立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习).pdf

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值轨迹问题轨迹问题【例例 1】如图，在正四棱锥 SABCD 中，E 是 BC 的中点，P 点在侧面SCD 内及其边界上运动，并且总是保持 PEAC则动点 P 的轨迹与SCD 组成的相关图形最有可能的是 ()PPPPSCDSCDSCDSCDABCD解析：解析：如图，分别取 CD、SC 的中点 F、G，连结 EF、EG、FG、BD设 AC 与 BD 的交点为 O，连结SO，则动点 P 的轨迹是SCD 的中位线 FG由正四棱锥可得 SBAC，EFAC又EGSBEGACAC平面 EFG，PFG，E平面 EFG，ACPE另解：另解：本题可用排除法快速求解B 中 P 在 D 点这个特殊位置，显然不满足 PEAC；C 中 P 点所在的轨迹与 CD 平行，它与 CF 成 角，显然不满足 PEAC；D 于中 P 点所在的轨迹与 CD 平行，它与 CF 所成的角4为锐角，显然也不满足 PEAC 评析：评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹【例例 2】(1)如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是 CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足 时，有 MN平面 B1BDD1(2)正方体 ABCD A1B1C1D1中，P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，且总保持 APBD1，则动点 P 的轨迹是 线段 B1C (3)正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F 分别是棱 A1B1，BC 上的动点，且 A1E=BF，P 为 EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段 MN(M、N 分别为前右两面的中心)(4)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体的侧面 BCC1B1上到点 A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ABCDD1C1B1A1PNABCDD1C1B1A1MGEHFABCDD1C1B1A1PABCDD1C1B1A1EFP(1)(2)(3)(4)若将若将“在正方体的侧面 BCC1B1上到点 A 距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点 A 距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ABCDEFGPOMNS【例例 3】(1)(04 北京北京)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 (D )A A 直线 B圆 C双曲线 D抛物线变式：若将“P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离相等”改为“P 到直线 BC 与直线 C1D1的距离之比为 1：2(或 2：1)”，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 椭圆(双曲线)(2)(06 北京北京)平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 于点 C，则动点 C 的轨迹是 (A)A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支解：解：设 l 与 l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 的交线上，故选 A(3)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，M 在棱 AB 上，且 AM=，点 P 到直13线 A1D1的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则点 P 的轨迹为 抛物线(4)已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3，长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在DD1上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 6【例例 4】(04 重庆重庆)若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：(D)ABCPABCPABCPABCPABCD【例例 5】四棱锥 P-ABCD，AD面 PAB，BC面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，APD=CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是()A圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分分析：AD面 PAB，BC平面 PABADBC 且 ADPA，CBPBAPD=CPBtanAPD=tanCPB=ADPACBPBPB=2PA在平面 APB 内，以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(-3，0)、B(3，0)，设 P(x，y)(y0)，则(x-3)2+y2=4(x+3)2+y2(y0)即(x+5)2+y2=16(y0)P 的轨迹是(B)ABCDD1C1B1A1PlABCABCDD1C1B1A1MPABCDD1C1B1A1MN3323PABCD立体几何中的轨迹问题（教师版）1在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为（D）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义因为 B1C1面 AB1，所以PB1就是 P 到直线 B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选 D2在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为（B）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分3在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 1：2，则动点 P 所在曲线的形状为（C）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 AA1的中点，点 P 在其对角面 BB1D1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点 P 的轨迹有可能是（A）A圆或圆的一部分 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC 是平面 BB1D1D 的法向量，所以 EP 与直线 AC 成等角，得到 EP 与平面BB1D1D 所成的角都相等，故点 P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分5已知正方体的棱长为 a，定点 M 在棱 AB 上（但不在端点 A，B 上），点 P 是平面ABCDA B C D1111ABCD 内的动点，且点 P 到直线的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a2，则点 P 的轨迹所在曲线为A D11（A）A抛物线B双曲线 C直线D圆 简析在正方体中，过 P 作 PFAD，过 F 作 FEA1D1，垂足分别为 F、E，ABCDA B C D1111连结 PE则 PE2=a2+PF2，又 PE2-PM2=a2，所以 PM2=PF2，从而 PMPF，故点 P 到直线 AD 与到点 M 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 M 为焦点，AD 为准线的抛物线6在正方体中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，总有 APBD1，则动点 P 的轨迹ABCDA B C D1111为_ 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面易证 BD1面 ACB1，所以满足 BD1AP 的所有点 P 都在一个平面 ACB1上而已知条件中的点 P 是在侧面 BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点 P 在平面 ACB1与平面 BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段 B1C本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹7在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有 PEAC，则动点P 的轨迹为_ 答案线段 MN（M、N 分别为 SC、CD 的中点）8若 A、B 为平面的两个定点，点 P 在外，PB，动点 C（不同于 A、B）在内，且 PCAC，则动点 C 在平面内的轨迹是_（除去两点的圆）9若三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D）A A A A P P P P B C B C B C B C A B C D 简析动点 P 在侧面 ABC 内，若点 P 到 AB 的距离等于到棱 BC 的距离，则点 P 在的内角ABC平分线上现在 P 到平面 BCD 的距离等于到棱 AB 的距离，而 P 到棱 BC 的距离大于 P 到底面 BCD 的距离，于是，P 到棱 AB 的距离小于 P 到棱 BC 的距离，故动点 P 只能在的内角平分线与 AB 之间的区域ABC内只能选 D10已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（B）A圆B椭圆 C双曲线D抛物线 解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等11已知正方体的棱长为 1，在正方体的侧面上到点 A 距离为的点的轨迹形ABCDA B C D1111BCC B112 33成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_ 简析以 B 为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为3323612已知长方体中，在线段 BD、上各有一点 P、Q，PQ 上有一点ABCDA B C D1111ABBC63,A C11M，且，则 M 点轨迹图形的面积是 PMMQ 2 提示轨迹的图形是一个平行四边形13已知棱长为 3 的正方体中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCDA B C D1111DD1N 在底面 ABCD 上运动，求 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积 简析由于 M、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点 P 的几何性质，连结 DP，因为 MN=2，所以 PD=1，因此点 P 的轨迹是一个以 D 为球心，1 为半径的球面在正方体内的部分，所以点 P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即18184316314已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为 4，则在内到点 P 的距离为 5 且到直/llP线 的距离为的点的轨迹是（）l29A一个圆B两条平行直线C四个点D两个点简析：如图，设点 P 在平面内的射影是 O，则 OP 是、的公垂线，OP=4在内到点 P 的距离等于 5 的点到 O 的距离等于 3，可知所求点的轨迹是内在以 O 为圆心，3 为半径的圆上又在内到直线 的距离等于的点的集合是两条平行直线 m、n，l29它们到点 O 的距离都等于，所以直线 m、n 与这个圆均相交，共有四个交点因此所求32174)29(22点的轨迹是四个点，故选 C16在四棱锥中，面 PAB，面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCDP ADBC，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（）CPBAPDA圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分简析：因为面 PAB，面 PAB，所以 AD/BC，且ADBC90CBPDAP又，8BC,4AD,CPBAPD可得，即得CPBtanPBCBPAADAPDtan2ADCBPAPB在平面 PAB 内，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 A（-3，0）、B（3，0）设点 P（x，y），则有，整理得2y)3x(y)3x(|PA|PB|222209x10yx22由于点 P 不在直线 AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选 B17如图，定点 A 和 B 都在平面内，定点 PC 是内异于 A 和 B,PB,的动点且，那么动点 C 在平面内的轨迹是（）ACPC A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点简析：因为，且 PC 在内的射影为 BC，所以，即所以点 C 的轨迹是PCAC BCAC 90ACB以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点，故选 B18如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若 P 到直线1111DCBAABCD1BCBC 与直线的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）11DCA直线B圆C双曲线D抛物线简析：因为 P 到的距离即为 P 到的距离，所以在面内，P 到定点11DC1C1BC的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D1C19已知正方体的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线的距离等于点1111DCBAABCD11DAP 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线简析：如图 4，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系设 P（x，y），作于 E、于 F，连结 EF，易知ADPE 11DAPF 1x|EF|PE|PF|2222又作于 N，则依题意，CDPN|1y|PN|PN|PF|即，化简得|1y|1x20y2yx22故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B20如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABPaa的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线分析：由于线段 AB 是定长线段，而ABP 的面积为定值，所以动点 P 到线段 AB 的距离也是定值由此可知空间点 P 在以 AB 为轴的圆柱侧面上又 P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线 a21如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正P1111ABCDABC D1BDP11BB D D方体表面相交于设，则函数的图象大致是（）MN，BPxMNy()yf xABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO分析：将线段 MN 投影到平面 ABCD 内，易得 y 为 x 一次函数22已知异面直线 a，b 成角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两个端点 A、B 分别在 a，b 上移动，且60线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程图 5简析：如图 5，易知线段 AB 的中点 P 在公垂线段 MN 的中垂面上，直线、为平面内过 MN 的中 a b点 O 分别平行于 a、b 的直线，于，于，则，且 P 也为的中点 aAA A bBB BPBAABBA由已知 MN=2，AB=4，易知得,2AP,1AA32BA则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点 P 的轨迹现以32BAAB a b的角平分线为 x 轴，O 为原点建立如图 6 所示的平面直角坐标系OBA图 6设，)y,x(Pn|OB|,m|OA|则)n21,n23(B),m21,m23(A)nm(41y),nm(43x222)32()nm(41)nm(43消去 m、n，得线段 AB 的中点 P 的轨迹为椭圆，其方程为1y9x22点评：例 5 和例 6 分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力立体几何中的轨迹问题1在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B1C1的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为 （）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分2在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为（）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分3在正方体 ABCD-A1B1C1D1的侧面 AB1内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B1C1的距离之比为 1：2，则动点 P 所在曲线的形状为（）A线段 B一段椭圆弧 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分4在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 AA1的中点，点 P 在其对角面 BB1D1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点 P 的轨迹有可能是（）A圆或圆的一部分 B抛物线或其一部分 C双曲线或其一部分 D椭圆或其一部分5已知正方体的棱长为 a，定点 M 在棱 AB 上（但不在端点 A，B 上），点 P 是平面ABCDA B C D1111ABCD 内的动点，且点 P 到直线的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a2，则点 P 的轨迹所在曲线为（A D11）A抛物线B双曲线 C直线D圆6若三棱锥 ABCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是（）A A A A P P P P B C B C B C B C A B C D A B C D7已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A圆B椭圆 C双曲线D抛物线8已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为 4，则在内到点 P 的距离为 5 且到直/llP线 的距离为的点的轨迹是（l29）A一个圆B两条平行直线C四个点D两个点9在四棱锥中，面 PAB，面 PAB，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCDP ADBC，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（）CPBAPDA圆B不完整的圆C抛物线D抛物线的一部分10如图，定点 A 和 B 都在平面内，定点 PC 是内异于 A 和 B,PB,的动点且，那么动点 C 在平面内的轨迹是（）ACPC A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点11已知正方体的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线的距离等于点1111DCBAABCD11DAP 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线12如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABPaa的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（）A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线13如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正P1111ABCDABC D1BDP11BB D D方体表面相交于设，则函数的图象大致是（）MN，BPxMNy()yf xABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO14在正方体中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，总有 APBD1，则动点 P 的轨迹ABCDA B C D1111为_15在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有 PEAC，则动点P 的轨迹为_16若 A、B 为平面的两个定点，点 P 在外，PB，动点 C（不同于 A、B）在内，且 PCAC，则动点 C 在平面内的轨迹是_17已知正方体的棱长为 1，在正方体的侧面上到点 A 距离为的点的轨迹形ABCDA B C D1111BCC B112 33成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_18已知长方体中，在线段 BD、上各有一点 P、Q，PQ 上有一点ABCDA B C D1111ABBC63,A C11M，且，则 M 点轨迹图形的面积是 PMMQ 219已知棱长为 3 的正方体中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCDA B C D1111DD1N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 20已知异面直线 a，b 成角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两个端点 A、B 分别在 a，b 上移动，且60线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程