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函数的单调性

学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

学习过程 【学习导航】
函数的单调性
单调性的定义
定义法证明函数的单调性
增函数
减函数
单调区间

知识网络

学习要求
1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;
2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;
3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.
x
y
0
x
y
0

自学评价
观察函数，的图象
从左至右看函数图象的变化规律:
(1). 的图象是_________的，
的图象在y轴左侧是______的，的图象在y轴右侧是_______的.
(2). 在上，f（x）随着x的增大而___________;在 上，f（x）随着x的增大而_______;在上，f（x）随着x的增大而________.
一、 函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。

减函数:
增函数:
※ 增函数、减函数的定义
x
y
0
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
0
x1
x2
;

f(x1)
f(x2)

2、单调性的判定方法
（1）定义法：
判断下列函数的单调区间：
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。
①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．
（2）的单调递增区间为 ．

3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数
例题精讲;
二函数单调性的证明
．例题分析
例1，证明：函数在上是减函数。
证明：设任意，∈（0，+∞）且，
则，
由，∈（0，+∞），得，又，得，
∴，即
所以，在上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说
是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性

x
y
1
2
3
4
5
-2
-4
-1
-3
-5
1
2
3
－1
－2
－3
O

例2，,下图是定义在区间[-5，5]上的函数，
根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间
上，它是增函数还是减函数？

思维点拔: 观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域.

,

例3， 物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积
V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.
思维点拔: 只需证明函数在区间上是减函数即可.

三，函数单调性的应用
例4．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y)
（1）求f(1)的值．
（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ．
.解析：①在等式中，则f(1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则
故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：

例5．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．
.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．
f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋)2＋x22］．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋)2＋x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．
∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

例6．试讨论函数f(x)=在区间［－1，1］上的单调性．
.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．
f(x1)－f(x2)=－==
∵x2－x1＞0，＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．
当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．
故f(x)=在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=在区间［0，1］上是减函数．

例7．设函数f(x)=－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．
.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)
=(x1－x2)(－a)
(1)当a≥1时，∵＜1，
又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．
(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=1
∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数
注： ①判断单调性常规思路为定义法；
②变形过程中＜1利用了＞|x1|≥x1;＞x2；
③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．

例8．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．
解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数
∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)
∴ 解得，∴m的取值范围是(－)

例9．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
.解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)
设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)
∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．
(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，
当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

【拓展训练】
1.下列函数中,在上为减函数的是( )
A.y=3x B.y=-x2 C.y=︱x︱ D.y=2x+1
2.函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1
3.函数在区间（1，4）上为（ ）函数.
A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增
4．已知函数在（－2，3）上是减函数，则有（ ）
A.f(-1)<f(0) B.f(0)<f(2) C.f(1)<f(0) D.f(-1)<f(1)
5．证明函数在区间上是增函数.

课后作业：
函数单调性练习

一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于 （ ）
A．－7 B．1
C．17 D．25
3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是 （ ）
A．(3，8) B．(－7，－2)
C．(－2，3) D．(0，5)
4．函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 （ ）
A．(0，) B．( ，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x) （ ）
A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数
C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数
7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）
8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （ ）
A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)
C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)
9．函数的递增区间依次是 （ ）A． B．
C． D
10．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］ B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］ D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ）
A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)
二、填空题：
13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．
14．函数y=x－2＋2的值域为__ ___．
15、设是上的减函数，则的单调递减区间为 .
16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ．
参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.，

。