空间立体几何知识点归纳.pdf

-1-第一章第一章 空空间间几何体知几何体知识识点点归纳归纳1、空、空间间几何体的几何体的结结构：空构：空间间几何体分几何体分为为多面体和旋多面体和旋转转体和体和简单组简单组合体合体常见的多面体多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋旋转转体体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。棱柱棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。1空空间间几何体的三几何体的三视图视图和直和直观图观图投影投影：中心投影中心投影 平行投影平行投影（1）定义：几何体的正正视图视图、侧视图侧视图和俯和俯视视图图统称为几何体的三三视图视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对长对正正”，“高平高平齐齐”，“宽宽相等相等”2、空、空间间几何体的直几何体的直观图观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二、斜二测测画法的基本步画法的基本步骤骤：建立适当直角坐建立适当直角坐标标系系（尽可能使更多的点在坐标轴上）xOy建立斜坐建立斜坐标标系系，使=450（或 1350），注意它们确定的平面表示水平平面；xO yxO y画对应图形画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；一般地，原一般地，原图图的面的面积积是其直是其直观图观图面面积积的的倍，即倍，即2 22 2SS原图直观4、空、空间间几何体的表面几何体的表面积积与体与体积积圆圆柱柱侧侧面面积积；圆锥侧圆锥侧面面积积：lrS2侧面lrS侧面圆圆台台侧侧面面积积：()SrR l侧面体体积积公式：公式：；hSV柱体hSV31锥体13Vh SSSS下下台体上上 球的表面球的表面积积和体和体积积：.一般地，面一般地，面积积比等于相似比的平方，体比等于相似比的平方，体积积比等于相似比的立方。比等于相似比的立方。32344RVRS球球，第二章第二章 点、直点、直线线、平面之、平面之间间的位置关系及其的位置关系及其论证论证1、公理公理 1：如果一条直：如果一条直线线上两点在一个平面内，那么上两点在一个平面内，那么这这条直条直线线在此平面内在此平面内,Al BllAB 公理公理 1 的作用：判断直的作用：判断直线线是否在平面内是否在平面内2、公理公理 2：过过不在一条直不在一条直线线上的三点，有且只有一个平面。上的三点，有且只有一个平面。O2O1hlrRlB BA A B BA A C-2-若 A，B，C 不共线，则 A，B，C 确定平面推推论论 1：过过直直线线的直的直线线外一点有且只有一个平面外一点有且只有一个平面 若，则点 A 和 确定平面All推推论论 2：过过两条相交直两条相交直线线有且只有一个平面有且只有一个平面 若，则确定平面mnA,m n推推论论 3：过过两条平行直两条平行直线线有且只有一个平面有且只有一个平面 若，则确定平面m nA,m n公理公理 2 及其推及其推论论的作用：确定平面；判定多的作用：确定平面；判定多边边形是否形是否为为平面平面图图形的依据。形的依据。3、公理公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们们有且只有一条有且只有一条过该过该点的公共直点的公共直线线。,PPlPl且公理公理 3 作用：（作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（）判定两个平面是否相交的依据；（2）证证明点共明点共线线、线线共点等。共点等。4、公理公理 4：也叫平行公理，平行于同一条直：也叫平行公理，平行于同一条直线线的两条直的两条直线线平行平行.,a b c ba cAAA5、定理定理：空：空间间中如果两个角的两中如果两个角的两边边分分别对应别对应平行，那么平行，那么这这两个角相等或互两个角相等或互补补。,1212aa bb AA且与方向相同 ,1212 180aa bb AA且与方向相反作用：作用：该该定理也叫等角定理，可以用来定理也叫等角定理，可以用来证证明空明空间间中的两个角相等。中的两个角相等。6、线线线线位置关系位置关系：平行、相交、异面。：平行、相交、异面。,a babAa bA异面（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线线面位置关系面位置关系：直线在平面内、平行、相交直线在平面内、平行、相交 aaAaA8、面面位置关系面面位置关系：平行、相交。：平行、相交。9、线线面平行面平行：（即直：（即直线线与平面无任何公共点与平面无任何公共点）l Alm Amn P L abbaba 1 1+2 2 1 18 80 0 1 1 2 22121ab(1 1)a a(2 2)a a(3 3)a aAb b a aA-3-判定定理：平面外一条直判定定理：平面外一条直线线与此平面内的一条直与此平面内的一条直线线平行，平行，则该则该直直线线与此平面平行。与此平面平行。（只需在平面内找一条直（只需在平面内找一条直线线和平面外的直和平面外的直线线平行就可以）平行就可以）/abaab 证证明两直明两直线线平行的主要方法是：平行的主要方法是：三角形中位三角形中位线线定理定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四平行四边边形的性形的性质质：平行四边形两组对边分别平行；线线面平行的性面平行的性质质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这这条直条直线线和它和它们们的交的交线线平行平行；aaabbAA 平行平行线线的的传递传递性性：,a b c ba cAAA 面面平行的性面面平行的性质质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们们的交的交线线平行；平行；aabbAA 垂直于同一平面的两直垂直于同一平面的两直线线平行；平行；aa bbA直直线线与平面平行的性与平面平行的性质质：如果一条直：如果一条直线线平行于一个平面，平行于一个平面，经过这经过这条直条直线线的平面与的平面与这这个平面相交，那么个平面相交，那么这这条直条直线线和它和它们们的交的交线线平行；平行；（上面的（上面的）10、面面平行面面平行：（即两平面无任何公共点）：（即两平面无任何公共点）（1）判定定理：一个平面内的两条相交直）判定定理：一个平面内的两条相交直线线与另一个平面平行，与另一个平面平行，则这则这两个平面平行。两个平面平行。,ababAabAAA （2）两平面平行的性）两平面平行的性质质：性性质质：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们们的交的交线线平行；平行；aabbAA 性性质质：平行于同一平面的两平面平行；：平行于同一平面的两平面平行；AAA-4-性性质质：夹夹在两平行平面在两平行平面间间的平行的平行线线段相等；段相等；,A CACBDB DABCDAA 性性质质：两平面平行，一平面上的任一条直：两平面平行，一平面上的任一条直线线与另一个平面平行；与另一个平面平行；aaaaAAAA或11、线线面垂直面垂直：定定义义：如果一条直：如果一条直线线垂直于一个平面内的任意一条直垂直于一个平面内的任意一条直线线，那么就，那么就说这说这条直条直线线和和这这个平面垂直。个平面垂直。判定：一条直判定：一条直线线与一个平面内的两条相交直与一个平面内的两条相交直线线都垂直，都垂直，则该则该直直线线与此平面垂直。与此平面垂直。,lmlnlmnAm n 性性质质：垂直于同一个平面的两条直：垂直于同一个平面的两条直线线平行。平行。aa bbA性性质质：垂直于同一直：垂直于同一直线线的两平面平行的两平面平行 ll A12、面面垂直面面垂直：定定义义：两个平面相交，如果它：两个平面相交，如果它们们所成的二面角是直二面角，就所成的二面角是直二面角，就说这说这两个两个平面互相垂直。平面互相垂直。判定：一个平面判定：一个平面经过经过另一个平面的一条垂另一个平面的一条垂线线，则这则这两个平面垂直。两个平面垂直。ll（只需在一个平面内找到另一个平面的垂（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线线就可就可证证明面面垂直）明面面垂直）性性质质：两个平面互相垂直，：两个平面互相垂直，则则一个平面内垂直于交一个平面内垂直于交线线的直的直线线垂直于另一个平面。垂直于另一个平面。证证明两直明两直线线垂直和主要方法：垂直和主要方法：利用勾股定理利用勾股定理证证明两相交直明两相交直线线垂直；垂直；利用等腰三角形三利用等腰三角形三线线合一合一证证明两相交直明两相交直线线垂直；垂直；利用利用线线面垂直的定面垂直的定义证义证明（特明（特别别是是证证明异面直明异面直线线垂直）；垂直）；利用三垂利用三垂线线定理定理证证明两直明两直线线垂直（垂直（“三垂三垂”指的是指的是“线线面垂面垂”“线线影垂影垂”，“线线斜垂斜垂”）aPOA,POOAPAaPAaaOA图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。mlllm-5-空空间间角及空角及空间间距离的距离的计计算算1.异面直异面直线线所成角：使异面直所成角：使异面直线线平移后相交形成的平移后相交形成的夹夹角角，通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，2.斜斜线线与平面成成的角：斜与平面成成的角：斜线线与它在平面上的射影成的角与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线 PA 在平面上射影，为线线PAO面角面角。3.二面角：从一条直二面角：从一条直线线出出发发的两个半平面形成的的两个半平面形成的图图形形，如图为二面角，二l 面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定用二面角的平面角的定义义求二面角的大小的关求二面角的大小的关键键点是：点是：确构成二面角两个半平面和棱；确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关而要想明确二面角的平面角，关键键是看是看该该角的两角的两边边是否都和棱垂直。是否都和棱垂直。（求空（求空间间角的三个步角的三个步骤骤是是“一找一找”、“二二证证”、“三三计计算算”）5.点到平面的距离：指点到平面的距离：指该该点与它在平面上的射影的点与它在平面上的射影的连线连线段的段的长长度。度。如图：O 为 P 在平面上的射影，线线段段 OP 的的长长度度为为点点 P 到平面到平面的距离的距离求法通常有：定求法通常有：定义义法和等体法和等体积积法法等体等体积积法：就是将点到平面的距离看成是法：就是将点到平面的距离看成是三棱三棱锥锥的一个高的一个高。如图在三棱锥VABC中有：SABCA SBCB SACC SABVVVV-,lOAOBlOAl OBlAOB如图：在二面角中，O 棱上一点，的平面角。且则为二面角 ab如图：直线a与b异面，b/b，直线a与直线b的夹角为两异面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90