高等量子力学习题汇总.pdf

第一章第一章1、简述量子力学基本原理。答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符()；2、物理量所能取的值是相应算符的本征值；3、AA一个任意态总可以用算符的本征态展开如下：；而AiaiiiiiaCaC,物理量 A 在中出现的几率与成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位2iC置算符和相应的正则动量算符有如下对易关系：，ix ip 0,jixx0,jippijjiipx,原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量随时间变化的规律由薛定谔方程给t在海森堡图景中，一个厄米算符的运动规律由海森堡tHtti tAH方程给出：原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 HAitAdtdHH,1Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。2、薛定谔图景的概念？答：式中态矢随时间而变而不含 t，结果波函数中的宗量txt|,xxtx，t 来自而 x 来自，这叫做薛定谔图景.tx3、已知(1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量；(2)证明x的本征态.10,01).(211121|xS4、已知：P 为极化矢量，P=，其中=C1+C2，它的三个分量为：求证：答案：答案：设：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2则：Px=2(x1x2+y1y2)Py=2(x1y2-x2y1)Pz=x12+y12-x22-y22P2=Px2+Py2+Pz2=4(x1x2+y1y2)2+4(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24)=(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(|C1|2+|C2|2)25、6、证明不确定关系.答案:对于两个可观测量和成立不等式：AB（1）先证明一个引理-schwarz 不等式：对于两个态矢和，必有：|（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量 a,b，必有：（3）对任意复常数，我们有：（4）取，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取|（5）这里用态来强调对任何 ket 矢量都适用，于是（2）式给出：|（6）因：（7）其中对易子是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而,ABAB反对易子是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：,AB的模的平方等于。7、证明：幺正算符的本征态互相正交.解:设|n 是幺正算符 S 的一个本征态,本征值为 n,则n|S|n=n=n|S=n|n =S+|n=n+|n即|n 也是 S+的本征态，而 H=S+S+是厄米算符，H|n=(n+n+)|n故|n 也是 H 的本征态，而厄米算符的本征态相互正交,所以幺正矩阵的本征态相互正交.8、试证明：若体系在算子变换 Q 下保持不变，则必有H,Q=0。这里 H 为哈密顿算符，变换 Q 不显含时间，且存在逆变换 Q-1。9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。海森堡图景,态矢依赖时间 t 而基矢不含 t,而对于海森堡图景而言，|tS（|x不含 t，于是时间依赖性完全转移到中去了。|H|x,tH10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量答：一维谐振子的经典哈密顿量：22221()2HPm w qm12、产生,湮灭算符的定义,为什么把它们叫产生湮灭算符?答案:产生,湮灭算符的定义如下：定义粒子数算符可以得到：由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（n-1）的本征态。故称其为产生|an|anN湮灭算符。13、证明谐振子在激发态中 证明：222212xpn,22mxa apiaam0,0 xp2222xxxx A同理：2222ppppA222221222xaaa a aaaaa amm 222122mpaaa a 对于激发态 n2122xnm 2122mpn222212xpn 14、请构造相干态.解:相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在 N 表象中解此方程，展开：由得 又有 ，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。（1）海森波的矩阵力学，它重视可观察量。把可观察量和算符间建立了一一的对应关系，研究算符的运动方程，它包含有对易关系的运算。（2）第三种是狄拉克和费曼发现的，他们着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视“传播函数”或“传播子”的作用。16、由最小作用量原理推导拉格朗日方程。第二章第二章17、势散射：两粒子的相互作用，可以是能用二者的相互作用势能表达的引力1 2()V rr或斥力，这时的散射称为势散射.18、证明 S 算符是么正的证明：因为)()()()(ss且所以所以算符 S 是么正的第三章第三章19、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。轨道角动量 ,xyzLrpL Li L；自旋角动量 仍为角动量,xyzSSSi S；,0L S JLS证：,xyxxyyxyxyzzzJJLSLSLLSSi Li Si J一般地若两角动量满足 则也是角动量12,0J J 12JJJ进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符设 即nmnnmJJi J,nxmynznmJJi J 则对于11;,kknnnnJJJJx y z1111111,kkkkxynxmynxmynmnmkkknnmnzznmnJJJJJJi Ji Ji J