高级微观经济学精-最优化.ppt
《高级微观经济学精-最优化.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高级微观经济学精-最优化.ppt(53页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、A2微积分与最优化2024/5/13 周一1.A2.1微积分2024/5/13 周一2.n设D是一个非退化的实值区间在此区间上,f是二次可微的.如下的1至3阐述是等价的:n1.f是凹的.n2.f(x)0,xD.n3.对于一切x0D,nf(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)n4.如果f(x)0 (P.1)xixftkxtkfxtxitxfxixitxtxftxfxiii=)()()()()(P.3)2024/5/13 周一22.由于(P.1)是恒等式,(P.2)必定会等于(P.3),因此有:用t除两边得到:对于i=1,n,并且t0,证明完毕.2024/5/13 周一23.定理A2.7 欧拉定
2、理欧拉定理证明:定义t的函数是十分有用的,g(t)f(tx),固定x,对t微分,有xxxixfxkfkxfnii对所有次齐次性的:是,当且仅当如下式子成立,)()()(1=(p.2)在t=1时:(p.3)2024/5/13 周一24.证明必要性设f(x)是k次齐次,使得对一切t0与任何x,f(tx)=tkf(x),由于(P.1),我们有g(t)=tkf(x),求微分,g(t)=ktk-1f(x),并且在t=1处取值.我们得到g(1)=kf(x).利用(P.3),得到(P.4)证明充分性为证明充分性,设(P.4)成立,在tx处取值得到:(P.5)给(P.2)式两边同乘t,同(P.5)相比较,发现
3、tg(t)=kg(t)(P.6)2024/5/13 周一25.考虑函数t-kg(t).如果对此求关于t的微分,得到:从(p.6)来看,它的导数必为零,因此,我们可以得出这样结论,即对于一些常数c,t-kg(t)=c.为找到c,在t=1处求值并注意到g(1)=c.利用定义(P.1),得到c=f(x).我们知道,g(t)=tkf(x).再次把(P.1)代入,我们得到,对于所有x,则有f(tx)=tkf(x).2024/5/13 周一26.A2.2 最优化2024/5/13 周一27.设f(x)是一个二次可微的单变量函数,那么f(x)将会获得一个局部内点最优值.1.在 x*处有最大值f(x)=0(F
4、ONC)f(x)0(SONC)2.在 x*处有最小值f(x)=0(FONC)f(x)0(SONC)定理A2.8 单变量情形中局部内点最优化的必要条件2024/5/13 周一28.定理2.9 实值函数局部内点最优化的一阶必要条件n如果可微函数f(x)在点x*处达到了一个局部内点极大值或极小值,那么,x*为如下联立方程组的解:2024/5/13 周一29.证明:n证明思路:我们设f(x)在x*处获得了一个局部内部极值,并设法证明f(x*)=0.证明:选择任意向量zRn,那么,对于任意标量t,我们有:g(t)=f(x*+tz)(P.1)从(P.1)我们知道,g(t)不过是f(x)的另一种表现形式.t
5、0时,x*+tz正好是不同于x*的向量,故g(t)正好同f的一些值相同.t=0,x*+tz等于x*,因此,g(0)正好是f在x*处的值.已经假设 f在x*处取得极值,那么g(t)必定在t=0处获得一个局部极值.那么,g(0)=02024/5/13 周一30.2024/5/13 周一31.A2.2.2 二阶条件n实值函数局部内点最优化的二阶必要条件n设f(x)是二次连续可微的.n1.如果在点x*处f(x)达到了一个局部内点极大值,那么,H(X*)是负半定的.n2.如果f(x)在点x处达到了一个局部内点极小值,那么,H(X)是负正定的.定理A2.102024/5/13 周一32.或者H(X*)0,
6、由于z是任意取的,这以为着H(X*)是负半定的.同理,如果在点x=x处f被最小化,那么,g(0)0,使得,H(X)是半正定的.定理A2.10证明设有(p.1)设f(x)在x=x*处取得最大值,根据定理A2.8 必定有g(0)0.在点x*处或者在t=0处给(p.1)取值,2024/5/13 周一33.定理A2.11 海赛矩阵负定与正定的充分条件n设f(x)是二次连续可微的,并设Di(x)是海赛矩阵H(x)的第i阶的主子式.n1.如果(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,H(x)是负定的.n2.如果Di(x)0,i=1,n,那么,H(x)是正定的.n如果在定义域内,对所有x,条件1成立,那么f
7、是严格凹的.如果在定义域内,对所有x,条件2成立,那么f是严格凸的.2024/5/13 周一34.定理定理A2.11A2.11海赛矩阵负定与正定的充分条件海赛矩阵负定与正定的充分条件证明证明证明思路:借助定理A2.4的第四条(如果对于D中所有x,H(x)是负定的,那么,f是严格凹的.)将定理A2.12转化为矩阵的主子式改变符号是负定的,全为正为正定的.(P.2)2024/5/13 周一35.2024/5/13 周一36.定理A2.12 实值函数局部内点最优化的充分条件n设f(x)是二次连续可微的,则:n1.如果fi(x*)=0,(-1)iDi(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x*处将会获得
8、一个局部极大值n2.如果fi(x)=0 并且Di(x)0,i=1,n,那么,f(x)在x处将会获得一个局部极小值2024/5/13 周一37.2024/5/13 周一38.定理A2.13(无约束的)局部与全局最优化n设f(x)是D上一个二次连续可微的实值凹函数.这里,点x*是D的一个内部点,那么如下三个命题等价:n1.f(x*)=0n2.在x*处f获得一个局部极大值.n3.在x*处f获得一个全局极大值.n证明:显然,32,并依A2.9,21,因此,只需证明13n由1.假设,f(x*)=0,由于f是凹的,定理A2.4蕴涵对于定义域的所有x,f(x)f(x*)+f(x*)(x-x*)n结合假设:f
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高级 微观经济学 优化
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【快乐****生活】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【快乐****生活】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。