初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)(2).pdf

第 1 页（共 23 页）初二分式所有知识点总结和常考题初二分式所有知识点总结和常考题知识点：知识点：1.分式：分式：形如，是整式，中含有字母且不等于 0 的整式叫做分式.ABAB、BB其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.AB2.分式有意义的条件：分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：分式的四则运算：同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：ababccc异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：acadcbbdbd分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：acacbdbd分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：acadadbdbcbc分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nnnaabb8.整数指数幂：整数指数幂：（是正整数）mnm naaamn、（是正整数）nmmnaamn、（是正整数）nnnaba bn（，是正整数，）mnm naaa0a mn、mn（是正整数）nnnaabbn第 2 页（共 23 页）（，n 是正整数）1nnaa0a 9.分式方程分式方程的意的意义义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分分式式方方程程的的解解法法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);按解整式方程的步骤求出未知数的值;验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题：一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题）1在式子、中，分式的个数有（）A2 个B3 个C4 个 D5 个2化简的结果是（）Ax+1 Bx1CxDx3如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（）A扩大 4 倍B扩大 2 倍C不变D缩小 2 倍4把分式方程的两边同时乘以（x2），约去分母，得（）A1（1x）=1 B1+（1x）=1 C1（1x）=x2D1+（1x）=x25化简（1+）的结果是（）ABCD6计算的结果为（）ABCD7已知关于 x 的分式方程+=1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（）Am2Bm2Cm2 且 m3Dm2 且 m38下列运算正确的是（）Aa2a3=a6B（）1=2C=4D|6|=69某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为（）AB第 3 页（共 23 页）CD10货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是（）ABCD11如图，设 k=（ab0），则有（）Ak2B1k2 CD12A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（）ABC+4=9 D13计算的结果为（）A1Bx+1 CD14若分式（A，B 为常数），则 A，B 的值为（）ABCD二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题）15计算：=16若分式有意义，则实数 x 的取值范围是 17分式方程的解 x=18若代数式的值为零，则 x=第 4 页（共 23 页）19化简的结果是 20化简：=21计算（1）的结果是 22若关于 x 的方程=+1 无解，则 a 的值是 23已知关于 x 的方程的解是正数，则 m 的取值范围是 24a、b 为实数，且 ab=1，设 P=，Q=，则 P Q（填“”、“”或“=”）25如果实数 x 满足 x2+2x3=0，那么代数式的值为 26某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器27杭州到北京的铁路长 1487 千米火车的原平均速度为 x 千米/时，提速后平均速度增加了 70 千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 小时，则可列方程为 三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题）28先化简，再求值：，其中29先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的 a 值代入求值30已知 x3y=0，求（xy）的值31解方程：32先化简，再求值：，其中 x 是不等式 3x+71 的负整数解33先化简（a+1）+，然后 a 在1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值34解分式方程：+=1第 5 页（共 23 页）35已知 A=（1）化简 A；（2）当 x 满足不等式组，且 x 为整数时，求 A 的值36甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用 10 天，且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工30 天的工作量相同（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了 3 天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的 2 倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的 2 倍，那么甲队至少再单独施工多少天？37某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？38从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度39学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲图书的单价是乙图书单价的 1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入的经费不超过 1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？40某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售额只有 90 万元（1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案？（3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？第 6 页（共 23 页）初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析含答案解析)参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题）1（2012 春潜江期末）在式子、中，分式的个数有（）A2 个B3 个C4 个 D5 个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式【解答】解：、9x+这 3 个式子的分母中含有字母，因此是分式其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式故选：B【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式2（2014南通）化简的结果是（）Ax+1 Bx1CxDx【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分【解答】解：=x，故选：D【点评】本题考查了分式的加减运算分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减3（2012岳麓区校级自主招生）如果把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（）A扩大 4 倍B扩大 2 倍C不变D缩小 2 倍【分析】把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍，分别用 2x 和 2y 去代换原分式中的第 7 页（共 23 页）x 和 y，利用分式的基本性质化简即可【解答】解：把分式中的 x 和 y 都扩大 2 倍后得：=2，即分式的值扩大 2 倍故选：B【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项4（2005扬州）把分式方程的两边同时乘以（x2），约去分母，得（）A1（1x）=1 B1+（1x）=1 C1（1x）=x2D1+（1x）=x2【分析】分母中 x2 与 2x 互为相反数，那么最简公分母为（x2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程【解答】解：方程两边都乘（x2），得：1+（1x）=x2故选：D【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为15（2013临沂）化简（1+）的结果是（）ABCD【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可【解答】解：原式=故选 A【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键6（2008黄冈）计算的结果为（）第 8 页（共 23 页）ABCD【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简【解答】解：=，故选 A【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除7（2014黑龙江）已知关于 x 的分式方程+=1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（）Am2Bm2Cm2 且 m3Dm2 且 m3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 x，根据方程的解为非负数求出 m 的范围即可【解答】解：分式方程去分母得：m3=x1，解得：x=m2，由方程的解为非负数，得到 m20，且 m21，解得：m2 且 m3故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条件8（2009潍坊）下列运算正确的是（）Aa2a3=a6B（）1=2C=4D|6|=6【分析】幂运算的性质：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0 的算术平方根是 0绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是 0【解答】解：A、a2a3=a5，故 A 错误；B、（）1=2，故 B 错误；C、=4，故 C 错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故 D 正确故选 D【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简9（2013本溪）某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采第 9 页（共 23 页）用了新技术，工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为（）ABCD【分析】关键描述语为：“共用了 18 天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18【解答】解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天方程可表示为：故选：B【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化10（2014黔南州）货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x千米/小时，依题意列方程正确的是（）ABCD【分析】题中等量关系：货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，列出关系式【解答】解：根据题意，得故选：C【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式11（2013杭州）如图，设 k=（ab0），则有（）Ak2B1k2 CD【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可第 10 页（共 23 页）【解答】解：甲图中阴影部分面积为 a2b2，乙图中阴影部分面积为 a（ab），则 k=1+，ab0，01，1+12，1k2故选 B【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键12（2016本溪一模）A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（）ABC+4=9 D【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9 小时【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：所列方程为：+=9故选 A【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键13（2005武汉）计算的结果为（）A1Bx+1 CD【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简【解答】解：=，第 11 页（共 23 页）故选 C【点评】注意：当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为 1 的分式，与其它分式进行通分运算14（2004十堰）若分式（A，B 为常数），则 A，B的值为（）ABCD【分析】对等式右边通分加减运算和，再根据对应项系数相等列方程组求解即可【解答】解：所以，解得故选 B【点评】此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算二填空题（共二填空题（共 13 小题）小题）15（2014陕西）计算：=9【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可【解答】解：原式=9故答案为：9【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数16（2014衢州）若分式有意义，则实数 x 的取值范围是x5【分析】由于分式的分母不能为 0，x5 为分母，因此 x50，解得 x【解答】解：分式有意义，x50，即 x5故答案为：x5【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为 017（2013梅州）分式方程的解 x=1第 12 页（共 23 页）【分析】本题的最简公分母是 x+1，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解结果要检验【解答】解：方程两边都乘 x+1，得2x=x+1，解得 x=1检验：当 x=1 时，x+10 x=1 是原方程的解【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根18（2013临夏州）若代数式的值为零，则 x=3【分析】由题意得=0，解分式方程即可得出答案【解答】解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的 x=3 是原方程的根故答案为：3【点评】此题考查了分式值为 0 的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验19（2013凉山州）化简的结果是m【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案【解答】解：=（m+1）1=m故答案为：m【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键20（2013衢州）化简：=【分析】先将 x24 分解为（x+2）（x2），然后通分，再进行计算【解答】解：=第 13 页（共 23 页）【点评】本题考查了分式的计算和化简解决这类题关键是把握好通分与约分分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分21（2015黄冈）计算（1）的结果是【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：原式=，故答案为：【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键22（2013绥化）若关于 x 的方程=+1 无解，则 a 的值是2 或 1【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根 x=2 代入即可求得 a的值【解答】解：x2=0，解得：x=2方程去分母，得：ax=4+x2，即（a1）x=2当 a10 时，把 x=2 代入方程得：2a=4+22，解得：a=2当 a1=0，即 a=1 时，原方程无解故答案是：2 或 1【点评】首先根据题意写出 a 的新方程，然后解出 a 的值23（2013德阳）已知关于 x 的方程的解是正数，则 m 的取值范围是m6 且 m4【分析】首先求出关于 x 的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出 m 的取值范围【解答】解：解关于 x 的方程得 x=m+6，方程的解是正数，m+60 且 m+62，解这个不等式得 m6 且 m4故答案为：m6 且 m4第 14 页（共 23 页）【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于 x 的不等式是本题的一个难点24（2009枣庄）a、b 为实数，且 ab=1，设 P=，Q=，则 P=Q（填“”、“”或“=”）【分析】将两式分别化简，然后将 ab=1 代入其中，再进行比较，即可得出结论【解答】解：P=，把 ab=1 代入得：=1；Q=，把 ab=1 代入得：=1；P=Q【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可25（2013达州）如果实数 x 满足 x2+2x3=0，那么代数式的值为5【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据实数 x 满足x2+2x3=0 求出 x2+2x 的值，代入原式进行计算即可【解答】解：原式=（x+1）=x2+2x+2，实数 x 满足 x2+2x3=0，x2+2x=3，原式=3+2=5故答案为：5【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键26（2013呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产200台机器【分析】根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同所以可得等量关系为：现在生产 600 台机器时间=原计划生产 450 台时间【解答】解：设：现在平均每天生产 x 台机器，则原计划可生产（x50）台依题意得：=第 15 页（共 23 页）解得：x=200检验：当 x=200 时，x（x50）0 x=200 是原分式方程的解现在平均每天生产 200 台机器故答案为：200【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出本题中“现在平均每天比原计划多生产50 台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘27（2013舟山）杭州到北京的铁路长 1487 千米火车的原平均速度为 x 千米/时，提速后平均速度增加了 70 千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 小时，则可列方程为=3【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 小时，即可列出方程【解答】解：根据题意得：=3；故答案为：=3【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程三解答题（共三解答题（共 13 小题）小题）28（2013眉山）先化简，再求值：，其中【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把 x 的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值【解答】解：原式=+（x2）（3 分）=x（x1）+（x2）=x22；（2 分）当 x=时，则原式的值为2=4（2 分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算29（2005徐州）先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的 a 值代入求值第 16 页（共 23 页）【分析】本题考查的化简与计算的综合运算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算此题要注意的是 a1【解答】解：原式=，a10，a1，当 a=2 时，原式=2【点评】此题考查了分式的化简求值，取合适的值代入原式求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义30（2015甘南州）已知 x3y=0，求（xy）的值【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将 x、y 的关系式代入化简后的式子中进行计算即可【解答】解：=（2 分）=；（4 分）当 x3y=0 时，x=3y；（6 分）原式=（8 分）【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算31（2013普洱）解方程：【分析】观察可得 2x=（x2），所以可确定方程最简公分母为：（x2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解注意检验【解答】解：方程两边同乘以（x2），得：x3+（x2）=3，解得 x=1，第 17 页（共 23 页）检验：x=1 时，x20，x=1 是原分式方程的解【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根（3）去分母时有常数项的不要漏乘常数项32（2013重庆）先化简，再求值：，其中 x 是不等式3x+71 的负整数解【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出 x 的值，然后再代入化简后的分式即可【解答】解：原式=，=，=，=，3x+71，3x6，x2，x 是不等式 3x+71 的负整数解，x=1，把 x=1 代入中得：=3【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行化简33（2013巴中）先化简（a+1）+，然后 a 在1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的 a 的值代入进行计算即可第 18 页（共 23 页）【解答】解：原式=+=+=，当 a=2（a1，a1）时，原式=5【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键34（2013陕西）解分式方程：+=1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：2+x（x+2）=x24，解得：x=3，经检验 x=3 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根35（2015广州）已知 A=（1）化简 A；（2）当 x 满足不等式组，且 x 为整数时，求 A 的值【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把 A 式进行化简即可（2）首先求出不等式组的解集，然后根据 x 为整数求出 x 的值，再把求出的 x的值代入化简后的 A 式进行计算即可【解答】解：（1）A=第 19 页（共 23 页）（2）1x3，x 为整数，x=1 或 x=2，当 x=1 时，x10，A=中 x1，当 x=1 时，A=无意义当 x=2 时，A=【点评】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可36（2013哈尔滨）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用 10 天，且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了 3 天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的 2 倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的 2 倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要 x 天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工 a 天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的 2 倍建立不等式求出其解即可【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需要 x 天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20第 20 页（共 23 页）经检验，x=20 是原方程的解，x+10=30（天）答：甲队单独完成此项任务需要 30 天，乙队单独完成此项任务需要 20 天；（2）设甲队再单独施工 a 天，由题意，得，解得：a3答：甲队至少再单独施工 3 天【点评】本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方37（2015成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是2x 件，根据第二批这种衬衫单价贵了 10 元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价 y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，依题意有+10=，解得 x=120，经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意答：该商家购进的第一批衬衫是 120 件（2）3x=3120=360，设每件衬衫的标价 y 元，依题意有（36050）y+500.8y（13200+28800）（1+25%），解得 y150答：每件衬衫的标价至少是 150 元【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键38（2014广州）从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍（1）求普通列车的行驶路程；第 21 页（共 23 页）（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度【分析】（1）根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是 x 千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，列出分式方程，然后求解即可；【解答】解：（1）根据题意得：4001.3=520（千米），答：普通列车的行驶路程是 520 千米；（2）设普通列车平均速度是 x 千米/时，则高铁平均速度是 2.5x 千米/时，根据题意得：=3，解得：x=120，经检验 x=120 是原方程的解，则高铁的平均速度是 1202.5=300（千米/时），答：高铁的平均速度是 300 千米/时【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验39（2014牡丹江）学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲图书的单价是乙图书单价的 1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入的经费不超过 1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？【分析】（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为 x 元，则甲种图书的单价为 1.5x 元，根据两种图书数量之间的关系列方程；（2）设购进甲种图书 a 本，则购进乙种图书（40a）本，根据“投入的经费不超过 1050 元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题【解答】解：（1）设乙种图书的单价为 x 元，则甲种图书的单价为 1.5x 元，由题意得=10解得：x=20则 1.5x=30，经检验得出：x=20 是原方程的根，答：甲种图书的单价为 30 元，乙种图书的单价为 20 元；（2）设购进甲种图书 a 本，则购进乙种图书（40a）本，根据题意得第 22 页（共 23 页）解得：20a25，所以 a=20、21、22、23、24、25，则 40a=20、19、18、17、16、15共有 6 种方案【点评】此题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题40（2014内江）某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售额只有 90万元（1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案？（3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系等量关系为：今年的销售数量=去年的销售数量（2）关系式为：99A 款汽车总价+B 款汽车总价105（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数 x 的系数为 0 即可；多进 B 款汽车对公司更有利，因为 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，所以要多进 B 款【解答】解：（1）设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 m 万元则：，解得：m=9经检验，m=9 是原方程的根且符合题意答：今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 9 万元；（2）设购进 A 款汽车 x 辆则：997.5x+6（15x）105解得：6x10 x 的正整数解为 6，7，8，9，10，共有 5 种进货方案；（3）设总获利为 W 万元，购进 A 款汽车 x 辆，则：W=（97.5）x+（86a）（15x）=（a0.5）x+3015a第 23 页（共 23 页）当 a=0.5 时，（2）中所有方案获利相同此时，购买 A 款汽车 6 辆，B 款汽车 9 辆时对公司更有利【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键