全国高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全).pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结全国通用版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点总结(超超全全)单选题 1、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为=若采摘后 10 天，这种水果失去的新鲜度为 10%，采摘后 20 天，这种水果失去的新鲜度为 20%那么采摘下来的这种水果多长时间后失去 40%新鲜度（）A25 天 B30 天 C35 天 D40 天 答案：B 分析：根据给定条件求出及10的值，再利用给定公式计算失去 40%新鲜度对应的时间作答.依题意，10%=1020%=20，解得=120,10=2，当=40%时，40%=120，即40%=120 10 10，解得10=4=(10)2=20，于是得 10=20，解得=30，所以采摘下来的这种水果 30 天后失去 40%新鲜度.故选：B 2、已知函数()=4+1的图象经过定点P，则点P的坐标是（）A(1，5)B(1，4)C(0，4)D(4，0)答案：A 分析：令+1=0，即可求出定点坐标；当+1=0，即=1时，+1=0=1，为常数，此时()=4+1=5，即点P的坐标为(1，5).故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.3、设，都是正整数，且 1，若 0，则不正确的是（）A=B(12+12)2=+1 C=1D0=1 答案：B 解析：由指数运算公式直接计算并判断.由，都是正整数，且 1，0，、得(12+12)2=(12)2+212 12+(12)2=+1+2，故 B 选项错误，故选：B.4、下列函数中是增函数的为（）A()=B()=(23)C()=2D()=3 答案：D 分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.对于 A，()=为上的减函数，不合题意，舍.对于 B，()=(23)为上的减函数，不合题意，舍.对于 C，()=2在(,0)为减函数，不合题意，舍.对于 D，()=3为上的增函数，符合题意，故选：D.5、已知f(x)=2 2,5(+3),5，则f(4)+f(-4)=（）A63B83C86D91 答案：C 分析：由给定条件求得f(-4)=f(5)，f(4)=f(7)，进而计算f(5)、f(7)的值，相加即可得解.依题意，当x 212，1+=(1+1)(1+2)1+1+1+22，2 12，综上2 1+2，2 12 故选：D 8、用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为 0.1 的正实数零点的近似值为（）A0.9B0.7C0.5D0.4 答案：B 分析：利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有 0.7(0.68,0.72)，且满足|0.72-0.68|0.1，所以所求的符合条件的近似值为 0.7.故选：B 9、已知函数()=,0(2)+3,0，满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，则a的取值范围是（）Aa(0,1)Ba34,1)Ca(0,13Da34,2)答案：C 分析：根据条件知()在R上单调递减，从而得出0 1 2 03 1，求a的范围即可 ()满足对任意x1x2，都有(1)(2)120 成立，()在R上是减函数，0 1 2 0(2)0+3 0，解得0 13，a的取值范围是(0,13 故选：C 10、将进货价为每个 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，每涨价 1 元，销售量就减少 20 个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（）A90 100B90 110C100 110D80 0，求的取值范围，即可得到的取值范围.设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，则=+90,=(10+)(400 20)10 400=202+200.要使商家利润有所增加，则必须使 0，即2 10 0，得0 10,90 +90 100，所以的取值为90 0,(13),0,若关于x的方程()=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A(,0)(0,1)B(,0)(1,+)C(,0)D(0,1)(1,+)答案：B 分析：利用换元法设=()，则等价为()=0有且只有一个实数根，分 0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.令()=，则方程()=0等价于()=0，当=0时，此时当 0时，()=(13)=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当 0，则()=(13)0，所以由()=log12=0，得=1，则关于x的方程()=0有且只有一个实数根等价于关于x的方程()=1有且只有一个实数根，作出()的图象如图：当 0时，要使直线=1与=()的图象只有一个交点，则只需要当 0时，直线=1与()=(13)的图象没有交点，因为 0 时，()=(13),+)，此时()最小值为，所以 1，综上所述，实数a的取值范围是(,0)(1,+)，故选：B.12、一种药在病人血液中的量不少于1500才有效，而低于500病人就有危险现给某病人注射了这种药2500，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效（附：lg2 0.3010，lg3 0.4771，结果精确到0.1）A2.3小时 B3.5小时 C5.6小时 D8.8小时 答案：A 分析：根据已知关系式可得不等式500 2500 (1 20%)1500，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则500 2500 (1 20%)1500，整理可得：0.2 0.8 0.6，log0.80.6 log0.80.2，log0.80.6=lg0.6lg0.8=lg61lg81=lg2+lg313lg21 2.3，log0.80.2=lg0.2lg0.8=lg213lg21 7.2，2.3 7.2，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.填空题 13、函数()=lg()2lg(+1)仅有一个零点，则的取值范围为_ 答案：(,0)4 分析：由题意()仅有一个零点，令1=、2=(+1)2，即1、2在()定义域内只有一个交点，讨论 0、0时，即(0,+)上1、2只有一个交点；仅当1、2相切，即2+(2 )+1=0中=(2 )2 4=0，得=4或=0(舍)，当=4时，(0,+)上1、2只有一个交点；当 0时，即(1,0)上1、2只有一个交点，显然恒成立.(,0)4.所以答案是：(,0)4 14、若42 4+1=(1 2)33，则实数a的取值范围_ 答案：(，12 分析：由二次根式的化简求解 由题设得42 4+1=(2 1)2=|2 1|，(1 2)33=1 2，所以|2 1|=1 2 所以1 2 0，12 所以答案是：(，12 15、已知 10p3，用p表示 log310_ 答案：1#1 分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.10p3，=lg3，log3101g101g311g31.所以答案是：1 16、当 12,+12),时，()=.若函数()=()1没有零点，则正实数的取值范围是_.答案：1,43)85,2)分析：将问题转化为函数()与()=1+图象的交点问题，结合图象得出正实数的取值范围.当=0时，(0)=1 0 当 0时，()1=0可化为()=1+作出函数()与()=1+的图象 由图可知当 0时，要使得函数()=()1没有零点 必须满足1 (12)0，解得1 0时，要使得函数()=()1没有零点 必须满足1 (32)2或者2 (52)3，解得13 43或85 135 综上，1,43)85,2)所以答案是：1,43)85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.17、已知()是奇函数，且当 0时 0时 0，()=()=又因为ln2 (0,1)，(ln2)=8，所以ln2=8，两边取以为底的对数得ln2=3ln2，所以=3，即=3 小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案 解答题 18、某企业生产一种电子设备，通过市场分析，每台设备的成本与产量满足一定的关系式.设年产量为（0 200，）（单位：台），若年产量不超过 70 台，则每台设备的成本为1=12+40（单位：万元）；若年产量超过 70 台不超过 200 台，则每台设备的成本为2=101+640022080（单位：万元），每台设备售价为 100 万元，假设该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少万元？答案：(1)=122+60,0 70,2080 (+6400),70 200,(2)当年产量 80 台时，年利润最大，最大值为 1920 万元 分析：（1）分0 70，和70 200，两种情况分别求出函数解析式；（2）根据二次函数与基本不等式求出各段函数的最大值，再比较即可得解.（1）解：当0 70，时，=100 (12+40)=122+60，当70 200，时，=100 (101+640022080)=2080 (+6400)，所以=122+60,0 70,2080 (+6400),70 200,.（2）解：当0 70，时，=122+60=12(60)2+1800，所以当=60时，取得最大值，最大值为1800.当70 1800，所以当年产量80台时，年利润最大，最大值为1920万元.19、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2+2360)升，司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.答案：(1)y130182130360 x，x50，100(或y23401318x，x50，100).(2)当x1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 2610元.分析：（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t130(h)，y1302(2+2360)14130，x50，100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y130182130360 x，x50，100(或y23401318x，x50，100).(2)y130182130360 x2610，当且仅当130182130360 x，即x1810时等号成立.故当x1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 2610元.小提示：本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.20、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有 90 分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间0,90上的增函数；（2）每天运动时间为 0 分钟时，当天得分为 0 分；（3）每天运动时间为 30分钟时，当天得分为 3 分；（4）每天最多得分不超过 6 分.现有三个函数模型=+(0)，=1.2+(0)，=log2(15+2)+(0)供选择.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于 4.5 分，至少需要锻炼多少分钟.（注：2 1.414，结果保留整数）答案：(1)模型，理由见解析，=3log2(15+2)3(2)55 分钟 分析：（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.（2）将=4.5代入解析式即可.（1）第一步：分析题中每个模型的特点 对于模型一，当 0时，匀速增长；对于模型二，当 0时，先慢后快增长；对于模型三，当 0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选=log2(15+2)+.第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式 将（0，0），（30，3）代入解析式得到+=0log24+=3，即+=02+=3，解得=3,=3，即=3log2(15+2)3.第四步：验证模型是否合适 当=90时，=3log2(6+2)3=6，满足每天得分最高不超过 6 分的条件.所以函数的解析式为=3log2(15+2)3.（2）由=3log2(15+2)3 4.5，得log2(15+2)2.5=log2252，得15+2 252=42 5.656，得 54.84，所以每天得分不少于 4.5 分，至少需要运动 55 分钟.