《复变函数与积分变换》第一章.ppt

第1章 复数与复变函数1 复变函数与积分变换及应用背景复变函数与积分变换及应用背景 （莫里斯（莫里斯克莱恩克莱恩）(1908-1992)古今数古今数学思想学思想(Mathematical Thought from Ancient to Modern(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)Times)的作者的作者,美国数学史家美国数学史家)指出指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样.第1章 复数与复变函数2 的概念的概念,从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数(2)复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分数的积分.(1)代数方程代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解.（阿达马）说（阿达马）说:实域中两个实域中两个真理之间的最短路程是通过复域真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究等问题的研究.函数理论证明了函数理论证明了应用复变应用复变第1章 复数与复变函数3(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.(5)应用于计算渗流问题应用于计算渗流问题.例如：大坝、钻井的浸润曲线例如：大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电应用于平面热传导问题、电(磁磁)场强度场强度.例如：热炉中温度的计算例如：热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题.第1章 复数与复变函数4 变换应用于频谱分析和信号处理等变换应用于频谱分析和信号处理等.(傅里叶变换）傅里叶变换）(7)复变函数理论也是积分变换的重要基础复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域领域 频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多处理要方便得多.(8)第1章 复数与复变函数5 变换应用于控制问题变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的变换与输出量的Laplace变换之比变换之比.(9)第1章 复数与复变函数6 第第第第1 1 1 1章章章章 复数与复变函数复数与复变函数复数与复变函数复数与复变函数1.1 1.1 复数运算及几何表示复数运算及几何表示1.2 1.2 复平面上的复平面上的点集点集1.3 1.3 复变函数复变函数第1章 复数与复变函数7 主主 要要 内内 容容 本章首先引入复数的概念及表示式、本章首先引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念复数的运算、平面点集的概念.然后讨论然后讨论复变函数的极限连续性复变函数的极限连续性.第1章 复数与复变函数8 1.1 1.1 复数运算及几何表示复数运算及几何表示1 1 复数复数概念及四则运算概念及四则运算2 2 复数的几何表示复数的几何表示3 3 共轭复数共轭复数4 4 乘除、乘方与开方乘除、乘方与开方5 5 复球面与无穷远点复球面与无穷远点第1章 复数与复变函数9 1.1.1.1.1.1.复数概念及四则运算复数概念及四则运算 由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要,人们引进了复数人们引进了复数.例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍为了建立代数方程的普遍理论，引入等式理论，引入等式 由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为第1章 复数与复变函数10 当复数的虚部为零、实部不为零当复数的虚部为零、实部不为零(即即 x0,y=0 )时，复数时，复数 x+iy 等于等于 x+i0 为实数为实数 x;数数 x+iy(或或 x+yi)的的 ,并记做并记做 称形如称形如 x+iy 或或 x+yi 的表达式为复数，其中的表达式为复数，其中 x和和y是任意两个实数是任意两个实数.把这里的把这里的x和和y分别称为复分别称为复3+0i=3是实数是实数,4+5i,-3i都是虚数都是虚数,而而-3i是纯虚数是纯虚数.例如：例如：Imaginary;Real;虚虚实实虚虚实实?而虚部不为零而虚部不为零(即即 y0 )的复数称为虚数的复数称为虚数.在虚数中在虚数中,实部为零实部为零(即即x=0)的称为纯虚数的称为纯虚数.第1章 复数与复变函数11 显然显然,z=x+iy 是是 x-yi 的共轭复数的共轭复数,即即 共轭复数共轭复数 复数复数 x-iy 称为复数称为复数 x+yi 的的 (其中其中x,y均为实数均为实数),记做：记做：比如比如（1 1）2+3i2+3i是是2-3i2-3i的共轭复数的共轭复数 （2 2）-5-5i i是是5 5i i的共轭复数的共轭复数 （3 3）8 8是是8 8的共轭复数（从复数角度）的共轭复数（从复数角度）第1章 复数与复变函数12 复数的四则运算复数的四则运算注意注意 复数不能比较大小复数不能比较大小.设设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数是两个复数,如果如果x1=x2,y1=y2,则称则称z1和和z2相等相等,记为记为z1=z2.复数复数z1=x1+iy1 和和 z2=x2+iy2 的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定义如下：运算定义如下：(1)复数的和与差复数的和与差第1章 复数与复变函数13(2)复数的积复数的积(3)复数的商复数的商第1章 复数与复变函数14 求求与与例例 1.1解解:第1章 复数与复变函数15 求求例例 1.2解解:第1章 复数与复变函数16 计算计算 例例 1.3解解:第1章 复数与复变函数17 2.结合律结合律 3.分配律分配律 复数运算的性质复数运算的性质1.交换律交换律 第1章 复数与复变函数18 给定一复数给定一复数z=x+yi,在坐标平面在坐标平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P(x,y)与与z=x+yi对应对应.反之反之,对对XOY平面上的点平面上的点P(x,y),存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+yi与它与它对应对应.这时把这时把XOY平面平面称为复平面平面平面称为复平面.有时简有时简称为称为z平面平面.或或用拉丁字母用拉丁字母表示表示 (complex number,复数）复数）1.1.2 1.1.2 复数的几何表示复数的几何表示 建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系，建立起了平面上全部点与全体复数间一一对应关系，因此可以用因此可以用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z.1.复平面复平面第1章 复数与复变函数19 显然显然,实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应,而而x轴以外的点都对应一个轴以外的点都对应一个虚数虚数,纯虚数纯虚数 与与y轴上的点轴上的点(除原点除原点)对应对应.因此因此,称称x轴为实轴轴为实轴,y轴为虚轴轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别,即即“点点z”和和“复数复数z”是是同一个意思同一个意思.有时用有时用C 表示全体复数或复平面表示全体复数或复平面.复数复数z也可以用以原点为起点也可以用以原点为起点而以点而以点P为终点的向量表示为终点的向量表示(如图如图).2.平面向量平面向量 这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则.第1章 复数与复变函数20 用用 表示复数表示复数z=x+yi时时,这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上的轴上的投影分别为投影分别为x和和y.把向量把向量 的长度的长度r 称为复数称为复数z的的 或称为或称为z的绝对值的绝对值,记做记做|z|.第1章 复数与复变函数21 如果点如果点P不是原点不是原点(即即 ),那么把那么把 x 轴的正向与向量轴的正向与向量 的夹角的夹角 q q 称为复数称为复数 z 的辐角的辐角,记做记做 Arg z.对每个对每个 ,都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角,因为用因为用q q0 0表示复表示复数数z的一个辐角时的一个辐角时,就是就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式.辐角：辐角：第1章 复数与复变函数22 有时有时,在进行说明后在进行说明后,把主辐角定义为满足把主辐角定义为满足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时,|z|=0.满足满足 的复数的复数z的的 称为主辐角称为主辐角(或称辐角的主值或称辐角的主值),记做记做argz,则则的辐角的辐角,这时上式仍然成立这时上式仍然成立.当当z=0时时,Argz没有意义没有意义,即零向量没有确定即零向量没有确定第1章 复数与复变函数23 当当 时时,有有说明：当说明：当 z 在第二象限时，在第二象限时，第1章 复数与复变函数24 利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标之间的关系 数数z的的三角表示式三角表示式.再利用再利用欧拉欧拉公式公式 复数复数z=x+yi 可表示为可表示为 称为复称为复复数复数z=x+yi 又可表示为又可表示为 称为复数的称为复数的指数表示式指数表示式,其中其中r=|z|,q q=Argz.3.复数的指数形式复数的指数形式第1章 复数与复变函数25 在坐标系中描点，并写出各个复数的模与辐角在坐标系中描点，并写出各个复数的模与辐角 （1）-2 （2）-i (3)1+i(1)|-2|=2,arg(-2)=(1)|-2|=2,arg(-2)=(2)|-i|=1,arg(-i)=-/2(2)|-i|=1,arg(-i)=-/2(3)|1+i|=,arg(1+i)=/4(3)|1+i|=,arg(1+i)=/40-112-2x1y例例 1.4解解:第1章 复数与复变函数26 写出写出 的辐角和它的指数形式。的辐角和它的指数形式。将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.第二象限第二象限例例 1.5解解:例例 1.6第1章 复数与复变函数27（2）显然显然,r=|z|=1,又又因此因此（1）z在第三象限在第三象限,因此因此因此因此解解:第1章 复数与复变函数28 当当 时时,当当 时时,共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质一对共轭复数一对共轭复数 z 和和 在复平面在复平面的位置是关于实轴对称的的位置是关于实轴对称的.第1章 复数与复变函数29 复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质 从几何上看从几何上看,复数复数 z2-z1所表示的向量所表示的向量,与以与以z1为起点、为起点、z2为终点的向量相等为终点的向量相等(方向相同方向相同,模模相等相等).第1章 复数与复变函数30 1.1.4 1.1.4 乘除、幂与开方乘除、幂与开方设复数设复数z1和和z2的三角表示式为的三角表示式为 根据乘法定义和运算法则及两角和公式根据乘法定义和运算法则及两角和公式,（1 1）乘法）乘法 两个复数乘积的两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；模等于它们的模的乘积；第1章 复数与复变函数31 两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向旋转角度旋转角度 ,再将模再将模变到原来的变到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积第1章 复数与复变函数32（2 2）除法）除法 两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；模等于它们的模的商；第1章 复数与复变函数33 用三角表示式计算下列复数(1)例例 1.6解解:另解：另解：第1章 复数与复变函数34(2)另解：另解：第1章 复数与复变函数35 复数的幂与开方复数的幂与开方（3）复数的幂复数的幂由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r=1，则得到，则得到 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式第1章 复数与复变函数36 比如：比如：第1章 复数与复变函数37 复数的幂与开方复数的幂与开方（4）复数的方根复数的方根 复数求方根是复数求方根是复数幂复数幂的逆运算的逆运算。复数复数 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。设设推导推导即即由由 正实数的算术根。正实数的算术根。由由有有第1章 复数与复变函数38 求求具体为：具体为：求解方程求解方程具体为：具体为：例例 1.7解解:例例 1.8解解:第1章 复数与复变函数39 描述描述 在复平面上，在复平面上，这这 n 个根均匀地个根均匀地为半径的圆周上。为半径的圆周上。根的辐角是根的辐角是分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以其中一个其中一个方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根；先找到一个特定的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。第1章 复数与复变函数40 求求所以所以因为：因为：例例 1.9解解:第1章 复数与复变函数41 即即注注：四个根是内接于中心在原点半径：四个根是内接于中心在原点半径 为为21/8的圆的正方形的四个顶点的圆的正方形的四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy一般情况下一般情况下,半径为半径为 的圆的内接正多边的圆的内接正多边 形的形的n个顶点所表示的复数个顶点所表示的复数.n个根就是以原点为中心、个根就是以原点为中心、第1章 复数与复变函数42(2)(3)法则法则(1)无意义。无意义。无意义。无意义。实部虚部是多少实部虚部是多少?问题问题 模与辐角是多少模与辐角是多少?在复平面上对应到哪一点？在复平面上对应到哪一点？一、无穷大一、无穷大1.1.5 1.1.5 复球面与无穷远点复球面与无穷远点定义定义 一个特殊的复数一个特殊的复数，称为，称为无穷大无穷大，满足，满足第1章 复数与复变函数43 二、无穷远点二、无穷远点1.无穷远点的概念无穷远点的概念(?)定义定义 在在“复平面复平面”上一个与复数上一个与复数 对应的对应的“理想理想”点，点，称为称为无穷远点无穷远点。事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，因此只能说它是一个因此只能说它是一个“理想理想”点点。那么，这个那么，这个“理想理想”点到底在哪里呢？点到底在哪里呢？下面就来看看黎曼下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释给出的解释。第1章 复数与复变函数44 2.复球面复球面 如图，如图，其中，其中，N 为北极，为北极，S 为南极。为南极。这样的球面称作这样的球面称作复球面复球面。对复平面上的任一点对复平面上的任一点 用用 球面上除球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，直线将直线将 点与点与 N 点相连，与球面相交于点相连，与球面相交于 点。点。p 球面上的球面上的 N 点本身则对应到了点本身则对应到了“复平面复平面”上的上的无穷远点无穷远点。注注 显然，复数显然，复数 不能写成不能写成 或者或者 。某球面与复平面相切，某球面与复平面相切，第1章 复数与复变函数45 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内与复平面内的点之间存在着一一对应的关系的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面我们用球面上的点来表示复数上的点来表示复数.球面上的北极球面上的北极N不能对应复平面上的定点不能对应复平面上的定点,当当球面上的点离北极球面上的点离北极 N 越近越近,它所表示的复数它所表示的复数的模越大的模越大.第1章 复数与复变函数46 3.扩充复平面扩充复平面(2)不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面，或者简称为或者简称为复平面复平面。(1)包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面；定义定义第1章 复数与复变函数47 求方程求方程 w4+16=0的四个根的四个根.因为因为-16=24e(2k+1)p pi,所以所以w4=24e(2k+1)p pi.于是于是 例例 1.10解解:第1章 复数与复变函数48 w1,w2,w3,w4恰好是以原点为圆心、半径为恰好是以原点为圆心、半径为2的圆的圆|z|=2的内接正方形的四个顶点的内接正方形的四个顶点(如图如图).第1章 复数与复变函数49 1.2.1 基本概念基本概念1.邻域邻域设设 为复平面上的一点，为复平面上的一点，定义定义d dz0d dz0(1)称点集称点集 为为 点的点的 邻域邻域；(2)称点集称点集 为为 点的点的 去心邻域去心邻域。1.2 复平面上的点集复平面上的点集第1章 复数与复变函数50 内点内点2.内点、外点与边界点内点、外点与边界点(1)内点内点外点外点边界点边界点考虑某平面点集考虑某平面点集 G 以及某一点以及某一点 ，(2)有有外点外点(1)(2)有有边界点边界点(1)不一定属于不一定属于 G；在在 中，中，(2)既有既有又有又有边界边界 G 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 G 的的边界边界。第1章 复数与复变函数51 3.开集与闭集开集与闭集开集开集 如果如果 G 的每个点都是它的内点，则称的每个点都是它的内点，则称 G 为为开集开集。闭集闭集 如果如果 G 的边界点全部都属于的边界点全部都属于 G，则称，则称 G 为为闭集闭集。4.有界集与无界集有界集与无界集定义定义 若存在若存在 ，使得点集，使得点集 G 包含在原点的包含在原点的 邻域内，邻域内，则则 G 称为称为有界集有界集，否则称为否则称为非有界集非有界集或或无界集无界集。第1章 复数与复变函数52 1.2.2 区域和曲线区域和曲线区域区域 平面点集平面点集 D 称为一个称为一个区域区域，如果它满足下列两个条件，如果它满足下列两个条件:(1)D 是一个是一个开集开集；(2)D是是连通连通的，的，闭区域闭区域 区域区域 D 与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域或或闭域闭域,记作记作 D。不不连连通通的一条折线连接起来。的一条折线连接起来。即即 D 中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于 D连通连通第1章 复数与复变函数53 区域区域1-2+i闭区域闭区域(角形角形)区域区域一、区域一、区域第1章 复数与复变函数54(1)圆环域圆环域:例例 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.一、区域一、区域第1章 复数与复变函数55 二、二、平面曲线平面曲线1.方程式方程式 在直角平面上在直角平面上 在复平面上在复平面上 如何相互转换如何相互转换？(比较熟悉比较熟悉)(比较陌生比较陌生)(1)(2)(建立方程建立方程)(理解方程理解方程)第1章 复数与复变函数56 i-i(1)i-i(2)2i-2(3)1-12-2(4)1-1(5)第1章 复数与复变函数57 二、二、平面曲线平面曲线2.参数式参数式 在直角平面上在直角平面上 在复平面上在复平面上例如例如 考察以原点为圆心、以考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程为半径的圆周的方程。(2)在复平面上在复平面上(1)在直角平面上在直角平面上第1章 复数与复变函数58 二、二、平面曲线平面曲线3.曲线的分类曲线的分类考虑曲线考虑曲线简单曲线简单曲线当当 时，时，简单闭曲线简单闭曲线简单曲线且简单曲线且光滑曲线光滑曲线在区间在区间 上，上，和和 连续且连续且简单简单、不闭不闭简单、闭简单、闭不简单不简单、闭闭不简单不简单、不闭不闭连续的简单闭曲线称为连续的简单闭曲线称为Jordan曲线曲线.连续曲线连续曲线连续。连续。第1章 复数与复变函数59 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域 设设D是复平面上的一个区域是复平面上的一个区域,如果位于如果位于D内的任何内的任何Jordan曲线的内部区域也都包含于曲线的内部区域也都包含于D,则称则称D为单连通为单连通区域区域.若区域若区域D不是单连通区域不是单连通区域,则称它为则称它为多连通区域多连通区域.单连通域单连通域多连通域多连通域第1章 复数与复变函数60 1.3 1.3 复变函数复变函数1 1 复变函数的定义、几何意义复变函数的定义、几何意义2 2 复变函数的极限、连续性复变函数的极限、连续性第1章 复数与复变函数61 1.3.1 1.3.1 复变函数的定义、几何意义复变函数的定义、几何意义 设设G是复是复数数z=x+iy的的集合集合,如果存在一个法则，按如果存在一个法则，按这个法则对于这个法则对于G的每一个的每一个z G,都存在惟一确定的复数都存在惟一确定的复数w=u+iv与之对应与之对应,称复变量称复变量w为复变量为复变量z的复变函数，简称的复变函数，简称w是是z的的复变函数，复变函数，记作记作 w=f(z)G称为该函数的称为该函数的定义集合定义集合.定义定义1.3.1 与与G中中z对应的对应的w的值构成的集合的值构成的集合 称为称为函数值集合函数值集合,记作记作 f(G)第1章 复数与复变函数62 因为因为z=x+iy和和w都是复数都是复数,若把若把w记为记为u+iv时时,u与与v也是也是z的函数的函数,因此也是因此也是 x 和和 y 的函数的函数.于是于是,可以写成可以写成 其中其中u(x,y)和和v(x,y)都是实变量的二元函数都是实变量的二元函数.第1章 复数与复变函数63 w=z2 是是定义在整个复平面上的定义在整个复平面上的复函数复函数.因为因为于是于是函数函数 w=z2 对应对应于两个二元实函数于两个二元实函数令令 是定义在除原点外整个复平面上的是定义在除原点外整个复平面上的复函数复函数.例例 1.3.1解解:例例 1.3.2解解:第1章 复数与复变函数64 映射的概念映射的概念 在在高等数学高等数学中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数，中，常把函数用几何图形来表示，对于复变函数，由于它反映了由于它反映了两对变量两对变量之间的对应关系，因而无法用同一个平面的之间的对应关系，因而无法用同一个平面的几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关几何图形表示出来，必须把它看成两个复平面上点集之间对应关系。系。第1章 复数与复变函数65 例例 1.3.3解解:Z平面w平面第1章 复数与复变函数66 反函数的定义反函数的定义 设函数设函数w=f(z)的定义域为复平面上的点集的定义域为复平面上的点集D,称复平面上的点集称复平面上的点集为函数为函数w=f(z)的值域的值域.对于任意的对于任意的w G,必有必有D中一个或几个复数中一个或几个复数与之对应与之对应.于是于是,确定了确定了G上一个单值或多值函数上一个单值或多值函数z=j j(w),称之为函数称之为函数w=f(z)的反函数的反函数.第1章 复数与复变函数67 设复变函数设复变函数w=f(z)在在z0的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义,A是确是确定复常数定复常数.若对任意给定的若对任意给定的e e 0,存在存在d d 0,使得对一切满足使得对一切满足0|z-z0|d d 的的z,都有都有 成立成立,则称当则称当z趋于趋于z0时时,f(z)以以A为极限，并记做为极限，并记做 或或 注意注意:定义中定义中zz0的方式是任意的的方式是任意的.1.3.2 1.3.2 极限与连续性极限与连续性定义定义1.3.2第1章 复数与复变函数68 几何意义：几何意义：当变点当变点z一旦进入一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的的充分小的去心邻域时，它的象点象点 f(z)就落入就落入A的预先给定的小邻域内。的预先给定的小邻域内。关于极限的计算，有下面的定理。关于极限的计算，有下面的定理。注意注意：z趋于趋于z0的方式是任意的，就是说，无论的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，从什么方向，以何种方式趋向于以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。都要趋向于同一个常数。第1章 复数与复变函数69 定理1.3.1 设函数设函数 证明：证明：说明：说明：这个定理是将复变函数这个定理是将复变函数的极限问题转化为求两个二元函数的极限问题转化为求两个二元函数的极限问题的极限问题.第1章 复数与复变函数70 定理1.3.2（复函数极限的四则运算法则）例例 1.3.4解解:计算极限第1章 复数与复变函数71 当当 z0 时时,函数函数极限不存在极限不存在.事实上事实上,当当z沿直线沿直线y=kx趋于零时趋于零时,该极限值随该极限值随k值的变化而变化值的变化而变化,所以极限所以极限不存在不存在.例例 1.3.5解解:第1章 复数与复变函数72 定义定义1.3.3设设 f(z)在在z0的邻域内有定义的邻域内有定义,且且 则称则称f(z)在在z0处连续处连续.若若f(z)在区域在区域D内的每一点都连续，则称内的每一点都连续，则称f(z)在区域在区域D上连续上连续.关于函数关于函数f(z)在连续曲线在连续曲线C上的连续性和闭上的连续性和闭区域区域 上的连续性上的连续性,只要把上述定义中的只要把上述定义中的z限制限制在在C或或 上即可上即可.函数的连续性函数的连续性第1章 复数与复变函数73(1)设设 都都在在 点连续点连续,则则都在都在 点连续，而点连续，而 当当时，时，也在也在点连续点连续.而而在在点连续，则点连续，则 复合函数复合函数在在 点连续点连续.定理1.3.3在在处连续，处连续，(2)设设第1章 复数与复变函数74 复变函数的连续性(p22)定理1.3.4第1章 复数与复变函数75 说明：说明：复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理续性定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立，因此又有依然成立，因此又有有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质 例例 1.3.6解解:第1章 复数与复变函数76 1.复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法 2.复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章的重点本章的重点:第1章 复数与复变函数77 第一章第一章 完完第1章 复数与复变函数78 Leonhard Euler(1707.4.15-1783.9.18)伟大的瑞士数学家及伟大的瑞士数学家及自然科学家自然科学家.出生于牧师家庭出生于牧师家庭,自幼受自幼受父亲的教育父亲的教育,13 岁时入读巴塞尔岁时入读巴塞尔大学大学.在数学领域内在数学领域内,18世纪可以称为是世纪可以称为是Euler的世纪的世纪.他对数学的研究非常广泛他对数学的研究非常广泛,在在半个多世纪的研究半个多世纪的研究生涯中生涯中,写下了浩如烟海的书籍和论文写下了浩如烟海的书籍和论文,几乎每几乎每一个一个数学领域都可以看到数学领域都可以看到Euler的名字的名字,欧拉作出了非凡贡献欧拉作出了非凡贡献.第1章 复数与复变函数79 Euler完全失明以后，仍然以惊人的毅力完全失明以后，仍然以惊人的毅力,凭着记忆和心算凭着记忆和心算进行研究进行研究,直到逝世直到逝世,竟达竟达17年之久年之久他在物理、天文、建筑等方面也取得了辉煌他在物理、天文、建筑等方面也取得了辉煌的成就的成就.Gauss说说:“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法.”Laplace说说:“读读读读Euler,他他是我们大家的老师是我们大家的老师.”28岁时岁时,过度的工作使他右眼失明过度的工作使他右眼失明.年近花甲年近花甲时时,双目失明双目失明.第1章 复数与复变函数80 Augustin Louis Cauchy (1789.8.21-1857.5.23)法国数学家法国数学家,历史上有数的历史上有数的大分析学家大分析学家.1805年入理工科大年入理工科大学学,1816年成为那里的教授年成为那里的教授.他给出了微积分的严密基础他给出了微积分的严密基础,同时其工作遍及同时其工作遍及 数学的各个领域数学的各个领域,而且在天文学、光学、弹性力学而且在天文学、光学、弹性力学等方面也做出了突出的贡献等方面也做出了突出的贡献.他的论文超过了七百他的论文超过了七百篇篇,在数量上仅次于在数量上仅次于Euler.他甚至研究过诗歌他甚至研究过诗歌.第1章 复数与复变函数81 Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826.9.17-1866.7.20)德国数学家德国数学家.1846年入哥廷根大年入哥廷根大学学,成为成为Gauss晚年的学生晚年的学生.1851年年以论文以论文“复变函数论的基础复变函数论的基础”取得博士学位取得博士学位,Gauss在审阅这篇论文时给予极高的评价在审阅这篇论文时给予极高的评价.1854年写出了年写出了将函数表示成三角级数的一篇重要论文将函数表示成三角级数的一篇重要论文,同年另一同年另一篇论文开辟了几何学的新领域篇论文开辟了几何学的新领域.1859年成为哥廷根年成为哥廷根大学教授大学教授,同年提出著名的同年提出著名的Riemannz z 函数函数 .第1章 复数与复变函数82 第一章第一章第二次作业：第二次作业：14.（1）（）（4）15.（1）（）（4）（）（9）16.（4）（）（6）18（1）（）（3）21（2）22第1章 复数与复变函数83 第一章第一章第一次作业：第一次作业：1.（1）（）（3）2.5.（1）（3）（）（6）