数学分析试题及答案解析.pdf

WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2A 试卷试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一一.判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在连续，则在上的不定积分可表为 xfba,xfba,dxxf（）.Cdttfxa 2.若为连续函数，则（xgxf,dxxgdxxfdxxgxf）.3.若绝对收敛，条件收敛，则 adxxf adxxg必然条件收敛（）.adxxgxf 4.若收敛，则必有级数收敛（）1dxxf 1nnf 5.若与均在区间 I 上内闭一致收敛，则也在区间 I nf ngnngf 上内闭一致收敛（）.6.若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散1nna于正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.若在上可积，则下限函数在上（）xfba,axdxxfba,A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相 xgba,xfba,xg等，则（）A.在上一定不可积；xfba,B.在上一定可积,但是；xfba,babadxxgdxxf C.在上一定可积，并且；xfba,babadxxgdxxf D.在上的可积性不能确定.xfba,3.级数 12111nnnn A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设为任一项级数，则下列说法正确的是（）nu A.若，则级数一定收敛；0limnnunu B.若，则级数一定收敛；1lim1nnnuunu C.若，则级数一定收敛；1,1nnuuNnN千千千千nu D.若，则级数一定发散；1,1nnuuNnN千千千千nu 5.关于幂级数的说法正确的是（）nnxa A.在收敛区间上各点是绝对收敛的；nnxa B.在收敛域上各点是绝对收敛的；nnxa C.的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；nnxaWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 D.在收敛域上是绝对并且一致收敛的；nnxa三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）1.nnnnnnn211lim 2.dxxx2cossinln四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.dxxxx02113 WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.1!nnnn 3.nnnnn21211 五.判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1.,2,1,sinDnnnxxfnWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.,22,2Dxnn六已知一圆柱体的的半径为 R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满 10 分）030七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为 10 米，已知三角形底边长为 20 米，高为 10 米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分 10 分)WORD 格式整理 专业资料 值得拥有八.证明：函数在上连续，且有连续的导函数.3cosnnxxf,（本题满分 9 分）WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2B 卷卷 答案答案 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.B;2.C;3.A;4.D;5.B三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.dxexxxxnn310223sinlim解：由于-3 分310310223sin0dxxdxexxxnxn 而 -4 分03111limlim1310nnnnndxx 故由数列极限的迫敛性得：-5 分0sinlim310223dxexxxxnn2.设，求xxxfsinsin2 dxxfxx1解：令 得 tx2sin =-2 分 dxxfxx1tdtftt2222sinsinsin1sin=tdttttttcossin2sincossinWORD 格式整理 专业资料 值得拥有=-4 分tdttsin2=2 cos2sintttC=-5 分2 1arcsin2xxxC四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.dxxx1021arctan 解：-3 分241arctanlim1arctan1lim0122101xxxxxxx 且，由柯西判别法知，121p 瑕积分 收敛 -5 分dxxx1021arctan 2.2lnln1nnn 解：千千00,lnlimnnNnnn 有 -2 分2lnen 从而 当 -4 分0nn 2ln1ln1nnn 由比较判别法 收敛-5 分2lnln1nnn五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 15 分）1.,0,2,1,12Dnnxxfn解：极限函数为-2 分 DxxxfxfnnlimWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 又-3 分 nxnxnxnxxfxfn11/11222 10supnx Dfxf xn 从而0suplimffnn故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分2.1,1,3sin2Dxnn 解：因当 时，-2 分Dx nnnnxxu323sin2而 正项级数 收敛，-4 分n32由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分3.,12Dnxn解：易知，级数的部分和序列一致有界，-2 分 n1 nS而 对 是单调的，又由于 nxxVDxn21,，-4 分 nnnxxVDxn011,2所以在 D 上一致收敛于 0，nxxvn21从而由狄利克雷判别法可知，该级数在 D 上一致收敛。-5 分六.设平面区域 D 是由圆，抛物线及 x 轴所围第一象限部分，222 yx2xy 求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）WORD 格式整理 专业资料 值得拥有解：解方程组得圆与抛物线在第一象限2222xyyx222 yx2xy 的交点坐标为：，-3 分1,1则所求旋转体得体积为：-7 分101022ydydyyV =-=-10 分76七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10 分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为 x 轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：-5 分dxxxdxdW2552 故所求为：-8 分100215dxxW =1250 =12250（千焦）-10 分八设是上的单调函数，证明：若与 2,1nxun,ba aun都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）bun xun,ba 证明：是上的单调函数，所以有 2,1nxun,ba -4 分 buauxunnn又由与都绝对收敛，aun bun所以 收敛，-7 分 buaunn由优级数判别法知：在上绝对且一致收敛.-xun,baWORD 格式整理 专业资料 值得拥有2013-2014 学年度第二学期数学分析数学分析 2A 试卷试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一一.判断题（每小题 2 分，共 16 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若在a,b上可导，则在a,b上可积.()(xf)(xf2.若函数在a,b上有无穷多个间断点，则在a,b上必不可)(xf)(xf积。（）3.若均收敛，则一定条件收aadxxgdxxf)()(与adxxgxf)()(敛。（）4.若在区间 I 上内闭一致收敛，则在区间 I 处处收敛（xfn xfn）5.若为正项级数（），且当 时有：，则级1nna0na0nn 11nnaa数必发散。（）1nna 6.若以为周期，且在上可积，则的傅里叶系数为：xf2,（）nxdxxfancos120 7.若，则（）sann11112asaannn 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）WORD 格式整理 专业资料 值得拥有二二.单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）A B C D 101dxx11dxx0sin xdx1131dxx2.级数收敛是部分和有界的（）1nna1nnaA 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 3.正项级数收敛的充要条件是（）nuA.B.数列单调有界 0limnnu nu C.部分和数列有上界 D.ns1lim1nnnun 4.设则幂级数的收敛半径 R=（）aaannn1lim1bxabnn A.B.C.D.aba1a1ba115.下列命题正确的是（）A 在绝对收敛必一致收敛)(1xann,baB 在一致收敛必绝对收敛)(1xann,baC 若，则在必绝对收敛0|)(|limxann)(1xann,baD 在条件收敛必收敛)(1xann,baWORD 格式整理 专业资料 值得拥有6.若幂级数的收敛域为,则幂级数在上nnxa1,1nnxa1,1 A.一致收敛 B.绝对收敛 C.连续 D.可导三三.求值或计算（每题 4 分，共 16 分）1.；dxxxxln12.dxxxcossin1 3.dxexxx11WORD 格式整理 专业资料 值得拥有4.设在0,1上连续，求 xf dxxfnn10lim四四.（16 分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.；1324332xxdx 2.dxxx10)1ln(11 3.；21lnnnnn WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 4.1!nnnnne五五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题 5 分，共 10 分）1.),(;,2,1,)(42xnnxxfn 2.；nnnnx13)1(21,5.05.0,DxWORD 格式整理 专业资料 值得拥有六六.应用题型（14 分）1.一容器的内表面为由绕 y 轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现2xy 有水（），若再加水 7（），问水位升高了多少米？3m3m WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2.把由，x 轴，y 轴和直线所围平面图形绕 x 轴旋转xeyx0得一旋转体，求此旋转体的体积，并求满足条件的.V VaVlim21a 七七证明题型（10 分）已知与均在a,b上连续，且在a,b上恒有，但 xf xg xgxf不恒等于，证明：xf xg babadxxgdxxf)()(WORD 格式整理 专业资料 值得拥有WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2013-2014 学年度第二学期数学分析数学分析 2B 试卷试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号一二三四五六七总分核分人得分一、判断题（每小题 2 分，共 18 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数而言，成立。（）xf Cxfdxxf2.若函数在上连续，则必为在上 xfba,dttfxFbx xfba,的原函数。（）3.若级数收敛，必有。（）1nna0limnxna4.若，则级数发散.1limnnna1nna5.若幂级数在处收敛，则其在-2,2上一致收敛.（1nnnxa2x）6.如果在以 a,b 为端点的闭区间上可积，则必有 xf.（）dxxfdxxfbaba7.设在上有定义，则与级数同敛散.（xf,1 dxxf1 1nnf）8.设在任子区间可积，b 为的暇点，则与 xfba,xf badxxfWORD 格式整理 专业资料 值得拥有同敛散.（）dtttbfab21119.设在上一致收敛，且 xfn bxxaD,00存在，则.nnxxaxf0limNn xfxfnnxxnxxnlimlimlimlim00二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数在上可积的必要条件是（）)(xf,baA 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2.下列说法正确的是（）A.和收敛，也收敛 1nna1nnb1nnnbaB.和发散，发散1nna1nnb1)(nnnbaC.收敛和发散，发散1nna1nnb1)(nnnbaD.收敛和发散，发散1nna1nnb1nnnba3.在收敛于，且可导，则（）)(1xann,ba)(xa)(xan A.B.可导 xaxann)(1)(xa C.D.一致收敛，则必连续banbandxxadxxa)()(11)(nnxa)(xa 4.级数 12111nnnnWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定5.幂级数的收敛域为：0212nnnxn A.（-0.5,0.5）B.-0.5,0.5 C.D.5.0,5.05.0,5.0三.求值与计算题（每小题 4 分，共 16 分）1.dxxxx2sin2cossin2.dxxxx123.nnnnnnn111lim4.dxbaxba2WORD 格式整理 专业资料 值得拥有四.判别敛散性（每小题 4 分，共 16 分）1.；dxxxx131arctan2.dxxx1013.1111nnnnn4.11cos1nnnWORD 格式整理 专业资料 值得拥有五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1.1)1/(1,0)1/(10,)1(1xnnxxnxfn1,0.,2,1xn2.121)(1nnnnx),(x六.应用题型（16 分）1.试求由曲线及曲线所平面图形的面积.2xy 22xyWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 2.将表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可102cos1dxxx使之误差不超过十万分之一.7.（9 分）证明：若函数项级数满足：xun（）；（）收敛.则函数项级数2,1)(,naxuDxnnna在 D 上一致收敛.xunWORD 格式整理 专业资料 值得拥有014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2A 卷卷 答案答案 三三.判断题（每小题 3 分，共 21 分）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）B,C,C,D,A三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）1.解：原式=nnnnnn12111lim =-2 分 nknnnk111lnexplim =-3 分 nknnnk111lnlimexp =-5 分21lnexpxdx14e 2.原式=-2 分 xdxtansinln =-4 分xdxxxxcottantansinln =-5 分Cxxxtansinln四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.-2 分3113lim223xxxxx且 -3 分123p 由柯西判别法知，收敛。-5 分dxxxx02113 2.由比式判别法WORD 格式整理 专业资料 值得拥有 -4 分nnnaa1limnnnnnnn!1!1lim11/111lim1enn 故该级数收敛.-5 分 3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数收敛-2 分 11nnn 又 知其单调且有界，-4 分121112120nnn故由阿贝尔判别法知，级数收敛.-5 分五.1.解：极限函数为-2 分 Dxxfxfnn0lim 又 -4 分 nnnxxfxfn1sin 故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分0suplimffnn 2.解：因当 时，-3 分Dx nnnnnxnxnxu2222而 正项级数 收敛，-4 分nn22由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分六已知一圆柱体的的半径为 R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面 角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分 10 分）030 解:在底圆面上以所截直径线为 x 轴，底圆的圆心为原点示坐标系，WORD 格式整理 专业资料 值得拥有过 x 处用垂直 x 轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：-5 分 2202230tan21xRxRxS 2263xR 故所求立体的体积为：-7 分=-10 分RRdxxRV22633932R七.解：建立图示坐标系(竖直方向为 x 轴)则第一象限等腰边的方程为 -3 分10 yx 压力微元为：dxxdxxxdF2100210102 故所求为 -7 分dxxF10021002 -10 分 千33.1333千千67.13066八.证明：每一项在上连续，2,1cos3nnnxxun,又 而收敛 331cosnnnxxun31nWORD 格式整理 专业资料 值得拥有 所以在上一致收敛，-3 分3cosnnx,故由定理结论知 在上连续，-5 分 3cosnnxxf,再者 而收敛 221sinnnnxxun21n所以在上一致收敛，结合在上的连续 xun,xun,性可知在上有连续的导函数.-9 分 3cosnnxxf,WORD 格式整理 专业资料 值得拥有2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2B 试卷试卷 学院 班级 学号（后两位）姓名 题号一二三四五六七八总分核分人得分二、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.若为偶函数，则必为奇函数（）.xf dxxf2.为符号函数，则上限函数 y=在上连续 xysgnxadttsgn,（）.3.若收敛，必有（）.dxxfa 0limxfx4.若在区间 I 上内闭一致收敛，则在区间 I 上处处收敛（）.nf nf5.若在上内闭一致收敛，则在上一致收敛（1)(nnxuba,1)(nnxuba,）.6.若数项级数绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝1nna对收敛，并且其和不变（）.7.若函数项级数在上的某点收敛，且在上一)(xunba,)(xunba,致收敛，则也在上一致收敛（）.)(xunba,二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数是奇函数，且在上可积，则（）)(xf,aaA B aaadxxfdxxf0)(2)(0)(aadxxfWORD 格式整理 专业资料 值得拥有C D aaadxxfdxxf0)(2)()(2)(afdxxfaa 2.关于积分，正确的说法是（）dxxxx1021sin A.此为普通积分 B.此为瑕积分且瑕点为 0 C.此为瑕积分且瑕点为 1 D.此为瑕积分且瑕点为 0,13.就级数（）的敛散性而言，它是（）nnpln120p A.收敛的 B.发散的 C.仅 时收 D.仅 时收敛1p1p 4.函数列在区间上一致收敛于 0 的充要条件是（）nfI A.B.0lim,xfIxnn 0lim,nnnxfIx C.D.0limxfNnnx 0suplimxfnIxn5.幂级数的收敛域为：0212nnnxn A.（-0.5,0.5）B.-0.5,0.5 C.D.5.0,5.05.0,5.0三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.dxexxxxnn310223sinlimWORD 格式整理 专业资料 值得拥有2.设，求xxxfsinsin2 dxxfxx1四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.dxxx1021arctan 2.2lnln1nnn WORD 格式整理 专业资料 值得拥有五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 15 分）1.,0,2,1,12Dnnxxfn2.1,1,3sin2Dxnn3.,12DnxnWORD 格式整理 专业资料 值得拥有六.设平面区域 D 是由圆，抛物线及 x 轴所围第一象限部222 yx2xy 分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10 分）WORD 格式整理 专业资料 值得拥有八设是上的单调函数，证明：若与 2,1nxun,ba aun 都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）bun xun,ba 山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，一派峥嵘；秋风传一页，海棠妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。