文科导数复习与题型归纳.pdf

导数复习导数复习知识点知识点一、导数的概念导数。xyxfx00lim)(二、导数的几何意义函数 y=f(x)在点处的导数，就是曲线 y=(x)在点处的切线的斜率由此，可0 x),(00yxP以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数 y=f(x)在点处的导数，即曲线 y=f(x)在点处的切线的斜率；0 x),(00yxP (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为三、常见函数的导数及运算法则(1)八个基本求导公式)(C ；)(nx ；(nQ)(sinx ，)(cosx )(xe ，)(xa )(lnx ，)(logxa (2)导数的四则运算)(vu )(xCf )(uv ，)(vu )0(v(3)复合函数的导数设)(xu在点 x 处可导，)(ufy 在点)(xu处可导，则复合函数)(xf在点 x 处可导，且)(xf ，即xuxuyy四、导数的应用（导数的应用（要求：明白解题步骤）1 函数的单调性（1）设函数 y=f(x)在某个区间内可导，若0，则 f(x)为增函数；若)(/xf)(/xf0，则 f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析 的定义域；求导数)(xfy)(xfy解不等式，解集在定义域内的部分为 区间0)(xf解不等式，解集在定义域内的部分为 区间0)(xf例如：求函数的减区间xxy12 可导函数的极值（采用表格或画函数图象）（1）极值的概念设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且若对 x0附近所有的点都有 f(x)f(x0)（或 f(x)f(x0)），则称 f(x0)为函数的一个极大（小）值，称 x0为极大（小）值点。（2）求可导函数 f(x)极值的步骤 求导数)(xf；求方程)(xf 0 的 ；检验)(xf 在方程)(xf 0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负(先增后减)，那么函数 y)(xf在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正(先减后增)，那么函数 y)(xf在这个根处取得 .3 函数的最大值与最小值 设 y)(xf是定义在区间a,b 上的函数，y)(xf在(a,b)内有导数，则函数 y)(xf在a,b 上 必 有最大值与最小值；但在开区间内 未必 有最大值与最小值(2)求最值可分两步进行：求 y)(xf在(a,b)内的 值；将 y)(xf的各 值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3)若函数 y)(xf在a,b 上单调递增，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 ；若函数 y)(xf在a,b 上单调递减，则)(af为函数的 ，)(bf为函数的 .4.求过函数上一点的切线的斜率或方程例题 1：分析函数（单调性，极值，最值，图象）xxy33例题 2：函数在上为增函数，在上为减函数，求实数axxy33)1,()1,1(a例题 3：求证方程在区间内有且仅有一个实根.（分析解本题要用的知识1lgxx)3,2(点）一求值1 是的导函数，则的值是()fx31()213f xxx(1)f 2.=ax3+3x2+2，则 a=)(xf4)1(f3.已知函数 f(x)的导函数为)(xf,且满足 f(x)=3x2+2x)2(f,则)5(f=.4.设f(x)、g(x)分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数,当x0 且 g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0 的解集是_.5(2008(2008 海南、宁夏文海南、宁夏文)设，若，则（）()lnf xxx0()2fx0 x A.B.C.D.2eeln22ln2二切线1(1)曲线在点处的切线方程是 ；31yxx(1,3)(2)已知函数，过点作曲线的切线的方程 xxxf3)(3)6,2(P)(xfy 变式（1）曲线yx33x1 在点（1，1）处的切线方程为 （2）已知，则经过的曲线的切线方程为 3:()2Cf xxx(1,2)PC（3）曲线 f(x)=x33x，过点 A(0，16)作曲线 f(x)的切线，则曲线的切线方程为 。2 （1）曲线在点 A 处的切线的斜率为 3，则该曲线在 A 点处的切线方程为 3)(xxf。（2）过曲线上点 P 处的切线平行于直线，则点 P 的坐标为 xxxf4)(03 yx(3)若直线是曲线的切线，则 。yx323yxxaxa 3.垂直于直线 2x-6y+1=0，且与曲线相切的直线的方程是_?5323xxy4已知直线与曲线切于点（1，3），则 b 的值为（）1 kxybaxxy3A3B3C5D55若点 P 在曲线上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为，则的取值范围23xxy为（）A.B.C.D.2,0,432,0,4343,22,06.(08(08 全国全国)设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则()2axy a062 yxaA1 B C D121217（09 宁夏）曲线21xyxex在点（0,1）处的切线方程为 。8（09 全国卷理）曲线21xyx在点 1,1处的切线方程为A.20 xy B.20 xy C.450 xy D.450 xy9 若曲线 2f xaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .10（08 海南理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 12exy 2(4e)，三单调性1.（1）设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是 （）A.(0,)34 B.(,34+)C.(-,0)D.(-,0)(34,+）（2）函数 y=(x+1)(x21)的单调递增区间为（）A.(-,1)B.（1,+）C.(-,1)与（1,+）D.(-,1)（1,+）(3)函数是减函数的区间为（）13)(23xxxfA B C D（0，2）),2()2,()0,(2.（1）若函数 f(x)=x3-ax2+1 在（0，2）内单调递减，则实数 a 的取值范围为 （2）设在上是单调函数.则实数的取值范围为 axxxfa3)(,0 函数),1 a；（3）函数y=ax3x在(,+)上是减函数，则实数的取值范围为 a；3（1）若函数f（x）=ax3x2+x5 在 R R 上单调递增，则a的范围是 （2）已知函数在 R 上是减函数，则的取值范围是：13)(23xxaxxfa4.若在 R 上是增函数，则（）32()(0)f xaxbxcxd a（A）（B）（C）（D）240bac0,0bc0,0bc230bac5、函数在上为减函数，在上为增函数，则（）3yxaxb(1,1)(1,)（A）（B）（C）（D）1,1ab1,abR3,3ab 3,abR 四极值1、函数的极大值，极小值分别是 331xxyA.极小值-1，极大值 1 B.极小值-2，极大值 3 C.极小值-2，极大值 2 D.极小值-1，极大值 32函数，已知在时取得极值，则=（）93)(23xaxxxf)(xf3xa（A）2（B）3（C）4（D）53.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2,在 x=1 时有极值 10，则 a、b 的值为 （）A.a=3,b=-3，或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数的导数为，且图象过点（0，-5），当函数取得)(xfxxxf44)(3)(xf极大值-5 时，x的值应为 A.1 B.0 C.1 D.15.若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则 （）A.0b1 B.b0 D.b216.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值，则 a 的取值范围为 .7.已知函数 y=2x3+ax2+36x24 在 x=24 处有极值，则该函数的一个递增区间是（）A.(2,3)B.(3,+)C.(2,+)D.(,3)8.（2009 辽宁卷文）若函数2()1xaf xx在1x 处取极值，则a 五最值1函数在0，3上的最大值、最小值分别是（）5123223xxxyA5，15B5，4C4，15D5，162.（06 浙江文）在区间上的最大值是（）32()32f xxx1,1(A)-2 (B)0 (C)2 (D)43奎屯王新敞新疆函数y=x3+在(0，+)上的最小值为x3A.4B.5C.3D.14（07 湖南理）函数在区间上的最小值是 3()12f xxx 33，5（07 江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，3()128f xxx 3,3,M m则_Mm变式、函数在区间上的最大值、最小值分别为 M，N，则 MN3()3f xxxa0,3的值为 。6.（2008 安徽文）设函数 则（）1()21(0),f xxxx()f xA有最大值 B有最小值 C是增函数D是减函数六综合1（07 福建理、文）已知对任意实数，有，且时，x()()()()fxf xgxg x，0 x，则时（）()0()0fxg x，0 x AB()0()0fxg x，()0()0fxg x，CD()0()0fxg x，()0()0fxg x，2对于R上可导的任意函数()f x，若满足(1)()0 xfx，则必有（）A(0)(2)2(1)fff B.(0)(2)2(1)fff C.(0)(2)2(1)fff D.(0)(2)2(1)fff3.（2009 陕西卷文）设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为nx,则12nxxx的值为(A)1n (B)11n (C)1nn (D)14 设函数在定义域内可导，的图象如右图 1 所示，)(xf)(xfy 则导函数y=f(x)可能为（）5（浙江卷 11）设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是 x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 xyO（A）xyO（B）xyOxyO（D）（C）(A)(B)(C)(D)6.（2009 湖南卷文）若函数()yf x的导函数在区间,a b上是增函数，则函数()yf x在区间,a b上的图象可能是【】A B C D7、已知函数既有极大值又存在最小值，则实数 m 的取值32()(6)1f xxmxmx范围是 。8、若函数的定义域为，且，那么函数（）()f x0,/()0,()0f xfx()yxf x（A）存在极大值（B）存在最小值（C）是增函数（D）是减函数9、当时，函数在 x=2 时取得最大值，则 a 的取值范围0,2x2()4(1)3f xaxax是 。七解答题（重点）题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1.已知函数的切线方程为)1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线 y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式；2)(xxf在)(xf （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值；)(xfy （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 )(xfy 2：已知三次函数在和时取极值，且32()f xxaxbxc1x 1x (2)4f (1)求函数的表达式；()yf x(2)求函数的单调区间和极值；()yf x(3)若函数在区间上的值域为，试求、应()()4(0)g xf xmm m3,mn 4,16mn满足的条件3（海南文 本小题满分 12 分）设函数2()ln(23)f xxx（）讨论的单调性；()f xababaoxoxybaoxyoxyby（）求在区间的最大值和最小值()f x3 14 4，4、已知在取得极值，且。32()(0)f xaxbxcx a1x (1)1f（1）试求常数的值；,a b c（2）试判断是函数的极大值还是极小值，并说明理由。1x 5已知函数 f(x)=x33x2axb 在 x(1，f(1)处的切线与直线 12xy10 平行（1）求实数 a 的值；（2）求 f(x)的单调递减区间；（3）若 f(x)在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值题型二：利用导数研究不等式恒成立。题型二：利用导数研究不等式恒成立。1.已知两个函数，.xxxf287)(2cxxxxg4042)(23（）解不等式,)()(图像关于原点对称图像与xfxF3)()(xxfxF（）若对任意3，3，都有成立，求实数的取值范围；x)(xf)(xgc2.已知函数 f(x)=x3-21x2+bx+c.(1)若 f(x)在（-，+）上是增函数，求 b 的取值范围;(2)若 f(x)在 x=1 处取得极值，且 x-1,2时，f(x)0）有极大值 9.322()1f xxmxm x （）求m的值；（）若斜率为-5 的直线是曲线的切线，求此直线方程.()yf x7 已知函数1)(3axxxf（）若在实数集R R上单调递增，求的范围；)(xfa（）是否存在实数使在上单调递减若存在求出的范围，若不存在说a)(xf)1,1(a明理由09 福建理科14.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.3()lnf xaxxya20、（本小题满分 14 分）已知函数,且321()3f xxaxbx(1)0f(1)试用含的代数式表示 b,并求的单调区间；a()f x（2）令,设函数在处取得极值，记点 M(,)，N(,1a ()f x1212,()x x xx1x1()f x2x)，P(),请仔细观察曲线在点 P 处的切线与线段 MP 的2()f x,()m f m12xmx()f x位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m(,x)，线段 MP 与曲线f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t1x2的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点 Q(n,f(n),x n m,使得线段 PQ 与曲线f(x)有异于 P、Q 的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）09 福建文科15.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .2f xaxInxya21（本小题满分 12 分）已知函数且321(),3f xxaxbx(1)0f （I）试用含的代数式表示；ab （）求的单调区间；()f x （）令，设函数在处取得极值，记点1a ()f x1212,()x x xx，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；1122(,(),(,()M xf xN xf xMN()f xMN08 福建理科（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（19）（本小题满分 12 分）已知函数.321()23f xxx（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)211(,2)nnna aa在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.文科(21)（本小题满分 12 分）已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图32()2f xxmxnx()()6g xfxx象关于y轴对称.()求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；()若a0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.07 福建11已知对任意实数，有，且时，x()()()()fxf xgxg x，0 x，则时（）()0()0fxg x，0 x AB()0()0fxg x，()0()0fxg x，CD()0()0fxg x，()0()0fxg x，22（本小题满分 14 分）已知函数()exf xkxxR，（）若，试确定函数的单调区间；ek()f x（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；0k xR()0fx k（）设函数，求证：()()()F xf xfx12(1)(2)()(e2)()nnFFF nnN（全国一文 20）设函数在及时取得极值32()2338f xxaxbxc1x 2x（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围0 3x，2()f xc(陕西文 21)已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又cxbxaxxf23)(),1(),0,(.23)21(f()求的解析式;)(xf()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.,0m)(xf12已知函数，若在处取得极值，试3211()(1)32f xxbxcx()f x1,3xx求常数的值；若在上都是单调递增，在上单调递,b c()f x 12,xx12,x x减，且满足，求证：211xx22(2)bbc14设，点 P（，0）是函数的图象的一个公共点，0ttcbxxgaxxxf23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c；t（）若函数在（1，3）上单调递减，求 的取值范围.)()(xgxfyt例例 11已知曲线xxxyS432:23及点)0,0(P，求过点P的曲线S的切线方程.正解：正解：设过点P的切线与曲线S切于点),(00yxQ，则过点P的曲线S的切线斜率4220200 xxykxx，又00 xykPQ，00020422xyxx。点Q在曲线S上，.432020300 xxxy，代入得002030020432422xxxxxx化简，得0342030 xx，00 x或430 x.若00 x，则4k，过点P的切线方程为xy4；若430 x，则835k，过点P的切线方程为.835xy 过点P的曲线S的切线方程为xy4或.835xy 例例 22已知函数13)(23xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围.错解：错解：,163)(2xaxxf)(xf在R上是减函数，0)(xf在R上恒成立，01632xax对一切Rx恒成立，0，即01236a，3a.正解正解:23)(axxf16 x，)(xf在R上是减函数，)(xf 0在R上恒成立，0且0a，即01236a且0a，3a.例例 55函数5)()(,133)(3axxfxgaxxxf，其中)(xf是)(xf的导函数.（1）对满足1a1 的一切a的值，都有)(xg0，求实数x的取值范围；（2）设a2m，当实数m在什么范围内变化时，函数y)(xf的图象与直线y3只有一个公共点.解：解：（1）由题意 2335g xxaxa 令 2335xx ax，11a 对11a，恒有 0g x，即 0a 1010 即22320380 xxxx解得213x故2,13x 时，对满足1a1 的一切a的值，都有 0g x.（2）2233fxxm当0m 时，31f xx的图象与直线3y 只有一个公共点当0m 时，列表：极大极小 2211f xfxm m 极小又 f x的值域是R，且在,m 上单调递增当xm时函数 yf x的图象与直线3y 只有一个公共点.当xm时，恒有 f xfm由题意得3fm即3221213m mm 解得 332,00,2m 综上，m的取值范围是332,2.例例 6 6、（1）是否存在这样的 k 值，使函数 在区间（1，2）上递减，在（2，+）上递增，若存在，求出这样的 k 值；（2）若 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（1）由题意，当 时，当 x(2,+)时，由函数 的连续性可知，即 整理得 解得 或 验证：（）当 时，若，则；若，则，符合题意；（）当 时，显然不合题意。于是综上可知，存在 使 在（1，2）上递减，在（2，+）上递增。（2）若，则，此时 只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时 只有一个增区间，与题设矛盾；若，则 并且当 时，；当 时，综合可知，当 时，恰有三个单调区间：减区间；增区间 点评：对于（1），由已知条件得，并由此获得 k 的可能取值，进而再利用已知条件对所得 k 值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例例 7 7、已知函数，当且仅当 时，取得极值，并且极大值比极小值大 4.（1）求常数 的值；（2）求 的极值。解：（1），令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根，故有 ，即 又 仅当 时取得极值，方程 的根只有 或，方程 无实根，即 而当 时，恒成立，的正负情况只取决于 的取值情况当 x 变化时，与 的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在 处取得极大值，在 处取得极小值。由题意得 整理得 于是将，联立，解得（2）由（1）知，点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数”与“在 处取得极值”的必要关系。1已知函数2)12()(23xaaxxf，若1x是)(xfy 的一个极值点，则a值为 （）A2 B.-2 C.72 D.42.已知函数223)(abxaxxxf在1x处有极值为 10，则)2(f=.3给出下列三对函数：1)(,1)(xxgxxf)0()(2aaxxf，axxg)(xxf)31()(，)log()(xxg；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是)(xf ，)(xg .4已知函数1)2(33)(23xaaxxxf有极大值和极小值，求a的取值范围.5已知抛物线22xy，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.6设43241)(yxyxyg在0,1y上的最大值为)(xf，Rx，（1）求)(xf的表达式；（2）求)(xf的最大值.设，函数aR233)(xaxxf（）若是函数的极值点，求的值；2x)(xfy a（）若函数，在处取得最大值，求的取值()()()0 2g xf xfxx，0 xa范围解：（）2()363(2)fxaxxx ax因为是函数的极值点，所以，即，因此2x()yf x(2)0f 6(22)0a1a 经验证，当时，是函数的极值点4 分1a 2x()yf x（）由题设，3222()336(3)3(2)g xaxxaxxaxxx x当在区间上的最大值为时，()g x0 2，(0)g，即故得9 分(0)(2)gg02024a65a反之，当时，对任意，65a0 2x，23(210)5xxx3(25)(2)5xxx0而，故在区间上的最大值为(0)0g()g x0 2，(0)g综上，的取值范围为12 分a65，3 3 已知 是函数 的一个极值点，其中（）求 与 的关系表达式；（）求 的单调区间；（）当 时，函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求 的取值范围。解析：（1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第 2 小题要根据 的符号，分类讨论 的单调区间；第 3 小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（），是函数 的一个极值点 ；（）令，得 与 的变化如下表：10+0单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此，的单调递减区间是 和；的单调递增区间是；（）由（）即 令，且，即 m 的取值范围是。4 4 已知函数。（）求 的单调区间和值域；（）设，函数，若对于任意，总存在，使得 成立，求 的取值范围。解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，（）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，（）是三次函数问题，因而导数法也是首选，若 成立，则二次函数值域必满足 关系，从而达到求解目的。解：（）由 得 或。（舍去）则，变化情况表为：010+因而当 时 为减函数；当 时 为增函数；当 时，的值域为；（）因此，当 时 因此当 时 为减函数，从而当 时有 又，即当 时有 任给，存在 使得 则 由（1）得 或，由（2）得 又 故 的取值范围为。5 5 已知，函数（1）当 为何值时，取得最小值？证明你的结论；（2）设 在 上是单调函数，求 的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（）常规题型，方法求，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（）由（）在 上单调，而，因此只要 即满足题设条件，从中解出 的范围。解答：（）令 则 从而 ，其中 当 变化时,，的变化情况如下表+00+极大值极小值 在 处取得极大值，处取得极小值当 时，且 在 为减函数，在 为增函数而当 时，当 时 当 时 取最小值；（）当 时 在 上为单调函数的充要条件是 ，解得 综上，在 上为单调函数的充要条件为,即 的取值范围为）。6.6.已知，函数（）当 时，求使 成立的 成立的 的集合；（）求函数 在区间 上的最小值。答案：（）0，1，