二次函数知识点总结.pdf

二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、二次函数概念：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫2yaxbxcabc，0a 做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而0a 可以为零二次函数的定义域是全体实数bc，2.二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：2yaxc上加下减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小yx0 x y值00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大yx0 x y值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小yx0 x y值c0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大yx0 x y值c3.的性质：2ya xh左加右减。4.的性质：2ya xhk三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk，保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值00a 向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值k0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值k 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过2ya xhk2yaxbxc配方可以得到前者，即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，六、二次函数六、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当时，随的增大而减小；2bxa yx当时，随的增大而增大；2bxa yx当时，有最小值2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当0a 2bxa 2424bacbaa，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2bxa yx2bxa yx2bxa 有最大值y244acba七、二次函数解析式的表示方法七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式（交点式）：（，是抛物线与轴两交点的横12()()ya xxxx0a 1x2xx坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；0a aa 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a aa大2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（同左异右 b 为 0 对称轴为aby 轴）3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy十、二次函数与一元二次方程：十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的240bac x1200A xB x，12()xx是一元二次方程的两根.12xx，200axbxca 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点.0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c