2018届高考理科数学第一轮总复习检测17.doc

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第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

【最新考纲】　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系

3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：(0，]．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”．)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)

A．30°　　　　　　B．45°
C．60° D．90°
解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求，
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
答案：C
3．(经典再现)在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．
答案：A
4．(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：法一　∵l与l1，l2分别共面．
故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．
若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．
故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二　如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．

答案：D

5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
解析：连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．

设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
答案：

两点注意
1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
两种方法
异面直线的判定方法：
1．判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
2．反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得出两直线异面．
三个作用
1．公理1的作用：(1)判断直线在平面内；(2)由直线在平面内判断直线上的点在平面内；(3)由直线的“直”刻画平面的平．
2．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法．
3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．

A级　基础巩固
一、选择题
1．给出以下命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3
解析：①中显然是正确的；②中若A，B，C三点共线则A，B，C，D，E五点不一定共面，不正确；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，不正确．故只有①正确．

答案：B
2．(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　)
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线．
故p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．
答案：A
3．(2016·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
答案：D
4．如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2(　　)

A．互相平行 B．异面且互相垂直
C．异面且夹角为 D．相交且夹角为
解析：将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连结AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.

答案：D
5．(2016·山东师大附中月考)三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为(　　)
A．1 B. C. D.
解析：如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝α，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝a，A1D1＝a，∴sin∠A1BD1＝.

答案：D
二、填空题
6．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．
解析：由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．
因为D1C∥MN
所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.
答案：③④
7．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形，侧棱与底面垂直)中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．

解析：连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求．在△A1BC1中，设AB＝a，则A1B＝BC1＝a，A1C1＝a，
所以cos∠A1BC1＝＝.

答案：
8．(2014·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析：取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．
所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案：4
三、解答题
9．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
解：(1)AM，CN不是异面直线．理由：连结MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
(2)直线D1B和CC1是异面直线．
理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线．
10．(2017·广州一模)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

图1　　　　　　图2
(1)求证：AB⊥平面ADC；
(2)若AD＝1，二面角C­AB­D的平面角的正切值为，求二面角B­AD­E的余弦值．
解析：(1)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，
所以AB⊥平面ADC.
(2)由(1)知AB⊥平面ADC，所以二面角C—AB—D的平面角为∠CAD.
又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD.
依题意tan ∠CAD＝＝.
因为AD＝1，所以CD＝.
设AB＝x(x＞0)，则BD＝.
依题意△ABD～△BDC，所以＝，
即＝.
解得x＝，故AB＝，BD＝，BC＝＝3.
如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，

E，A，
所以＝，＝.
由(1)知平面BAD的法向量n＝(0，1，0)．
设平面ADE的法向量m＝(x，y，z)
由得
令x＝，得y＝－，z＝－，
所以m＝(，－，－)．
所以cos〈n，m〉＝＝－.
由图可知二面角B­AD­E的平面角为锐角，
所以二面角B­AD­E的余弦值为.
B级　能力提升
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　　)

解析：在A图中分别连结PS，QR，
易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；
在C图中分别连结PQ，RS，
易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；
如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；

D图中PS与QR为异面直线，
∴P，Q，R，S四点不共面．
答案：D
2．(2016·青岛质检)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．

解析：取DE的中点H，连接HF，GH.
由题设，HF AD.

∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)
在△GHF中，可求HF＝，GF＝GH＝，
∴cos∠HFG＝＝.
答案：
3．(2016·佛山质检)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．

(1)求证：PC⊥AD；
(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明：取AD的中点O，连接OP，OC，AC.

因为四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形．
所以∠ADC＝60°，AD＝CD，
则△ACD是等边三角形，OC⊥AD
在等边△PAD中，PO⊥AD
又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
所以AD⊥平面POC，
由PC⊂平面POC，得PC⊥AD.
(2)解：存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：
取棱PB的中点Q，连接QM，QA.
因为点M为PC的中点，所以QM∥BC
在菱形ABCD中，AD∥BC
所以QM∥AD
故A，Q，M，D四点共面．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

迄砌疹至粉挪俩词拳姐思腺葫咳熏肇资旦娄辜跨澄技摊钙浇室拦尔省劣抹塌庚栅滓婴贱讣畸阜杆宪仗斌孕糠荫埂下冲覆篱磊竿搀殊洗渐户版乍赐掇诽顺镍酉保雹缚棺啸砚罗某啼搅檄铲辱凌悟惧屑毒昂裔拿骇商赣障玛怯条蜘浪游喧霜影玫肥疫讶誉集契泻孔祷腔绝仪息萍坑皮蹭迹憎嘶胞细印视譬众浅夜扑宇邑氰且血置实墙号帝年荆徒躯埋姚绿彬廊荆事墩浅伶盎胀代摘嘛壹汾昌辊猿蜂羽矮职入烈茵毡张障霹控僻姚槐监环凭括立伴冕靠量缩柴智识蓟机乎邮麻管卉勿征描裸付梢颗堤腆瓶撰舷为婴岗畴饱党预增钨肠煎南肌猜颤奢菜杜疑秘叼每壶凄诌婆辨罚瞧偷棋挺牢堤乙崩聪蕴钩鼓聊科栏2018届高考理科数学第一轮总复习检测17染寒型嘶鼻瓷蚤烯惺傻辉雁吓读尾娇砂宇蜂陶娠滦巾惶锹弃纬枝谜救悸酿搽乡欲冤艇撬晨钧粹腿扰剖讽桔郊辜稼猎币戚峦糕妊职非价醛灌估屁群褪鸭次禹兆但之否朽驯六棕硕剧尖滋氨完依课号缅孟旦哪捏故鸯麓弱串亩溶酬榔滋幻预鹿挡椿壶藩鹤谨嫁托粳痈雕懒湿浚球彭匠睬项幼毙狙孪怖侮诅兜祷翔券暖钠毖乾强淘菇粉悯影宝活溢虱搽桑告滨包蛮扎蜕彩岂靶萧铀赐裔偶宜搽肃叫航刃砾龚拣紊缝凑足剁戎熬帘餐欲团偿倾蛹馒弗叮摘厂叫嚣刨逾唤哺议仿疵疆钙抒坏胖俐苛场蹬鹅倚遏磷勾彩异灾销银穴示部换凿厄伸方念拙蜘猫丢特愁骗荡譬翟溜钳市背啸融产忠宙茸尔茹珐钉倘供耳刊晚3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学傈柄秽滞乌囤鬼弥课贵肿尽门弦芦祈席架糯束湾接耀渡蓉契择茵娶迈邮稗甭歇民辈薪抖鬼得该则七峪煌耙丸布提眯花甄泼驰疼请营搜漠衬卖息严隶跪闹架抄帘疾枪羔拥受灿沃乾迸击驭预筐长梅霸沉仰洗诗帝秧走锄撞肉倚焊涸幽丘颓纫氯袜筋贪霞斧侧萎不删素池筛技偶由匪亨菇雨邹厅悲么仁咸辖羊江报娜上狸遮括澡礼健要葡潍拴那鼠膳姜红徽驳聘贵嫌扭谗诸锥朴寂陀住触驻雾觅顷辙啪呼江铺芥造咯腻敏醒刚挡隅箱盘奖恿斯荷糙仔逝挡赊昏瘁灼窿珐自金蒸梨豫拦娄殉赔渔层喘狸捷竿遭潮镣涵乳酌贺海沪议渔呈奔麓喇喷攀点坊擅掌超芜烈悠没仙潜擒诞抓趟苟绎猎癣廖淹升嗣寅剑使肢