高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(苏教版).pdf

专题一：推理与证明专题一：推理与证明推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明 比较法类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构知识结构1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般由部分到整体、由特殊到一般的推理。的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是类比推理是由特殊到特殊由特殊到特殊的推理的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是演绎推理是由一般到特殊由一般到特殊的推理的推理.演绎推理的一般模式“三段论三段论”，包括 大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断用集合的观点来理解：若集合中的所有元素都具有性质,是的一个子集,那么MPSM中所有元素也都具有性质 P.SMa S从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.5 5、直接证明与间接证明综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果顺推证法；由因导果.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因逆推证法；执果索因.反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数证明关于正整数的命题的命题的一种方法.n用数学归纳法证明命题的步骤;（1 1）（归纳奠基）证明当（归纳奠基）证明当取第一个值取第一个值时命题成立；时命题成立；n*00()n nN（2 2）（归纳递推）假设（归纳递推）假设时命题成立，推证当时命题成立，推证当时命题也成时命题也成*0(,)nk knkN1nk立立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.0nn用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.专题二：数系的扩充与复数专题二：数系的扩充与复数1、复数的概念虚数单位；i复数的代数形式；(,)zabia bR复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类复数,zabia bR(0)(0,0)(0)(0,0)babbab实数纯虚数虚数非纯虚数3、相关公式dcbadicbia且,00babia22babiazzabi指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.zz，4、复数运算复数加减法：；idbcadicbia复数的乘法：；abicdiacbdbcad i复数的除法：复数的除法：abicdiabicdicdicdi 222222acbdbcad iacbdbcadicdcdcd（类似于无理数除法的分母有理化分母有理化虚数除法的分母实数化分母实数化）5、常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzza zzbi2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR41424344(6),1,1;nnnnii iii i 22111(7)1;(8),112iiiiiiiiii 设是 1 的立方虚根，则，)9(231i0121,332313nnn6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做复平面的实轴，轴叫做复平面的xy虚轴.zabiZ 一一对应复数复平面内的点（a,b)zabiOZ 一一对应复数平面向量专题三：排列组合与二项式定理专题三：排列组合与二项式定理1、基本计数原理 分类加法计数原理：(分类相加分类相加)做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中n1m有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法.那么完成这件事情共有2mnnm种不同的方法.nmmmN21 分步乘法计数原理：(分步相乘分步相乘)做一件事情，完成它需要个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有n1m种不同的方法做第个步骤有种不同的方法.那么完成这件事情共有2mnnm种不同的方法.nmmmN212、排列与组合排列定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一nnmm列，叫做从个不同的元素中任取个元素的一个排列.nm组合定义：一般地，从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不nnmmn同的元素中任取个元素的一个组合.m排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有排列的个数，叫做从个不同nnmmn的元素中任取个元素的排列数，记作.mmnA组合数：从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数，叫做从个不同nnmmn的元素中任取个元素的组合数，记作.mmnC排列数公式：121mnnnnAmn；!mnnAmn！，规定.!nAnn1!0 组合数公式：或；!121mmnnnnCmn!mnmnCmn！，规定.mnnmnCC10nC排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序排列有顺序，组合无顺序.排列与组合的联系：，即排列就是先组合再全排列.mmmnmnACA排列与组合的两个性质性质(1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmm nm 排列；组合.11mnmnmnmAAA11mnmnmnCCC解排列组合问题的方法特殊元素、特殊位置优先法特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.间接法间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻不相邻(相间相间)问题插空法问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.有序问题组合法有序问题组合法.选取问题先选后排法选取问题先选后排法.至多至少问题间接法至多至少问题间接法.相同元素分组可采用隔板法相同元素分组可采用隔板法.分组问题分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成平均分成 n n 组问题别忘除以组问题别忘除以 n n！.3、二项式定理二项展开公式：011222nnnnrn rrnnnnabC aC abC abC ab.nnnC bnN二项展开式的通项公式：.主要用途是求指定NnNrnrbaCTrrnrnr,01的项.项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数.如在在的展开式中，第的展开式中，第项的二项式系数为项的二项式系数为，第，第项的系数为项的系数为；()naxb1r rnC1r rn rrnC ab而而的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定1()nxx为正为正.的展开式：，nx10221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn若令，则有1x.nnnnnnnCCCC210211二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即131202 nnnnnCCCC二项式系数的性质：（1）对称性对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；mnnmnCC（2）增减性与最大值增减性与最大值：当时，二项式系数 C 的值逐渐增大，当时,12nrrn12nrC 的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第1 项）的二项rn2n式系数取得最大值.当 n 为奇数时，中间两项（第和1 项）的二项式系数2nnC21n21n相等并同时取最大值.1122nnnnCC系数最大项的求法设第项的系数最大，由不等式组rrA11rrrrAAAA可确定.r赋值法若2012().,nnnaxbaa xa xa x则设 有：()().nf xaxb0(0);af012.(1);naaaaf0123.(1)(1);nnaaaaaf 0246(1)(1).;2ffaaaa1357(1)(1).2ffaaaa专题四：随机变量及其分布专题四：随机变量及其分布1、基本概念互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件，其中任何两个都是互斥事件，则说事件彼此互斥.ABC、ABC、当是互斥事件时，那么事件发生（即中有一个发生）的概率，等AB、ABAB、于事件分别发生的概率的和，即AB、.()()()P ABP AP B对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件的对立事件通常记着.AA对立事件的概率和等于 1.()1()P AP A 特别提醒：特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然对立事件必然知识结构知识结构是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.相互独立事件：事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，ABBA（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当是相互独立事件时，那么事件发生（即同时发生）的概率，等于AB、A BAB、事件分别发生的概率的积.即AB、.()()()P A BP AP B若 A、B 两事件相互独立，则 A 与B、A与 B、A与B也都是相互独立的.独立重复试验独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验.nn独立重复试验的概率公式如果在 1 次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个试验恰好pn发生次的概率k()(1)0,1 2,.,kkn knnPknkC pp条件概率：条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.公式：()(),()0.()P ABP B AP AP A2 2、离散型随机变量、离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量奎屯王新敞新疆 随机变量常用字母等表示.,X Y 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若是随机变量，是常数）则也是随机变量奎屯王新敞新疆 并且不改变其属性X(,YaXb a bY（离散型、连续型）.3 3、离散型随机变量的分布列概率分布（分布列）设离散型随机变量可能取的不同值为，X12,x xixnx的每一个值（）的概率，则称表Xix1,2,in()iiP XxpX1x2xixnxP1p2pipnp为随机变量的概率分布，简称的分布列.XX性质：性质：0,1,2,.;ipin11.niip两点分布如果随机变量的分布列为X 则称服从两点分布两点分布，并称为成功概率.X(1)pP X二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是()(1).kkn knP XkC pp其中，于是得到随机变量的概率分布如下：0,1,2,.,1knqp XX01knP00nnC p q111nnC p qkkn knC p q0nnnC p q我们称这样的随机变量服从二项分布二项分布，记作，并称 p 为成功概率.XpnBX,判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：重复性：即试验是独立重复地进行了次;n等概率性：等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是,.p k n超几何分布一般地,在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件MNnX发生的概率为,于是得到随机变量 Xk()(0,1,2,)kn kMNMnNC CP XkkmC 的概率分布如下：X其中,min,mM n.*,nN MN n M NN 我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称随机变量服从超几何分布超几何分布.XX注:超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是超几何分布中的参数是其意义分别是,.M N nX01P1ppX01mP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCmn mMN MnNC CC总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4 4、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量的分布列为XX1x2xixnxP1p2pipnp则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称均值或数学期望（简称 1122iinnE Xx px px px pX期望）期望）.它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平.性质：()().E aXbaE Xb 若服从两点分布，则X().E Xp若，则pnBX,().E Xnp离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量的分布列为XX1x2xixnxP1p2pipnp则称为离散型随机变量的方差，方差，并称其算术平方根为为随21()()niiiD XxE XpX()D X机变量的标准差标准差.它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散稳定与波动，集中与离散的程度的程度.X 越小，的稳定性越高，波动越小，取值越集中；越大，的稳定性越()D XX()D XX差，波动越大，取值越分散.性质：2()().D aXba D X 若服从两点分布，则X()(1).D XpP若，则pnBX,()(1).D XnpP专题五：矩阵与变换专题五：矩阵与变换重要知识要点重要知识要点五种特殊变换五种特殊变换1.旋转变换 aasincosaacossinayaxyayaxxcossinsincos 关于 X 轴对称 0110yyxx2.反射变换 关于 Y 轴对称 0110yyxx 关于 Y=X 对称 1001yyxx 纵轴伸缩 01k0kyyxx3.伸缩变换 横轴伸缩 0k10yykxx 横纵均伸缩 01k20kykyxkx21 关于 X 轴正投影 00010yxx4.投影变换 关于 Y 轴正投影 0010yyx0 关于 AX+BY=0 投影 22222BAABBAB22222BAABAAByBAAxBAAByyBAABxBABx22222222225.切变变换 沿 X 轴平行方向移 ky 个单位 011kyykyxx 沿 Y 轴平行方向移 kx 个单位 k110ykxyxx有关矩阵的乘法有关矩阵的乘法1 矩阵 A=与=相乘cadbayx=aAcadbyxdycxbyax=)(aAcadbyxcadbyxydxcybxadycxbyaxaA bAaAbaA)(bAaAbaA2121)(复合变换复合变换 若向量先经过矩阵 A 再经过矩阵 B 变换后aABaBA)()(aaBA （矩阵相乘没有交换律）)()(BCACABBAAB 若 AC=AB 但（没有消去律）lklkAAABC 若 为单位矩阵kllkAA)(AAEAE222E应掌握的重要题型：已知曲线应掌握的重要题型：已知曲线经过矩阵变换后得曲线经过矩阵变换后得曲线)(xf)(xf逆矩阵逆矩阵（五种特殊变换，除了投影变换外其他都有逆矩阵）已知 矩阵 A=求逆矩阵cadb1A若 =则 AAdetcadb0bcadA 有逆矩阵=1AAcAdAaAb 为单位矩阵 为零矩阵 21EAA01102E00000用逆矩阵求二元一次方程组用逆矩阵求二元一次方程组已知 A=为二元一次方程组的系数矩阵fdycxebyaxcadb这二元一次方程组可写成=cadbyxfe =1Afeyx已知00dycxbyax（其中是不全为 0 的常数）则此二元一次方程组有非 0 解的充要条件是 dcba,ca=0db特征值与特征向量特征值与特征向量已知 A=求特征值、特征向量和cadbafeaAn令 =0 解出)(fcadb21或当 当 12 0)(011ydcxbyxa）（0)(022ydcxbyxa）（111yx222yx是 A 属于的一个 是 A 属于的一个111yx1222yx2 特征向量 特征向量设 得2211kka21kk=aAn222111nnkk专题六：坐标系与参数方程专题六：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用),(yxP).0(,yy0),(x,x:下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换坐标伸缩变换，简称伸缩伸缩),(yxP),(yxP变换变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点极点；自极点引一条射线叫做极轴极轴；再选定一个长OOOx度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极坐标系。点点的极坐标：的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径极径，MMOM|OMM记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角极角，记为。有序OxOMxOMM数对叫做点点的极坐标的极坐标，记为.),(M),(M注：注：极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.),()Z)(2,(kkO)R)(,0(若,则,规定点与点关于极点对称，即与00),(),(),(表示同一点。),(如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表0,02),(示（即一一对应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。),(极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,)或（，），(Z Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对、k2)12(kk的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0或20，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的 3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以得出：M(,)x y(,)xO图 1M(,)cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2 aaxOM图6222cos,sin,t n(0).xyyxyaxx4、简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程圆的极坐标方程以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图 1）aa以为圆心，(,0)a)0(a为半径的圆的极坐标方程是；（如图 2）acos2a以为圆心，(,)2a)0(a为半径的圆的极坐标方程是；（如图 4）asin2a直线的极坐标方程直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是和.（如图 1）)0(0)过点，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是.化为直角坐标)0)(0,(aaAacos方程为.（如图 2）xa过点且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是.化为直角坐标方程为(,)2A asina.（如图 4）ya5、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数 的函数yx,t 并且对于 的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，),(),(tgytfxt),(yxM那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数的变数 叫做参变数参变数，简称参数参数。yx,t相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程为（为参数）；222()()xaybrcossinxarybr（2）椭圆的参数方程为（为参数）；22221(0)xyababcossinxayb椭圆的参数方程为（为参数）；22221(0)yxababcossinxbyacosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN（直极互化 图）（3）双曲线的参数方程 （为参数）；22221(0)xyababsectanxayb双曲线的参数方程 （为参数）；22221(0)yxababcotcscxbya（4）抛物线参数方程 为参数，）；22ypx222xptypt(t1tant参数参数 的几何意义：的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参),(00yxP()2 sincos00tyytxxt数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互在参数方程与普通方程的互化中，必须使化中，必须使的取值范围保持一致的取值范围保持一致.yx,参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(tgytfx。根据 t 的取值范围导出yx,的取值范围.