全国高中数学第八章立体几何初步专项训练题.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步专项训练题全国通用版高中数学第八章立体几何初步专项训练题 单选题 1、边长为 5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A10cmB52cm C52+1cmD52 2+4cm 答案：D 分析：将圆柱展开，根据题意即可求出答案.圆柱的侧面展开图如图所示，展开后=12 2 52=52()，=52+(52)2=522+4()，即为所求最短距离 故选:D.2、已知三棱锥 ，其中 平面，=120，=2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A12B16C20D24 答案：C 分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.根据题意设底面 的外心为，O为球心，所以 平面，因为 平面，所以/，设是中点，因为=，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，因此/，因此四边形是平行四边形，故=12=1，由余弦定理，得 =2+2 2 cos120=4+4 2 2 2 (12)=23，由正弦定理，得2=2332 =2，所以该外接球的半径满足2=()2+()2=5 =42=20，故选：C 小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.3、如图所示的正方形123中，分别是12，23的中点，现沿，把这个正方形折成一个四面体，使1，2，3重合为点，则有（）A 平面B 平面 C 平面D 平面 答案：A 解析：根据正方形的特点，可得 ，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.由题意：，=，平面 所以 平面正确，D不正确；.又若 平面，则 ，由平面图形可知显然不成立；同理 平面不正确；故选：A 小提示：本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.4、若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（）A22B222C232D322 答案：A 分析：设正方体的棱长为x，求出正方体的棱长即得解.解：设正方体的棱长为x，则3=，即2=132，所以正方体的全面积为62=6 132=22 故选：A 5、如图所示，在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=90，=1=1，D是棱1的中点，P是AD的延长线与11的延长线的交点，若点Q在线段1上，则下列结论中正确的是（）.A当点Q为线段1的中点时，平面1 B当点Q为线段1的三等分点时，平面1 C在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1 D不存在DQ与平面1垂直 答案：D 分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项 ABC；按照点Q为线段1的中点和点Q不为线段1的中点两种情况利用反证法证明选项 D 判断正确.连接1，交1于H 在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=1=1，则四边形11为正方形，则1 1 又=90，即 ，又1，1=，1面11，面11 则 面11，则 1 又1 1，1 =，1面1，面1 则1 面1，选项 A：当点Q为线段1的中点时，又 D是棱1的中点，则/1 若 平面1，则1平面1 又1 面1，则面1/平面1，这与1 1=矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的中点时，平面1不正确；选项 B：当点Q为线段1的三等分点时，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的点三等分时，平面1，不正确；选项 C：在线段1的延长线上一点Q，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1不正确；选项 D：由选项 A 可知，点Q为线段1的中点时，平面1不成立；假设点Q在线段1上，且不是中点，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段1上，且不是中点时，平面1不正确；故不存在DQ与平面1垂直.判断正确.故选：D 6、下列空间图形画法错误的是（）ABCD 答案：D 分析：根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.D 选项：遮挡部分应画成虚线 故选:D.7、如图所示，在直三棱柱 111中，1=1，=3，cos=13，P是1上的一动点，则+1的最小值为（）A5B7C1+3D3 答案：B 分析：连接1，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，判断出当、三点共线时，则即为+1的最小值.分别求出1=120,1=1,1=2,利用余弦定理即可求解.连接1，得 11，以1所在直线为轴，将 11所在平面旋转到平面11，设点1的新位置为，连接，则有+1.当、三点共线时，则即为+1的最小值.在三角形ABC中，=3，cos=13，由余弦定理得：=2+2 2 cos=3+3 2 3 13=2,所以11=2，即1=2 在三角形1中，1=1，=3，由勾股定理可得：1=12+2=1+3=2,且1=60.同理可求：1=2 因为1=1=11=2，所以 11为等边三角形，所以11=60，所以在三角形1中，1=1+1=120,1=1,1=2,由余弦定理得：=1+4 2 1 2 (12)=7.故选 B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.8、阿基米德（，公元前 287 年公元前 212 年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36，则圆柱的体积为（）A36B45C54D63 答案：C 解析：根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.设球的半径为，则433=36，所以=3，所以圆柱的底面半径为=3，圆柱的高为2=6，所以圆柱的体积为2 2=23=54.故选：C 9、已知,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面 D若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线 答案：B 分析：举特例说明判断 A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断 B；推理说明判断 C；举例说明判断D 作答.正方体 1111中，直线11、直线11都平行于平面，而直线11与11相交，A 不正确；如图，直线是平面的斜线，=，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作 于点A，则直线是斜线在平面内射影，直线与直线确定平面，而 平面，则平面 平面，即过斜线有一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线与直线确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B 正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C 不正确；如图，在正方体 1111中，平面为平面，直线1为直线，显然直线不垂直于平面，而平面内直线,都垂直于直线，D 不正确.故选：B 10、下列命题中，正确的是（）A三点确定一个平面 B垂直于同一直线的两条直线平行 C若直线与平面上的无数条直线都垂直，则 D若a、b、c是三条直线，且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上 答案：D 分析：利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面，故 A 错误；B.由墙角模型，显然 B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故 C 错误；D.因为/，所以、确定唯一一个平面，又与、都相交，故直线、共面，故 D 正确；故选：D.11、如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面 平面,是线段的中点，则 A=，且直线,是相交直线 B ，且直线,是相交直线 C=，且直线,是异面直线 D ，且直线,是异面直线 答案：B 解析：利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 如图所示，作 于，连接，过作 于 连，平面 平面 ,平面，平面，平面，与均为直角三角形设正方形边长为 2，易知=3,=1 =2，=32,=52,=7 ，故选 B 小提示：本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形 12、下列说法正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C棱锥的所有侧面都是三角形 D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 答案：C 分析：根据定义逐项分析即可 对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，故选：.填空题 13、如图，在棱长为2的正方体 1111中，为线段1上的动点（不含端点），则下列结论正确的是_ 平面11 平面1；1；1的取值范围是2,)；三棱锥1 1的体积为定值43 答案：分析：由正方体的特征知11平面11，1对角面11，由面面垂直的判定和线面垂直的性质可知正确；当点为线段1的一个四等分点且靠近点时，由长度关系可求得cos1 0，知错误；由体积桥和三棱锥体积公式可确定正确.对于，几何体是正方体，11平面11，又11平面11，平面11 平面1，正确；对于，在正方体 1111中，1对角面11，对角面11，1，正确；对于，当点为线段1的一个四等分点且靠近点时，可得：=102，1=342，1=22，由余弦定理得：cos1=2+121221=52+17282102342=385 0，此时12，错误；对于，11的面积是定值=12 2 2=2，点到面11的距离为=2，三棱锥1 1的体积=13 2 2=43，正确 所以答案是：14、已知直线m，n，平面，若/，则直线m与n的关系是_ 答案：平行或异面 分析：由题意，直线m与n没有交点，分析即得解 由题意，/，故直线m与n没有交点 故直线m与n平行或异面 所以答案是：平行或异面 15、如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 _ cm3.答案：123 2 分析：先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.正六棱柱体积为6 34 22 2=123 圆柱体积为(12)2 2=2 所求几何体体积为123 2 所以答案是：123 2 小提示：本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.16、我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111，其中 ，若1=1，当“阳马”即四棱锥 11，体积最大时，“堑堵”即三棱柱 111的表面积为_.答案：3+222 分析：依据均值定理去求四棱锥 11取体积最大值时的长度，再去求三棱柱 111的表面积即可.四棱锥 11的体积是三棱柱体积的23，111=12 1=12 14(2+2)=142=14，当且仅当=22时，取等号.所以三棱柱 111的表面积为=2 122222+(22+22+1)1=3+222.所以答案是：3+222 17、表面积为 81 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是 7，则这个正四棱柱的底面边长为_ 答案：4 分析：先判断出正四棱柱的体对角线即为球的直径，利用球的表面积求出球的半径，再由勾股定理求边长即可.由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则42=81，解得=92，设正四棱柱的底面边长为，则2+2+72=2，解得=4.所以答案是：4.解答题 18、如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成已知球的直径是 6cm，圆柱筒长 2cm (1)这种“浮球”的体积是多少（结果精确到0.1cm3）？(2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶 100g，共需胶多少？答案：(1)169.6cm3(2)1200g 分析：（1）根据球的体积公式及圆柱的体积公式即可求解；（2）根据球的表面积公式及圆柱的侧面积公式，求出 1 个“浮球”的表面积，进而可得 2500 个“浮球”的表面积的和，从而即可求解.（1）解：球的直径是 6cm，可得半径R=3cm，两个半球的体积之和球=433=43 27=36cm3，而圆柱=2 =9 2=18cm3，该“浮球”的体积=球+圆柱=36+18=54 169.6cm3；（2）解：根据题意，上下两个半球的表面积为球表=42=4 9=36cm2，而“浮球”的圆柱筒侧面积圆柱侧=2=2 3 2=12cm2，1 个“浮球”的表面积=36+12104=48104m2，2500 个“浮球”的表面积的和为2500 48104=12m2，每平方米需要涂胶 100g，总共需要胶的质量为100 12=1200g 19、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点求证：（1）BF/HD1；（2）EG/平面BB1D1D 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析 解析：（1）取BB1的中点M，连接MH，MC1，得HD1MC1，再证得MC1BF，可得结论；（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，先证明1与平行且相等，可得GED1O，从而可得线面平行 证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1MC1 又因为在平面BCC1B1中，BM/FC1，BM=FC1 所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1BF，所以BFHD1（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC且OE12DC，又D1GDC且D1G12DC，所以OE/D1G，OE=D1G 所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GED1O 又D1O 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，所以EG 平面BB1D1D 小提示：易错点睛：本题考查证明线线平行与线面平行，解题关键是掌握线面平行的判定定理，解题时需要列出定理的所有条件，缺一不可，否则易出现错误 20、如图所示的几何体由三棱锥 和正四棱锥 拼接而成，平面，/，=1，=2，=5，O为四边形对角线的交点 (1)求证：/平面；(2)求二面角 的正弦值 答案：(1)证明见解析(2)155 分析：(1)取AD中点M，连QM，OM，证得PO/QM即可得解.(2)在正四棱锥 中作出二面角 的平面角，借助直角三角形计算即可.(1)取AD中点M，连QM，OM，如图，因O是正四棱锥 底面中心，即O是BD中点，则OM/AB/PQ，=12=1=，于是得PQMO是平行四边形，PO/QM，而 平面ADQ，平面ADQ，所以PO/平面ADQ.(2)在正四棱锥 中，DOAO，PO平面ABCD，DO平面ABCD，则PODO，而 =，,平面POA，因此，DO平面POA，而 平面POA，则DOPA，过O作OEPA于E，连DE，如图，=，,平面DOE，则有PA平面DOE，即PADE，从而得是二面角 的平面角，因 平面，则PQAQ，=2+2=6，而=12=2，则PO=2，=233，Rt 中，=2,=2+2=303，于是得sin=155，所以二面角 的正弦值155.