勾股定理-讲义.doc

勾股定理
一、知识梳理
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2. 直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
性质5： 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
3． 勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
4．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

二、经典例题+基础练习
1. 勾股定理．
【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（　　）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．
练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（　　）

A．1 B． C． D．2
2. 等腰直角三角形．
【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（　　）

A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1
练3. 将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
3. 等边三角形的性质；勾股定理．
【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（　　）
A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米
C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米
练4. 等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为　　　　　．
4．勾股定理的应用．
【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（　　）
A．80cm B． C．80cm或 D．60cm
练5. 现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（　　）
A．米 B．米
C．米或米 D．米
5．平面展开-最短路径问题．
【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm
练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（　　）m．

A．4.8 B． C．5 D．

三、课堂练习
1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（　　）
A．不能确定 B． C．17 D．17或
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c
=（　　）
A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：3
3．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（　　）
A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米
4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　　　米之外才是安全的．
5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为　　　m．

6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　　米．（精确到0.01米）

四、能力提升
1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（　　）
A．5 B． C．5或 D．没有
2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（　　）
A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm
3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（　　）
A．161 B．289 C．225 D．161或289
4．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．13 C．16 D．18
5．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　　cm．

6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用　　　　　秒钟．

7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　cm．

8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　　　　　米．

9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为　　　cm．
（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．

10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　　　　mm．

勾股定理的逆定理
一、知识点梳理
1．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
2．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（3）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
3．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
4．方向角
（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方位角
以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．

二、经典例题+基础练习
1. 勾股定理的逆定理．
【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5
练1. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6

练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
2. 勾股定理的应用．
【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）

A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
练3. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（　　）

A．12m B．13m C．16m D．17m
3. 平面展开-最短路径问题．
【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A．13cm B．2cm C．cm D．2cm

练4. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为　　．

4．勾股定理的应用：方向角．
【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是　　km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的　　方向．

练5. 如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地　　千米（结果可保留根号）．

5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．
【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．6个
练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有　　个．

三、课堂练习
1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行　　　　　　米．

2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=　　　　　　米．

3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为　　　　　　米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．

4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为　　　　　　cm．（结果保留π）

5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=　　　　　　度．

四、能力提升
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（　　）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12
C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=50
3．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（　　）
A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25
4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（　　）
A．80cm B． C．80cm或 D．60cm
5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（　　）
A．米 B．米 C．米或米 D．米
6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（　　）
A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对
7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（　　）

A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm
8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（　　）

A．7 B． C． D．5
9．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有　　　　个．
11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于　　　　　时，这个三角形为直角三角形．
12． 有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　　　　　米之外才是安全的．
13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为　　　　　m．

14． “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）

15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）

16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．
（1）求OB的长；
（2）当AA′=1米时，求BB′的长．

勾股定理中的折叠问题
一、经典例题
例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8。将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
(1)求EF的长；(2)求梯形ABCE的面积。

例2．如图，在∆ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC折叠，使AB落在
直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积．

例3．如图，矩形纸片ABCD的长AD=9 cm，宽AB=3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少?

例4如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC
折叠,使AB落在斜边AC上得到线段AB’,折痕为AD，求BD的长为．

例5.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，点D落在
BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm．求EC的长．

二、课堂练习
1.如图，将边长为8 cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC中点E处，
点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长．

2．如题，在长方形ABCD中，将∆ABC沿AC对折至∆AEC位置，
A
B
C
D
E
F
CE与AD交于点F. (1)试说明：AF=FC
(2)如果AB=3，BC=4，求AF的长。

3.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，
折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，
（1）重叠部分△DEF的面积是多少cm2?
（2）求EF的长。

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M为AB边上中点，将Rt△ABC绕点M
A
B
C
M
D

N
旋转，使点C与点A重合得到△DEA，设AE交CB于点N．
若∠B=25°,求∠BAE的度数；
若AC=2，BC=3，求CN的长．

5.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B'位置，AB'与CD交于点E．
(1)求证：△AED≌△CEB'；
(2) AB＝8，DE＝3，点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H．
求PG＋PH的值，并说明理由．

6.有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，
设折痕为EF；再沿过点D的折痕将角A翻折，使得点A落在EF
的H上，折痕交AE于点G,求EG的长。

三、能力提升
1、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，
EC与AD相交于点F.
（1）求证：△FAC是等腰三角形；
（2）若AB=4，BC=6，求△FAC的周长和面积.

2、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．

3．在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边
上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）求BE、QF的长；（2）求四边形PEFH的面积．

4、如图所示：在一块砖宽AN＝5cm，长ND＝10cm，CD上的点B距地面BD＝8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是 。

5、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.
B
C
5题
A
D
G
E

3题