直线系方程：）垂直直线系方程：-3-与直线垂直的直线可表示为:0l AxByC10BxAyC 过点与直线垂直的直线可表示为：00(,)P xy:0l AxByC00()()0B xxA yy（3 3）定点直线系方程：）定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的000(,)P xy00()yyk xx0 xxk系数 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数000(,)P xy00()()0A xxB yy,A B（4）共点直线系方程：经过两直线交点的直线系0022221111CyBxAlCyBxAl方程为(除开)，其中 是待定的系数0)(222111CyBxACyBxA2l9 9两条曲线的交点坐标：两条曲线的交点坐标：曲线与的交点坐标方程组的解1:(,)0Cf x y 2:(,)0Cg x y(,)0(,)0f x yg x y10.10.平面和空间直线参数方程：平面和空间直线参数方程：平面直线方程以向量形式给出：方向向量为下面推导参数方程：nbynax21nns21，tnbytnaxtnbynax2121则有令：空间直线方程也以向量形式给出：方向向量为 下面推导参数方程：nbznbynax321nnns321,，tncztnbytnaxtncznbynax321321则有令：注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。二二.圆部分圆部分-4-1 1圆的方程：圆的方程：（1 1）圆的标准方程：）圆的标准方程：（）222)()(rbyax0r（2 2）圆的一般方程：）圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx（3 3）圆的直径式方程：）圆的直径式方程：若，以线段为直径的圆的方程是：),(),(2211yxByxA，AB0)()(2121yyyyxxxx注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是，)2,2(EDFEDr42122（2）一般方程的特点：和的系数相同且不为零；没有项；2x2yxy0422FED（3）二元二次方程表示圆的等价条件是：022FEyDxCyBxyAx；0 CA0B0422AFED2 2圆的弦长的求法：圆的弦长的求法：（1 1）几何法：）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，ldr则：“半弦长+弦心距=半径”；222222)2(rdl（2 2）代数法：）代数法：设 的斜率为，与圆交点分别为，则lkl),(),(2211yxByxA，|11|1|22BABAyykxxkAB（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解）|,|2121yyxxyx3 3点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种),(00yxP222)()(rbyax在在圆外P22020)()(rbyaxrd在在圆内 P22020)()(rbyaxrd 在在圆上 P22020)()(rbyaxrd 【到圆心距离】P2200()()daxby4 4直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种:0CByAx222)()(rbyax-5-圆心到直线距离为()，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得d22BACBbAadxy一元二次方程的判别式为；0rd；0rd0rd5 5两圆位置关系两圆位置关系:设两圆圆心分别为，半径分别为，21,OO21,rrdOO21；421rrd；21rrd；321rrd；121rrd22121rrdrr6 6圆系方程：圆系方程：)04(02222FEDFEyDxyx（1）过直线与圆:的交点的圆系方程：0CByAxl：C022FEyDxyx,是待定的系数0)(22CByAxFEyDxyx（2）过圆:与圆:的交点的圆1C011122FyExDyx2C022222FyExDyx系方程：,是待定的系数0)(2222211122FyExDyxFyExDyx特别地，当时，就是1 2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的121212()()()0DD xEEyFF直线7 7圆的切线方程：圆的切线方程：（1）过圆上的点的切线方程为:222ryx),(00yxP200ryyxx（2）过圆上的点的切线方程为:222)()(rbyax),(00yxP200)()(rbybyaxax-6-（3）当点在圆外时，可设切方程为，利用圆心到直线距离等于半),(00yxP)(00 xxkyy径，即，求出；或利用，求出若求得只有一值，则还有一条斜率不存在的直线rd k0kk0 xx 8.8.圆的参数方程：圆的参数方程：圆方程参数方程源于：1cossin22 那么 1)()2222RbyRax（设：得：cos)sin)RbyRax（cossinRbyRax9 9把两圆与方程相减011122FyExDyx022222FyExDyx即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121FFyEExDD1010对称问题：对称问题：（1 1）中心对称：）中心对称：点关于点对称：点关于的对称点),(11yxA),(00yxM)2,2(1010yyxxA 直线关于点对称：法 1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程法 2：求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程21/ll（2 2）轴对称：）轴对称：点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上点关于直线 对称 AAllAAlAA lAAkklAA 1 直线关于直线对称：（设关于 对称）ba,l法 1：若相交，求出交点坐标，并在直线上任取一点，求该点关于直线 的对称点ba,al若，则，且与 的距离相等la/lb/ba,l-7-法 2：求出上两个点关于 的对称点，在由两点式求出直线的方程aBA,l（3 3）其他对称：）其他对称：点(a,b)关于 x 轴对称：(a,-b)；关于 y 轴对称：(-a,b)；关于原点对称：(-a,-b)；点(a,b)关于直线 y=x 对称：(b,a)；关于 y=-x 对称：(-b,-a)；关于 y=x+m 对称：(b-m、a+m)；关于 y=-x+m 对称：(-b+m、-a+m).1111若，则ABC 的重心 G 的坐标),(),(),(332211yxCyxByxA，是33321321yyyxxx，1212各种角的范围：各种角的范围：直线的倾斜角 1800两条相交直线的夹角 900两条异面线所成的角 900三三.椭圆部分椭圆部分1.1.椭圆定义：椭圆定义：到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即MO1+MO2=2a 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2a。2.2.椭圆性质：椭圆性质：由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从 A 点向焦点引两条焦半径AO1+AO2=AO2+O2B=2a这是因为AO1=O2B(由图形比较看出)椭圆的标准方程：-8-12222byax 椭圆参数方程：从圆方程知：Ryx222 圆方程参数方程源于：1cossin22所以按上面逻辑将椭圆方程 视为12222byax 设 得：cossinRyRxcossinRRyx同理椭圆参数方程为：得：cossinbyaxcossinbayx由于两个焦半径和为 2a所以 得：得：COCOaCOCO21212cCObCOaCOCO21baccba22222 椭圆离心率，来源于圆的定义：圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。椭圆离心率为 ace四四.双曲线部分双曲线部分1.1.双曲线定义：双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：a212MOMO 双曲线的标准方程：-9-12222byax 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数 2a.aABAQBQABAQAQaABAQAQ22121212 双曲线的渐近线：由标准方程知：axabyaxaby2222222 程。以上为渐近线的推导过为渐近线，另一条为又xabyxabyxabxabaxaby222若标准方程为 ，那么这时12222axbyxabyybaybabybax222注意 y 下面对应 b，x 下面对应 a.取 x=a 及 x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和 y 轴的交点称为虚焦点，该轴称为虚轴。推导 a、b、c 之间的关系：设双曲线上任意一点坐标 M（x，y）1222222222122212222)()()()(acyaxaycxycxMOMOycxMOycxMO经化简得：设：12222222byaxbac双曲线标准方程为：从而得到:bac222-10-五五.抛物线部分抛物线部分1.定义：定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p，定点为 O1（p，0），（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性）设：抛物线上任意一点坐标为 M(x，y)M 点到定直线 x=-p 的距离为px M 点到定点 O1（p，0）的距离为ypx22)(pxyypxpxpxpxypxpx422)(22222222 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成 y，函数变成 x；而二次函数自变量是 x，函数是 y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。如下：)0(2acbxxay 韦达定理：.acxxabxx2121 .顶点坐标，推导采用配方法：)(4422abacab，abacabxacababxabxay4422222222-11-求根公式：aacbbx24221，从而零点坐标为。0021，、，xx 平移。位，向右移动一个单位即图像想上移动一个单，及如何为零，不难看出和同样看、单位，即图像向左移动一个如何为零，不难看出同样看、即向下移动一个单位。时，只有在难看出怎么样才可等于零，不如何平移呢？那就要看、例如：11)1()1()1(2)1(1)1()1(2101)1(2)1(22222cb,axyxyxpyxxxpyyyypxy 注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.