第十六章二次根式知识点归纳.pdf

第十六章二次根式知识点归纳第十六章二次根式知识点归纳一、一、形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或第二，被开方数是正数或 0 0三、二次根式三、二次根式（）的双重非负性：）的双重非负性：1 1、被开方数非负。2、的值非负。a四、二次根式的化简。四、二次根式的化简。1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数或 0.2a=a=a2a若若 a a 是正数，则是正数，则aa等于等于 a a 本身；本身；若若 a a 是负数，则是负数，则aa等于等于 a a 的相反数的相反数-a,-a,若若 a a 是是 0 0，则，则aa等于等于 0.0.2 2、=a=a (a0).(a0).2a3 3、被开方数是乘积用=（a0a0，b0b0）化，）化，abab4 4、被开方数是商的形式用=（a0a0，b0b0）或）或=abbabab1ab5 5、最简二次根式应满足的条件：最简二次根式应满足的条件：（1 1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；不含分母或分母中不含二次根式；（2 2）被开方数中的因数或因式不能再开方。中的因数或因式不能再开方。（五五）二二次次根根式式的的加加法法和和减减法法1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。（六六）二二次次根根式式的的混混合合运运算算1 确定运算顺序 2 灵活运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要及时 5 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 （七七）分分母母有有理理化化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。构成构成化去分母中的根号。化去分母中的根号。2a分母有理化有两种方法 I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。第十七章勾股定理知识总结第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a a2 2b b2 2=c=c2 2。或者或者:直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，则，ABC90C22cab，）22bca22acb（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2.2.勾股定理逆定理勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。a a.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法b b.若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；222abcabc 若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；222abcabcc c.定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，abc222abc如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三abc222acbabc角形是直角三角形，但是 为斜边b勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。勾股数勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，中，222abc，为正整数时，称为正整数时，称，为一组勾股数为一组勾股数abcabc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；8,15,17;等3,4,56,8,105,12,137,24,25用含字母的代数式表示 组勾股数：n（为正整数）；221,2,1nn n2,n n（，为正整数）2222,2,mnmn mn,mnmn3.经过证明被确认正确的命题叫做定理经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余两个锐角互余。可表示如下：C=90A+B=90 （2）、在直角三角形中，3030角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半。（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半（4 4）直角三角形三边满足222abc5 5、直角三角形的判定、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系，222cba那么这个三角形是直角三角形。6 6、三角形中的中位线、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。18 章章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一正确理解定义一正确理解定义（1）定义：）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法：）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形 ABCD 记作 ABCD，读作“平行四边形 ABCD”2熟练掌握性质熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的（1）角：）角：平行四边形的邻角互补邻角互补，对角相等对角相等；（2）边：）边：平行四边形两组对边对边分别平行且相等平行且相等；（3）对角线）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；（4）面积：）面积：；平行四边形的对角线将四边形分S=底高ah成 4 个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法平行四边形的判别方法定义：定义：两组对边两组对边分别平行平行的四边形是平行四边形 方法方法 1：两组两组对角对角分别相等相等的四边形是平行四边形方法方法 2：两组对边两组对边分别相等相等的四边形是平行四边形 方法方法 3：对对角线互相平分角线互相平分的四边形是平行四边形方法方法 4：一组平行且相等一组平行且相等的四边形是平行四边形二、二、几种特殊四边形的有关概念几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：）矩形：有一个角是直角直角 的平行四边形平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形；一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形：）菱形：有一组邻边相等邻边相等 的平行四边形平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形；一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形：）正方形：有一组邻边相等邻边相等且有一个直角直角 的平行四边形平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形2几种特殊四边形的有关性质几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：）矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）（2）菱形：）菱形：边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条）（3）正方形：）正方形：边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450；对称性：轴对称图形（4 条）3几种特殊四边形的判定方法几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2）菱形的判定：）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3）正方形的判定：）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等邻边相等 且有一个直角直角 的平行四边形平行四边形 有一组邻边相等邻边相等 的矩形矩形；对角线互相垂直对角线互相垂直 的矩形矩形 有一个角是直角直角 的菱形菱形 对角线相等对角线相等 的菱形菱形；4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法）识别矩形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任意一个角为直角 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的对角线相等 说明四边形 ABCD 的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法）识别菱形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的任一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形 ABCD 的四条相等（3）识别正方形的常用方法）识别正方形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形 ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为菱形，再说明菱形 ABCD 的一个角为直角5几种特殊四边形的面积问题几种特殊四边形的面积问题 设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b，则 S 矩形=ab 设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h，则 S 菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为 a,b，则 S 菱形=12ab 设正方形 ABCD 的一边长为 a，则 S 正方形=；若正方形的对角线的2a长为 a，则 S 正方形=212a平行四边形矩形菱形正方形图形性质1对边 且 ；2对角 ；邻角 ；3对角线 1对边 且 ；2对角 且四个角都是 ；3对角线 1对边 且四条边都 ；2对角 ；3对角线 且每1对边 且四条边都 ；2对角 且四个角都是 ；3对角线 且每条对；条对角线 ；角线 ；面积