高二数学导数知识点总结及习题练习.pdf

高三专题复习导数在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论（需要熟记需要熟记）：）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为()yf x0 xx0()fx000()()()yfxxxf x(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。()yf x0 xx0()0fx(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。()f x()fx00（）()f x(4)函数在区间 I 上递增（减）的充要条件是：恒成立()f xxI()fx0(0)(5)函数在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程()f x()f x在区间 I 上有实根且为非二重根。（若为二次函数且 I=R，则有）()0fx()fx0。(6)在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或()f x()f x()fx0在 I 上恒成立()fx0(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则xI()f x0min()f x0 xI()f x0max()f x0(8)若，使得，则；若，使得，则.0 xI0()f x0max()f x00 xI0()f x0min()f x0(9)设与的定义域的交集为 D 若D 恒成立则有()f x()g xx()()f xg xmin()()0f xg x(10)若对、，恒成立，则.11xI22xI12()()f xg xminmax()()f xg x若对，使得,则.11xI22xI12()()f xg xminmin()()f xg x若对，使得，则.11xI22xI12()()f xg xmaxmax()()f xg x（11）已知在区间上的值域为 A,，在区间上值域为 B，()f x1I()g x2I若对,，使得=成立，则。11xI22xI1()f x2()g xAB(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值()0fx12xx、大于 0，极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式:ln1(0)xxxln+1(1)xxx（）1xex 1xex ln1(1)12xxxx22ln11(0)22xxxx考点一：导数几何意义：考点一：导数几何意义：角度一角度一求切线方程求切线方程1(2014洛阳统考)已知函数 f(x)3xcos 2xsin 2x，af，f(x)是 f(x)的导函数，则(4)过曲线 yx3上一点 P(a，b)的切线方程为()A3xy20 B4x3y10C3xy20 或 3x4y10 D3xy20 或 4x3y10解析：选 A由 f(x)3xcos 2xsin 2x 得 f(x)32sin 2x2cos 2x，则af32sin 2cos 1.由 yx3得 y3x2，过曲线 yx3上一点 P(a，b)的切线的斜率(4)22k3a23123.又 ba3，则 b1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 yx3上的点 P 的切线方程为 y13(x1)，即 3xy20.角度二角度二求切点坐标求切点坐标2(2013辽宁五校第二次联考)曲线 y3ln xx2 在点 P0处的切线方程为 4xy10，则点 P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3)D(1,0)解析：选 C由题意知 y 14，解得 x1，此时 41y10，解得 y3，点 P03x的坐标是(1,3)角度三角度三求参数的值求参数的值3已知 f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，且与 f(x)1272图像的切点为(1，f(1)，则 m 等于()A1 B3C4 D2解析：选 Df(x)，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为1xyx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y0 x mx0，m0，当 x(ln 2，)时，g(x)0.f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，f(x)0，x10 得，x；由 F(x)0 得，x0)，f(x)x5.令 f(x)0，解得126xx2x3xx12，x23.当 0 x3 时，f(x)0，故 f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)0，x1.当 0 x0；当 x1 时，f(x)0，f(x)在区间(1，)上为增函数，不合题意1x当 a0 时，f(x)0(x0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即 x，1a此时 f(x)的单调递减区间为.1a，)由Error!Error!得 a1.当 a0)等价于(2ax1)(ax1)0(x0)，即 x，此时 f(x)的单调递12a减区间为.12a，)由Error!Error!得 a.综上，实数 a 的取值范围是1，)12(，12针对训练(2014荆州质检)设函数 f(x)x3 x2bxc，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.13a2(1)求 b，c 的值；(2)若 a0，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)x2axb，由题意得Error!Error!即Error!Error!(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，a)时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)(3)g(x)x2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立，即 x(2，1)时，a0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0 时，令 f(x)0，得 exa，即 xln a.x(，ln a)，f(x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故 f(x)在 xln a 处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a，无极大值 典例已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当 a0 时，f(x)a0，1x1x即函数 f(x)的单调增区间为(0，)当 a0 时，令 f(x)a0，可得 x，1x1a当 0 x0；当 x 时，f(x)0，1a1axx1a1axx故函数 f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(0，1a(1a，)(2)当 1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.1a当 2，即 0a 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是 f(1)a.1a12当 1 2，即 a1 时，函数 f(x)在上是增函数，在上是减函数又 f(2)f(1)1a121，1a(1a，2ln 2a，当 aln 2 时，最小值是 f(1)a；12当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.综上可知，当 0a0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在上的最大值1e，e解：(1)f(x)2bx，ax函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，12Error!Error!解得Error!Error!(2)f(x)ln x x2，f(x)x，121x1x2x当 xe 时，令 f(x)0 得 x1；1e1e令 f(x)0，得 10)的导函数 yf(x)的两个零ax2bxcex点为3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x)2axbexax2bxcexex2，ax22abxbcex令 g(x)ax2(2ab)xbc，因为 ex0，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点，且 f(x)与 g(x)符号相同又因为 a0，所以3x0，即 f(x)0，当 x0 时，g(x)0，即 f(x)5f(0)，所以函数 f(x)在区间5，)上的最大值是 5e5.5e5针对训练已知函数 f(x)x3ax2bxc，曲线 yf(x)在点 x1 处的切线为 l：3xy10，若 x时，yf(x)有极值23(1)求 a，b，c 的值；(2)求 yf(x)在3,1上的最大值和最小值解：(1)由 f(x)x3ax2bxc，得 f(x)3x22axb.当 x1 时，切线 l 的斜率为 3，可得2ab0，当 x 时，yf(x)有极值，则 f0，可得 4a3b40，23(23)由，解得 a2，b4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)4.所以 1abc4.所以 c5.(2)由(1)，可得 f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令 f(x)0，解之，得x12，x2.23当 x 变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2，23)23(23，1)1f(x)00f(x)81395274所以 yf(x)在3,1上的最大值为 13，最小值为.9527考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解考点七：利用导数研究恒成立问题及参数求解典例(2013全国卷)设函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x2.(1)求 a，b，c，d 的值；(2)若 x2 时，f(x)kg(x)，求 k 的取值范围解(1)由已知得 f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而 f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故 b2，d2，a4，dc4.从而 a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数 F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则 F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F(x)0 得 x1ln k，x22.()若 1ke2，则2x10.从而当 x(2，x1)时，F(x)0；当 x(x1，)时，F(x)0，即 F(x)在(2，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增，故 F(x)在2，)上的最小值为 F(x1)而 F(x1)2x12x 4x12x1(x12)0.2 1故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()若 ke2，则 F(x)2e2(x2)(exe2)从而当 x2 时，F(x)0，即 F(x)在(2，)上单调递增，而 F(2)0，故当 x2 时，F(x)0，即 f(x)kg(x)恒成立()若 ke2，则 F(2)2ke222e2(ke2)0.从而当 x2 时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上，k 的取值范围是1，e2针对训练设函数 f(x)x2exxex.12(1)求 f(x)的单调区间；(2)若当 x2,2时，不等式 f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，f(x)xex(exxex)x(1ex)，若 x0，则 f(x)0；若 x0，所以 f(x)0，则 1ex0，所以 f(x)0.f(x)在(，)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为(，)(2)由(1)知，f(x)在2,2上单调递减故f(x)minf(2)2e2，mm 恒成立故 m 的取值范围为(，2e2)考点八、考点八、利用导数证明不等式问题利用导数证明不等式问题 针对训练(2014东北三校联考)已知函数 f(x)x2 ax3(a0)，函数 g(x)f(x)ex(x1)，函数 g(x)的导1213函数为 g(x)(1)求函数 f(x)的极值；(2)若 ae，()求函数 g(x)的单调区间；()求证：x0 时，不等式 g(x)1ln x 恒成立解：(1)f(x)xax2ax，(x1a)当 f(x)0 时，x0 或 x，又 a0，1a当 x(，0)时，f(x)0；当 x时，f(x)0，(1a，)f(x)的极小值为 f(0)0，f(x)的极大值为f.(1a)16a2(2)ae，g(x)x2 ex3ex(x1)，g(x)x(exex1)1213()记 h(x)exex1，则 h(x)exe，当 x(，1)时，h(x)0，h(x)是增函数，h(x)h(1)10，则在(0，)上，g(x)0；在(，0)上，g(x)0 时，g(x)x(exex1)1ln xexex1，1ln xx由()知，h(x)exex11，记(x)1ln xx(x0)，则(x)，在区间(0,1)上，(x)0，(x)是增函数；1xx在区间(1，)上，(x)0，(x)是减函数，(x)(1)0，即 1ln xx0，1，1ln xxexex11，即 g(x)1ln x 恒成立1ln xx