数学分析试题及答案解析.pdf
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1、WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2A 试卷试卷 学院 班级 学号(后两位)姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一一.判断题(每小题 3 分,共 21 分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1.若在连续,则在上的不定积分可表为 xfba,xfba,dxxf().Cdttfxa 2.若为连续函数,则(xgxf,dxxgdxxfdxxgxf).3.若绝对收敛,条件收敛,则 adxxf adxxg必然条件收敛().adxxgxf 4.若收敛,则必有级数收敛()1dxxf 1nnf 5.若与均在区间 I 上内闭一致收敛,则也在区间 I nf
2、 ngnngf 上内闭一致收敛().6.若数项级数条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散1nna于正无穷大().7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同().二二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.若在上可积,则下限函数在上()xfba,axdxxfba,A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.若在上可积,而在上仅有有限个点处与不相 xgba,xfba,xg等,则()A.在上一定不可积;xfba,B.在上一定可积,但是;xfba,babadxxgdxxf C.在上一定可
3、积,并且;xfba,babadxxgdxxf D.在上的可积性不能确定.xfba,3.级数 12111nnnn A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设为任一项级数,则下列说法正确的是()nu A.若,则级数一定收敛;0limnnunu B.若,则级数一定收敛;1lim1nnnuunu C.若,则级数一定收敛;1,1nnuuNnN千千千千nu D.若,则级数一定发散;1,1nnuuNnN千千千千nu 5.关于幂级数的说法正确的是()nnxa A.在收敛区间上各点是绝对收敛的;nnxa B.在收敛域上各点是绝对收敛的;nnxa C.的和函数在收敛域上各点存在各阶导数;nnxaWO
4、RD 格式整理 专业资料 值得拥有 D.在收敛域上是绝对并且一致收敛的;nnxa三.计算与求值(每小题 5 分,共 10 分)1.nnnnnnn211lim 2.dxxx2cossinln四.判断敛散性(每小题 5 分,共 15 分)1.dxxxx02113 WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.1!nnnn 3.nnnnn21211 五.判别在数集 D 上的一致收敛性(每小题 5 分,共 10 分)1.,2,1,sinDnnnxxfnWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.,22,2Dxnn六已知一圆柱体的的半径为 R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割,求从圆柱体
5、上切下的这块立体的体积。(本题满 10 分)030七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上),且上底边距水表面距离为 10 米,已知三角形底边长为 20 米,高为 10 米,求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分 10 分)WORD 格式整理 专业资料 值得拥有八.证明:函数在上连续,且有连续的导函数.3cosnnxxf,(本题满分 9 分)WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2B 卷卷 答案答案 学院 班级 学号(后两位)姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题(每小题 3 分,共 21 分,正确者括号内打对勾,否则打
6、叉)1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)1.B;2.C;3.A;4.D;5.B三.求值与计算题(每小题 5 分,共 10 分)1.dxexxxxnn310223sinlim解:由于-3 分310310223sin0dxxdxexxxnxn 而 -4 分03111limlim1310nnnnndxx 故由数列极限的迫敛性得:-5 分0sinlim310223dxexxxxnn2.设,求xxxfsinsin2 dxxfxx1解:令 得 tx2sin =-2 分 dxxfxx1tdtftt2222sinsinsin1sin=tdttttttcossin2sinc
7、ossinWORD 格式整理 专业资料 值得拥有=-4 分tdttsin2=2 cos2sintttC=-5 分2 1arcsin2xxxC四.判别敛散性(每小题 5 分,共 10 分)1.dxxx1021arctan 解:-3 分241arctanlim1arctan1lim0122101xxxxxxx 且,由柯西判别法知,121p 瑕积分 收敛 -5 分dxxx1021arctan 2.2lnln1nnn 解:千千00,lnlimnnNnnn 有 -2 分2lnen 从而 当 -4 分0nn 2ln1ln1nnn 由比较判别法 收敛-5 分2lnln1nnn五.判别在所示区间上的一致收敛性
8、(每小题 5 分,共 15 分)1.,0,2,1,12Dnnxxfn解:极限函数为-2 分 DxxxfxfnnlimWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 又-3 分 nxnxnxnxxfxfn11/11222 10supnx Dfxf xn 从而0suplimffnn故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分2.1,1,3sin2Dxnn 解:因当 时,-2 分Dx nnnnxxu323sin2而 正项级数 收敛,-4 分n32由优级数判别法知,该函数列在 D 上一致收敛.-5 分3.,12Dnxn解:易知,级数的部分和序列一致有界,-2 分 n1 nS而 对 是单调的,又由于 nxxVDx
9、n21,,-4 分 nnnxxVDxn011,2所以在 D 上一致收敛于 0,nxxvn21从而由狄利克雷判别法可知,该级数在 D 上一致收敛。-5 分六.设平面区域 D 是由圆,抛物线及 x 轴所围第一象限部分,222 yx2xy 求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分 10 分)WORD 格式整理 专业资料 值得拥有解:解方程组得圆与抛物线在第一象限2222xyyx222 yx2xy 的交点坐标为:,-3 分1,1则所求旋转体得体积为:-7 分101022ydydyyV =-=-10 分76七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶(厚度忽略不计),内中盛满水,求从中
10、将水抽出需要做多少功?(本题满分 10 分)解:以圆柱上顶面圆圆心为原点,竖直向下方向为 x 轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为:-5 分dxxxdxdW2552 故所求为:-8 分100215dxxW =1250 =12250(千焦)-10 分八设是上的单调函数,证明:若与 2,1nxun,ba aun都绝对收敛,则在上绝对且一致收敛.(本题满分 9 分)bun xun,ba 证明:是上的单调函数,所以有 2,1nxun,ba -4 分 buauxunnn又由与都绝对收敛,aun bun所以 收敛,-7 分 buaunn由优级数判别法知:在上绝对且一致收敛.-xun,baWORD 格式
11、整理 专业资料 值得拥有2013-2014 学年度第二学期数学分析数学分析 2A 试卷试卷 学院 班级 学号(后两位)姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一一.判断题(每小题 2 分,共 16 分)(正确者后面括号内打对勾,否则打叉)1.若在a,b上可导,则在a,b上可积.()(xf)(xf2.若函数在a,b上有无穷多个间断点,则在a,b上必不可)(xf)(xf积。()3.若均收敛,则一定条件收aadxxgdxxf)()(与adxxgxf)()(敛。()4.若在区间 I 上内闭一致收敛,则在区间 I 处处收敛(xfn xfn)5.若为正项级数(),且当 时有:,则级1nna0na0nn 11
12、nnaa数必发散。()1nna 6.若以为周期,且在上可积,则的傅里叶系数为:xf2,()nxdxxfancos120 7.若,则()sann11112asaannn 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。()WORD 格式整理 专业资料 值得拥有二二.单项选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.下列广义积分中,收敛的积分是()A B C D 101dxx11dxx0sin xdx1131dxx2.级数收敛是部分和有界的()1nna1nnaA 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是()nuA.B.数列单调有界 0limnnu nu C.部分和
13、数列有上界 D.ns1lim1nnnun 4.设则幂级数的收敛半径 R=()aaannn1lim1bxabnn A.B.C.D.aba1a1ba115.下列命题正确的是()A 在绝对收敛必一致收敛)(1xann,baB 在一致收敛必绝对收敛)(1xann,baC 若,则在必绝对收敛0|)(|limxann)(1xann,baD 在条件收敛必收敛)(1xann,baWORD 格式整理 专业资料 值得拥有6.若幂级数的收敛域为,则幂级数在上nnxa1,1nnxa1,1 A.一致收敛 B.绝对收敛 C.连续 D.可导三三.求值或计算(每题 4 分,共 16 分)1.;dxxxxln12.dxxxco
14、ssin1 3.dxexxx11WORD 格式整理 专业资料 值得拥有4.设在0,1上连续,求 xf dxxfnn10lim四四.(16 分)判别下列反常积分和级数的敛散性.1.;1324332xxdx 2.dxxx10)1ln(11 3.;21lnnnnn WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 4.1!nnnnne五五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性(每题 5 分,共 10 分)1.),(;,2,1,)(42xnnxxfn 2.;nnnnx13)1(21,5.05.0,DxWORD 格式整理 专业资料 值得拥有六六.应用题型(14 分)1.一容器的内表面为由绕 y 轴旋
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