二次函数-矩形的存在性问题-含答案.pdf
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1、二次函数中矩形的存在性问题11.(2015 黑龙江省龙东地区)如图,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 在坐标轴上,ODE 是OCB 绕点 O顺时针旋转 90得到的,点 D 在 x 轴上,直线 BD 交 y 轴于点 F,交 OE 于点 H,线段 BC、OC 的长是方程x26x+8=0 的两个根,且 OCBC(1)求直线 BD 的解析式;(2)求OFH 的面积;(3)点 M 在坐标轴上,平面内是否存在点 N,使以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由二次函数中矩形的存在性问题22.(2015 重庆市綦江县)如图,抛物线与 x 轴交与A,
2、B两点(点A在点B的左侧),223yxx 与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)如图 1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGAD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH的周长的最大值;(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是AM为边的矩形,若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.xyxyxy26图 图 图 图 226图 图 图 图 126图 图 1CBAOCAOHGEDCBAOFMM二次函数中矩形的存在性问题33.(2016 山东省东营市)
3、】在平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(1,0),将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90,得到平行四边形 ABOC(1)若抛物线经过点 C、A、A,求此抛物线的解析式;(2)点 M 时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点 M 在何处时,AMA的面积最大?最大面积是多少?并求出此时 M 的坐标;(3)若 P 为抛物线上一动点,N 为 x 轴上的一动点,点 Q 坐标为(1,0),当 P、N、B、Q 构成平行四边形时,求点 P 的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点 N 的坐标二次函数中矩形的存在性问题44.(2016 贵州省毕节地区)如图,已知
4、抛物线 y=x2+bx 与直线 y=2x+4 交于 A(a,8)、B 两点,点 P 是抛物线上 A、B 之间的一个动点,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线与直线 AB 交于点 C 和点 E(1)求抛物线的解析式;(2)若 C 为 AB 中点,求 PC 的长;(3)如图,以 PC,PE 为边构造矩形 PCDE,设点 D 的坐标为(m,n),请求出 m,n 之间的关系式二次函数中矩形的存在性问题55.(2013 湖南省常德市)如图,已知二次函数的图象过点A(0,3),B(3,3),对称轴为直线12x ,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PMx轴于点M,PNy轴于点N,在四边形PMON上分别
5、截取1111,.3333PCMP MDOM OEON NFNP(1)求此二次函数的解析式;(2)求证:以C,D,E,F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.二次函数中矩形的存在性问题66如图所示,抛物线 y=ax2+bx3 与 x 轴交于 A(1,0),B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)如图所示,直线 BC 下方的抛物线上有一点 P,过点 P 作 PEBC 于点 E,作 PF 平行于 x 轴交直线 BC于点 F,求PEF 周长的最大值;(3)已
6、知点 M 是抛物线的顶点,点 N 是 y 轴上一点,点 Q 是坐标平面内一点,若点 P 是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以 P、M、N、Q 为顶点且以 PM 为边的正方形?若存在,直接写出点 P 的横坐标;若不存在,说明理由二次函数中矩形的存在性问题7参考答案1.(2015 黑龙江省龙东地区)如图,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 在坐标轴上,ODE 是OCB 绕点 O顺时针旋转 90得到的,点 D 在 x 轴上,直线 BD 交 y 轴于点 F,交 OE 于点 H,线段 BC、OC 的长是方程x26x+8=0 的两个根,且 OCBC(1)求直线 BD 的解析式;(2)求O
7、FH 的面积;(3)点 M 在坐标轴上,平面内是否存在点 N,使以点D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由1.分析:(1)解方程可求得 OC、BC 的长,可求得 B、D 的坐标,利用待定系数法可求得直线 BD 的解析式;(2)可求得 E 点坐标,求出直线 OE 的解析式,联立直线 BD、OE 解析式可求得 H 点的横坐标,可求得OFH的面积;(3)当MFD 为直角三角形时,可找到满足条件的点 N,分MFD=90、MDF=90和FMD=90三种情况,分别求得 M 点的坐标,可分别求得矩形对角线的交点坐标,再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标解
8、答:解:(1)解方程 x26x+8=0 可得 x=2 或 x=4,BC、OC 的长是方程 x26x+8=0 的两个根,且OCBC,BC=2,OC=4,B(2,4),ODE 是OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的,OD=OC=4,DE=BC=2,D(4,0),设直线 BD 解析式为 y=kx+b,把 B、D 坐标代入可得,解得,直线 BD 的解析式为 y=x+;(2)由(1)可知 E(4,2),设直线 OE 解析式为 y=mx,把 E 点坐标代入可求得 m=,直线 OE 解析式为 y=x,令 x+=x,解得 x=,H 点到 y 轴的距离为,又由(1)可得 F(0,),OF=,SOFH=;(3
9、)以点 D、F、M、N 为顶点的四边形是矩形,DFM 为直角三角形,当MFD=90时,则 M 只能在 x 轴上,连接 FN 交 MD 于点 G,如图 1,由(2)可知 OF=,OD=4,则有MOFFOD,=,即=,解得 OM=,M(,0),且 D(4,0),G(,0),设 N 点坐标为(x,y),则=,=0,解得 x=,y=,此时 N 点坐标为(,);二次函数中矩形的存在性问题8当MDF=90时,则 M 只能在 y 轴上,连接 DN 交 MF 于点 G,如图 2,则有FODDOM,=,即=,解得 OM=6,M(0,6),且 F(0,),MG=MF=,则 OG=OMMG=6=,G(0,),设 N
10、 点坐标为(x,y),则=0,=,解得 x=4,y=,此时 N(4,);当FMD=90时,则可知 M 点为 O 点,如图 3,四边形 MFND 为矩形,NF=OD=4,ND=OF=,可求得 N(4,);综上可知存在满足条件的 N 点,其坐标为(,)或(4,)或(4,)2.(2015 重庆市綦江县)如图,抛物线与 x 轴交与A,B两点(点A在点B的左侧),223yxx 与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式;(2)如图 1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGAD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH的周长的最大值
11、;(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是AM为边的矩形,若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.xyxyxy26图 图 图 图 226图 图 图 图 126图 图 1CBAOCAOHGEDCBAOFMM 答案解:AD:1yx过点F作x轴的垂线,交直线AD于点M,易证FGHFGM故FGHFGMCC设2(,23)F mmm则FM=2223(1)2mmmmm 则 C=2199 22(12)(12)()242FMFMFMm 二次函数中矩形的存在性问题9故最大周长为9+9 24若 AP 为对角线如图,由PMSMAR可得由点的平移可知故
12、Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为 9(0,)2P1(2)2Q ,1(0,)2若AQ为对角线如图,同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为 1(0,)27(2,)29(0,)23.(2016 山东省东营市)】在平面直角坐标系中,平行四边形 ABOC 如图放置,点 A、C 的坐标分别是(0,4)、(1,0),将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90,得到平行四边形 ABOC(1)若抛物线经过点 C、A、A,求此抛物线的解析式;(2)点 M 时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点 M 在何处时,AMA的面积最大?最大面积是多少?并求出此时 M 的坐标;(3)若 P 为抛物线上一
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