二次根式知识点总结和习题.pdf

二次根式的知识点汇总二次根式的知识点汇总知识点一：知识点一：二次根式的概念二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例题例题 判断下列代数式中哪些是二次根式？判断下列代数式中哪些是二次根式？，21169a12x ，（），），。222 aax0 x23m巩固巩固1 1、下列各式中，不是二次根式的是（、下列各式中，不是二次根式的是（）A A B B C C D D 45322a 122 2、下列各式中，是二次根式是（、下列各式中，是二次根式是（）.（A A）（B B）（C C）（D D）x301a21b 知识点二：取值范围知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。例题例题 1 1 x x 取什么值时，取什么值时，（）45x有意义（A A）x x （B B）x x（C C）xx（D D）xx45545454巩固巩固 使代数式使代数式有意义的有意义的 取值范围是（取值范围是（）32xxxA A B B C C 2x ；32xx 且，；32xx 且，；D D32xx 且，；知识点三：二次根式知识点三：二次根式（）的非负性）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。例题例题 已知已知，则，则 221yxxyx知识点四：二次根式（知识点四：二次根式（）的性质的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：知识点六：与与的异同点的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式ab=ab（a0，b0）；bbaa（b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算例题例题 1 计算计算=3393aaaa例题例题 3 3 计算：（计算：（1 1）)455112()3127(；二次根式二次根式同步学习检测（一）同步学习检测（一）（整章检测）（整章检测）（时间 90 分钟 满分 100 分）一、选择题（共一、选择题（共 12 分）分）1在根式15、22b-a1ba、3ab、631、baa221中，最简二次根式有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（例题例题 2 2 3)154276485(（2 2）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个3在下列各式中，等号不成立的是（）Aa1-aa B2xyy4x2(x0)C32a-a2a-D(x+2xy+y)(x+y)x+y4在下列各式的化简中，化简正确的有（）3aaa 5xx-x4xx6a2baab2b3a 24+61106A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5已知二条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A1cm B5cm C5cm D1cm 或5cm6已知 a0，化简：aaa22的结果是（）A1 B-1 C0 D2a二、填空题（每题二、填空题（每题 2 分，共分，共 20 分）分）752的绝对值是_，它的倒数_8当 x_时，x311是二次根式9当 x_时，52 x有意义，若xx2有意义，则 x_。10当 mn 时，2)(mn _，当 a_时，3132aa11化简04.0225_，22108117_。12计算：ba10253_13若最简二次根式1522x与172x是同类二次根式，则 x=_。14把根式aa1根号外的 a 移到根号内，得_。15二次根式x33与ax2的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ；其和为 。16观察下列各式：322322；833833；15441544；则依次第四个式子是 ；用)2(nn的等式表达你所观察得到的规律应是 。三、解答题（共三、解答题（共 68 分）分）17（5 分）计算：bababaa 18（5 分）计算：)483814122(2219（5 分）解方程：3548015xx 20（5 分）解不等式：)1(6)3(2xx21（5 分）已知：2420 x，求221xx 的值22（5 分）化简并求值aaaaaaa22212121 其中321a23（5 分）已知实数 a 满足|2003a|+=a，则 a20032的值是多少？a200424（5 分）已知正数a和b，有下列命题：（1）若2ba，则ab1；（2）若3ba，则ab23；（3）若6ba，则ab3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9ba，则ab 。25（6 分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知m为实数，化简：mmm13解：原式mmmmm1mm126（6 分）如图，ABC中，RtACB，2,8BCAB，求斜边AB上的高CD27（8 分）观察下列等式：12)12)(12(12121；23)23)(23(23231；34)34)(34(34341；回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：11321（2）计算：1031.23132121128（8 分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高 DE=30 米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长。ACBEDF新人教九年级（上）第新人教九年级（上）第 21 章章二次根式二次根式同步学习检测（二）同步学习检测（二）一、选择题1、如果是二次根式，则 x 的取值范围是（）A、x5 B、x5 C、x1 B、x0,化简二次根式 x的正确结果为（）A、B、C、D、yyyy9、若代数式+的值是常数 2，则 a 的取值范围是（）(2a)2(a4)2A、a4 B、a2 C、2a4 D、a=2 或 a=410、下列根式不能与合并的是（）48A、B、C、D、0.12187511、如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的 x 的范围是3a8172a4a2x（）A、x10 B、x10 C、x1012、若实数 x、y 满足 x2+y24x2y+5=0,则的值是（）A、1 B、+C、3+2 D、3232222二、填空题1、要使有意义，则 x 的取值范围是 。2、若+=0，则 ab=。a+4a+2b23、若与都是二次根式，那么+=。1a2a211a2a214、若 y=+，则(x+y)2003=。12x2x1(x1)25、若x1+x，化简=。23(x+2)23(x+3)36、若=，则 a=.(a+1)2(a1)27、比较大小：3 2 56111014138、若最简根式与是同类二次根式，则 m=.m235m+39、已知=2,=3,=4,请你用含 n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来：.10、若的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a=。51b11、已知=，则=。xa4x+x212、已知 a=，则化简 a 得 .三、计算与化简1、(+)1+2、+32(2)2383、(1+)(1+)+2 4、+232369aa312a a3四、先化简再求值1、已知 a=3,b=4，求+的值。2、化简：取自己喜爱的 a 的值计算。3、当 a=，b=时，求的值。a23ab+b24、当 a=时，求 的值。a21a11a五、解答下列各题1、解方程：(x1)=(x+1)322、解方程组：3、已知直角三角形两直角边长分别为 a=,b=,求斜边的长。【参考答案参考答案】同步学习检测（一）同步学习检测（一）一、选择题1C 2B 3C 4B 5D 6B 二、填空题 x2 =y6 x+y=4 752,25 813 952，x2且0 x 10m-n，0 113，45 1230 2ab 131 14a 156 10 16.5555424，2211nnnnnn三、解答题171 181 4 6 193 xy 2033x 2118 2211,3aa 232009 2492 25原式1()()mmmmm 1mm 2662 27（1）2 311；（2）9 28(9830 56 34)米同步学习检测（二）同步学习检测（二）一、选择题1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D9、C 10、B 11、A 12、C二、填空题1、1x 8、6 9、=n(n2 且 n 为整数)10、11、a 12、51a2三、计算与化简1、2、+1 3、4+4 4、3236236a四、先化简再求值1、2 2、a 3、4、3953五、解答下列各题1、x=5+2 2、x=22 y=62 3、633464、7652