圆与扇形经典题汇总.pdf

圆与扇形圆与扇形 公式与割补公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等下面我们来说说这方面的基础知识圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用 表示另外，一般把直径记作 d，半径记作 r，如图 1 所示dr图 1所以，圆的周长，圆的面积2Cdr2Sr如图 3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论nr图 3扇形的圆心角为 n时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n所以，扇形弧长=，面积=2360nr2360nr我们先来熟悉一下这些公式练习：1.半径是 2 的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是 5 的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是 10 的圆的面积是多少？4.面积是 9 的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题例题 1.已知扇形的圆心角为 120，半径为 2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）例题例题 2.已知扇形面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）60随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为 0.785 厘米，圆心角为，这个扇形的半径和周长45各是多少？2.扇形的面积是 31.4 平方厘米,它所在圆的面积是 157 平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？3.如图，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以 B，C 为圆心，3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是 35.58请问：角 A 是多少度？（取3.14）ABC二、圆中方，方中圆4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是 2，那么大圆、小圆的面积分别为_、_随堂练习：1.已知外面大圆的半径是 4，里面小圆的面积是多少？（答案用 表示）二、割补法5.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1）（2）23随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1）（2）求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14 计算）：（1）（2）6.已知图中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为_（答案用表示）47227.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（取3.14）4作业：1.半径为 4 厘米的圆的周长是_厘米，面积是_平方厘米；2.半径为 4 厘米，圆心角为的扇形周长是_厘米，面积是_90平方厘米（取 3.14）3.家里来客人了，淘气到超市买了 4 瓶啤酒，售货员阿姨将 4 瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆 4 圈至少要用绳子_厘米（取 3.14，接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1）（2）1010111O7 厘米5.下列图形中的正方形的边长为 2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为_、_（取 3.14）6.用一块面积为 36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？圆与扇形圆与扇形旋转与重叠旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域例题：一、重叠问题例题例题 1.下图中甲区域比乙区域的面积大 57 平方厘米，且半圆的半径是 10 厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取 3.14）甲乙例题例题 2.下图中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以OBC 为半径的扇形已知厘米图中阴影部分的面积为多少平方厘米？10ABBC（取 3.14）ACBDE随堂练习1.如图 17-13，以 AB 为直径做半圆，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小 28 平方厘米，AB 长 40厘米求 BC 的长度（取 3.14）例题例题 3.如图，直角三角形的两条直角边分别为 3 和 5，分别以三条边做了 3 个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为_543例题例题 4.图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 2 所示，让 A 点不动，ABC把整个半圆逆时针转 60，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（取 3.14）图 1AB60图 2C二、动态扫面积问题例题例题 5.如图，正方形 ABCD 边长为 1 厘米，依次以 A、B、C、D 为圆心，以AD、BE、CF、DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为_平方厘米（取 3.14）例题例题 6.如图所示，以等边三角形的 B、C、A 三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE 为半径画弧，这样形成的曲线 ADEF 被称为正三角形 ABC 的渐开线，如果正三角形 ABC 的边长为 3 厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，ABCDEGHF图中、三部分的面积之和是多少平方厘米？IIIIIIABCDEIIIIII三、运动圆扫面积例题例题 7.图中正方形的边长是 4 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（取 3.14）随堂练习1.图中长方形的长是 10 厘米，宽是 4 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（取 3.14）例题例题 8.图中等边三角形的边长是 3 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（取3.14）思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，取 3）狗作业：1.图 17-14 由一个长方形与两个 90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_平方厘米（取 3.14）图 17-142.图中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_（取 3.14）3.如图，直角三角形的两条直角边长分别是 10cm 和 6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_cm2（取 3.14）（1730）10cm6cm4.图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 2 所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转 60，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是_平方厘米（取 3.14）图 1ABC40图 2C5.图中正方形的边长是 6 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有_（取3.14）6.图中等边三角形的边长是 5 厘米，圆形的半径是 1 厘米当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有_（取3.14）几何计数几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类例题例题 1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有_个三角形；例题例题 2.如图，它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_例题例题 3.如图，AB，CD，EF，MN 互相平行，则图中三角形个数是_BMAEFDN例题例题 4.图中有多少个正方形？二、与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题例题例题 5.如图，线段 AB，BC，CD，DE 的长度都是 3 厘米请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？3 厘米3 厘米3 厘米3 厘米ABCDE随堂练习1.求图中一共有多少条线段例题例题 6.求图中一共有多少条线段求图中一共有多少个矩形随堂练习1.如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形数一数，图中共有多少个菱形？例题例题 7.右图是一个长为 9，宽为 4 的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出_个矩形2）从中可以数出_个正方形3）从中可以数出包含_个，正方形有_个随堂练习（1）图中包含的长方形有_个包含的正方形又有_个（2）图中同时包含和的长方形有_个 三、与容斥原理有关的几何计数例题例题 8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_个矩形思考题用 16 个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 4 的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有_个三角形【分析与解】按边长分类数，图中共有个三角形；平行四边形共93113 有个3 33215 3.在图中，包含的长方形共有_个4.图中有_个矩形，_个正方形【分析与解】图中共有个正方形，19 个长方形这道题适合按大小718 分类数5.图中有三角形_个，梯形_个【分析与解】三角形有个，梯形有个312318 12123186.图中有_个正方形，_个长方形【分析与解】答案是 38，144长方形有Comment a1:本讲建议不分专题由于，我没有看咱们秋季的题目，所以选题会有问题，我大致按照，火车问题，行船流水，多次相遇与追及，多人相遇与追及，比例来出的题Comment a2:建议：加入杯赛或学校 个，正方形有 123123452123123144个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果3 5241 3294138 不合适，请按正方形的边长分类枚举）行程行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共 9 个基本公式：（1）；路程速度时间速度路程时间时间路程速度（2）；相遇路程速度和时间速度和相遇路程时间时间相遇路程速度和（3）；追及路程速度差时间速度差追及路程时间时间追及路程速度差要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快长的速度慢，时间短的速度快例题例题 1.（）甲、乙两地间的路程是 600 千米，上午 8 点客车以平均每小时60 千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时 50 千米的速度从乙地开往甲地要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例题例题 2.（）某学校组织学生去春游，以 2 米/秒的速度前进，一名学生以 4 米/秒的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用 6 分钟，那么队伍的总长为多少米？例题例题 3.A城在一条河的上游，B城在这条河的下游A、B两城的水路距离为396 千米一艘在静水中速度为每小时 12 千米的渔船从B城往A城开，一艘在静水中速度为每小时 30 千米的治安巡逻艇从A城往B城开已知河水的速度为每小时 6 千米，从A流向B两船在距离A城 180 千米的地方相遇巡逻艇在到达B城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯，于是巡逻艇立刻返回去追渔船请问巡逻艇能不能在渔船到达A城之前追上渔船？如果能的话，请问巡逻艇在距A城多远的地方追上渔船；如果不能的话，请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A城例题例题 4.蜗牛沿着公路前进，对面来了一只兔子，他问兔子：“后面有乌龟吗？”，兔子回答说：“10 分钟前我超过了一只乌龟”，接着蜗牛继续爬了 10 分钟，遇到了乌龟已知乌龟的速度是蜗牛速度的 10 倍，那么兔子速度是乌龟速度的_倍例题例题 5.甲、乙二人相距 100 米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑 2.8 米,乙每秒钟跑 2.2 米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了 30 分钟时,这段时间内相遇了几次？例题例题 6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在距离B地 64 千米的地方第一次相遇，相遇后两车继续原速前进，并且在到达对方出发点之后，立即沿原路返回，途中在距离A点 48 千米处第二次相遇，问：两次相遇点距离是多少千米？例题例题 7.7.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千米，并且甲、Comment a3:这个版本用的事华文彩云Comment a4:本题是比例解题，看起来较难乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B两地之间的距离等于_ 千米例题例题 8.快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这 3 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人现在知道快车每小时走 24 千米，中车每小时走 20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？例题例题 9.有甲乙丙三车各以一定的速度从 A 到 B，乙比丙晚出发 10 分钟，出发后 40 分钟追上丙，甲比乙又晚出发 10 分钟，出发后 60 分钟追上丙，问，甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中，当小明跑了 1600 米时，小刚跑了 1450 米，此后两人分别以每秒 a 米和每秒 b 米匀速跑，又过 100 秒时小刚追上小明，200 秒时小刚到达终点，300 秒时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行 18 米，慢车每秒行 10 米，行 12 秒后快车超过慢车如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进，则 9 秒后快车超过慢车那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车 6 点（24 小时制）从 A 城出发，以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去，3 小时后一辆小轿车以每小时 75 千米的速度也从 A 出发到 B当小轿车到达 B 后，中巴车离B 还有 90 千米那么中巴车是几点几分到达 B 的？3.甲、乙两人从相距为 46 千米的 A、B 两地出发相向而行，甲比乙先出发一个小时他们两人在乙出发后 4 小时相遇，又已知甲比乙每小时快 2 千米，那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行已知甲每分钟走 50 米，乙走完全程要 30 分钟相对而行 10 分钟后，甲、乙仍相距 100 米那么还要过多少秒钟，甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第 22 题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水，他提空桶时每秒走 3 米，提满桶时每秒 2 米，来回一趟需 10 分钟。寺庙距河边有多少米？6.(首师大附中考题)甲，乙两人在一条长 100 米的直路上来回跑步，甲的速度 3 米/秒，乙的速度 2 米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了 10 分钟以后，共相遇了多少次？