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第六章第六章弯曲变形弯曲变形 1 1明确明确挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠曲线近似微分方程的建立。梁挠曲线近似微分方程的建立。2 2掌握掌握计算梁变形的计算梁变形的积分法积分法和和叠加法叠加法。3 3了解梁的了解梁的刚度条件刚度条件。基本要求基本要求5/12/20241.6-1 6-1 引引 言言一工程实际中的弯曲变形一工程实际中的弯曲变形5/12/20242.1 1挠挠曲曲线线：梁梁在在弯弯矩矩作作用用下下发发生生弯弯曲曲变变形形。如如果果在在弹弹性性范范围围内内加加载载，梁梁的的轴轴线线在在梁梁弯弯曲曲后后变变成成一一连连续续光光滑滑曲曲线线。这这一一连连续续光光滑滑曲曲线线称称为为弹弹性性曲曲线线（elastic elastic curvecurve），或或挠挠度曲线度曲线（deflection curvedeflection curve），简称弹性线或挠曲线。，简称弹性线或挠曲线。二基本概念二基本概念F FyxOyxO5/12/20243.2 2挠度与转角挠度与转角 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后，横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位置置置置将将将将发发发发生生生生改改改改变变变变，这这这这种种种种位位位位置的改变称为置的改变称为置的改变称为置的改变称为位移位移位移位移。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：横横横横截截截截面面面面形形形形心心心心处处处处的的的的铅铅铅铅垂垂垂垂位位位位移移移移，称称称称为为为为挠挠挠挠度度度度(deflection)(deflection)，用用用用w w 表示；表示；表示；表示；变变变变形形形形后后后后的的的的横横横横截截截截面面面面相相相相对对对对于于于于变变变变形形形形前前前前位位位位置置置置绕绕绕绕中中中中性性性性轴轴轴轴转转转转过过过过的的的的角度，称为角度，称为角度，称为角度，称为转角转角转角转角（slopeslope），用，用，用，用 表示；表示；表示；表示；横横横横截截截截面面面面形形形形心心心心沿沿沿沿水水水水平平平平方方方方向向向向的的的的位位位位移移移移，称称称称为为为为轴轴轴轴向向向向位位位位移移移移或或或或水水水水平位移。平位移。平位移。平位移。通常不予考虑。通常不予考虑。通常不予考虑。通常不予考虑。w yxO5/12/20244.挠挠挠挠度度度度曲曲曲曲线线线线在在在在一一一一点点点点的的的的曲曲曲曲率率率率与与与与这这这这一一一一点点点点处处处处横横横横截截截截面面面面上上上上的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩、弯曲刚度之间存在下列关系：弯曲刚度之间存在下列关系：弯曲刚度之间存在下列关系：弯曲刚度之间存在下列关系：y规定规定：向上的挠度为正，向下的挠度为负。向上的挠度为正，向下的挠度为负。逆时针转角为正，顺时针转角为负。逆时针转角为正，顺时针转角为负。挠曲线方程：挠曲线方程：w=w（x）转角方程：转角方程：=（x）5/12/20245.在在在在OxwOxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：坐标系中，挠度与转角存在下列关系：坐标系中，挠度与转角存在下列关系：坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在在在在小小小小变变变变形形形形条条条条件件件件下下下下，挠挠挠挠曲曲曲曲线线线线较较较较为为为为平平平平坦坦坦坦，即即即即 很很很很小小小小，因因因因而而而而上式中上式中上式中上式中tantan。于是有。于是有。于是有。于是有y5/12/20246.力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 5/12/20247.小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下 弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与与与与 w w 坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。5/12/20248.由于规定挠度向上为正，有由于规定挠度向上为正，有由于规定挠度向上为正，有由于规定挠度向上为正，有挠曲线微分方程挠曲线微分方程仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。xwOMM5/12/20249.6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程方程方程方程MM(x x)，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分,得到包含积得到包含积得到包含积得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：分常数的挠度方程与转角方程：分常数的挠度方程与转角方程：分常数的挠度方程与转角方程：其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。转角方程转角方程挠度方程挠度方程5/12/202410.弹簧变形弹簧变形积分常数积分常数C、D由由边界条件边界条件和梁段间和梁段间光滑连续条件光滑连续条件或或中间绞链连续条件中间绞链连续条件确定。确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件5/12/202411.确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数利用约束条件和连续光滑条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、分段点：集中力、集中力偶、分布载荷起止点、EI不同不同积分法求解步骤积分法求解步骤积分法求解步骤积分法求解步骤5/12/202412.例例例例6-16-16-16-1 已知已知已知已知：悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，F F、l l、EIEI均为均为均为均为已知。已知。已知。已知。求求求求：梁的挠曲线、转角方程及最大梁的挠曲线、转角方程及最大梁的挠曲线、转角方程及最大梁的挠曲线、转角方程及最大挠度和挠度和挠度和挠度和转角转角转角转角xyxFl lAB5/12/202413.解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：xyxFl lAB5/12/202414.梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：xyxFl lAB5/12/202415.例例例例6-26-2 已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。已知：简支梁受力如图示。F F、EIEI、l l、a a、b b均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。试试试试：讨论这一梁的弯曲变形。：讨论这一梁的弯曲变形。：讨论这一梁的弯曲变形。：讨论这一梁的弯曲变形。FabABlCxyx1x25/12/202416.解：解：FabABlCxyx1x25/12/202417.由连续和光滑条件：由连续和光滑条件：得：得：得：得：由边界条件：由边界条件：FabABlCxyx1x25/12/202418.梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：AC段段CB段段FabABlCxyx1x2最大转角：最大转角：当当ab时，时，B为最大转角。为最大转角。5/12/202419.FabABlCxyx1x2AC段段CB段段最大挠度：最大挠度：当当=0时，时，w为极值。为极值。当当ab时，时，=0的截面在的截面在AC段。段。5/12/202420.6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度在材料服从胡克定律和小变形的条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。叠加方法叠加方法（superposition methodsuperposition method）叠加原理叠加原理载荷叠加、变形叠加载荷叠加、变形叠加5/12/202421.例例例例6-36-36-36-3 已知已知已知已知：简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，简支梁受力如图示，q q、l l、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求：C C截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度w wC C；B B截面的转角截面的转角截面的转角截面的转角 B B5/12/202422.5/12/202423.例例例例6-46-46-46-4 已知已知已知已知：外伸梁受力如图示，外伸梁受力如图示，外伸梁受力如图示，外伸梁受力如图示，F F、l l、a a、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求：C C、D D截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和转角转角转角转角。（D D 为为为为ABAB中点）中点）中点）中点）F Fl la aA AB BC CD D5/12/202424.F Fl la aA AB BC CD DF FB BC CF FFaFaA AB BC CFaFaA AB BC Cw wC1C1w wC2C2D Dw wD D C1C1 C2C2 D D5/12/202425.FaFaA AB BC CD Dw wD D C2C2 D DAB段挠曲线和转角方程：段挠曲线和转角方程：得：得：5/12/202426.例例例例6-56-56-56-5 已知已知已知已知：F F、l l、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求：B B截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和转角转角转角转角。Fl ll lA AB BC C2EIEI EIEI5/12/202427.Fl ll lA AB BC C2EIEI EIEIFB BC CFA AB BC CFlFA AB BC CA AB BC CFl5/12/202428.Fl ll lA AB BC C2EIEI EIEIFB BC CFA AB BC CA AB BC CFlw wB1B1 B3B3w wB2B2w wB3B3 B2B2 B1B1w wC1C1w wC2C25/12/202429.例例例例6-66-66-66-6 已知已知已知已知：悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，悬臂梁受力如图示，q q、l l、EIEI均为已知。均为已知。均为已知。均为已知。求求求求：C C截面的挠度截面的挠度截面的挠度截面的挠度w w w wC C和和和和转角转角转角转角 C C5/12/202430.方法一：方法一：5/12/202431.方法二：方法二：xxqdxACdxBdwCd C5/12/202432.例例例例6-76-76-76-7 已知已知已知已知：图示组合梁，图示组合梁，图示组合梁，图示组合梁，F=qaF=qa，EIEI为已知。为已知。为已知。为已知。求求求求：截面截面截面截面B B的挠度和截面的挠度和截面的挠度和截面的挠度和截面A A的的的的转角转角转角转角。F FA AB BC Ca aa/2a/2a/2a/2q qF FB BC Cqa/2qa/2B BA Aq q A1wBF FA AB BC Cq q A5/12/202433.例例例例6-86-86-86-8 已知已知已知已知：悬臂梁受力如图，悬臂梁受力如图，悬臂梁受力如图，悬臂梁受力如图，MMe e=Fa/2=Fa/2。试试试试画画画画出挠曲线的大致形状。出挠曲线的大致形状。出挠曲线的大致形状。出挠曲线的大致形状。设抗弯刚度设抗弯刚度设抗弯刚度设抗弯刚度EIEI为常数。为常数。为常数。为常数。Mea aFa aa aM M+Fa/2Fa/2Fa/2Fa/25/12/202434.例例例例6-96-96-96-9 图示刚架结构。图示刚架结构。图示刚架结构。图示刚架结构。试试试试求求求求C C点的水平和垂直位移点的水平和垂直位移点的水平和垂直位移点的水平和垂直位移。A AC CB BF Fa a2a2aF FB BC CA AC CB BF FFaFad d d dCV1CV1d d d dCV1CV1d d d dCV2CV2d d d dCHCH5/12/202435.例例例例6-106-106-106-10 图示等截面刚架，自由端承受集中载荷图示等截面刚架，自由端承受集中载荷图示等截面刚架，自由端承受集中载荷图示等截面刚架，自由端承受集中载荷F F的作用，的作用，的作用，的作用，试试试试求自由端的铅垂位移求自由端的铅垂位移求自由端的铅垂位移求自由端的铅垂位移。设弯曲刚度。设弯曲刚度。设弯曲刚度。设弯曲刚度EIEI与扭与扭与扭与扭转刚度转刚度转刚度转刚度GIGIt t均为已知常数。均为已知常数。均为已知常数。均为已知常数。F FA AB BC Cl la aF FB BC CA AF FB BFaFad d d dC1C1d d d dC2C2d d d dC3C3d d d dC1C15/12/202436.6-5 6-5 简单超静定梁简单超静定梁 F5/12/202437.3相当系统相当系统 在在静静定定基基上上加加上上外外载载荷荷以以及及多多余余约约束束力力，得得到到受受力力和变形与静不定梁完全相同的相当系统。和变形与静不定梁完全相同的相当系统。2静定基静定基 将将静静不不定定梁梁上上的的多多余余约约束束除除去去后后所所得得到到的的“静静定定基基本系统本系统”。1静不定梁静不定梁约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。AFB一静不定梁的概念一静不定梁的概念5/12/202438.3在静定基上计算多余约束处的变形后，代入变形在静定基上计算多余约束处的变形后，代入变形协调条件，协调条件，建立补充方程建立补充方程，解出多余约束反力。，解出多余约束反力。2建立变形协调条件建立变形协调条件；将将相相当当系系统统与与静静不不定定梁梁相相比比较较，在在多多余余约约束束处处，找找到变形协调条件。到变形协调条件。1判断梁的静不定次数判断梁的静不定次数，解除多余约束，建立静定基；，解除多余约束，建立静定基；二静不定梁的解法二静不定梁的解法5/12/202439.例例例例6-116-116-116-11 一悬臂梁一悬臂梁一悬臂梁一悬臂梁ABAB，承受集中载荷，承受集中载荷，承受集中载荷，承受集中载荷F F作用作用作用作用，因其刚，因其刚，因其刚，因其刚度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁度不够，用一短梁加固，如图所示。试计算梁ABAB的最大的最大的最大的最大挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度挠度的减少量。设二梁各截面的弯曲刚度均为均为均为均为EIEI。F Fl/2l/2A AB BC Cl/2l/25/12/202440.F Fl/2l/2A AB BC Cl/2l/2解解：加固前，：加固前，AB梁的最大挠度梁的最大挠度加固后加固后F FA AB BC CF FC CA AC CF FC CwC1wC2由由wC1=wC2，得，得此时此时AB梁的最大挠度：梁的最大挠度：仅为前者的仅为前者的60.9%。5/12/202441.w许用挠度许用挠度 许用转角许用转角梁的刚度条件梁的刚度条件5/12/202442.例例例例6-126-12 已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为已知：钢制圆轴，左端受力为F FP P，F FP P=20 kN=20 kN，a a=l m=l m，l l=2 m=2 m，E E=206 GPa=206 GPa，其他尺寸如图所示。规，其他尺寸如图所示。规，其他尺寸如图所示。规，其他尺寸如图所示。规定轴承定轴承定轴承定轴承B B处的许用转角处的许用转角处的许用转角处的许用转角 =0.5=0.5。试试试试：根据刚度要求确定该轴的直径：根据刚度要求确定该轴的直径：根据刚度要求确定该轴的直径：根据刚度要求确定该轴的直径d d。B5/12/202443.中心架中心架中心架中心架1 1、如卸荷装置、中心架、如卸荷装置、中心架（或跟刀架）（或跟刀架）卸荷带轮卸荷带轮卸荷带轮卸荷带轮一改善结构形式，减小弯矩的数值。一改善结构形式，减小弯矩的数值。6-6 6-6 提高弯曲提高弯曲刚度的一些措施刚度的一些措施 5/12/202444.3 3、缩小跨距、缩小跨距2 2、合理安排梁的约束与加载方式、合理安排梁的约束与加载方式 选选选选用用用用弹弹弹弹性性性性模模模模量量量量E E较较较较高高高高的的的的材材材材料料料料也也也也能能能能提提提提高高高高梁梁梁梁的的的的刚刚刚刚度度度度。但但但但是是是是，对对对对于于于于各各各各种种种种钢钢钢钢材材材材，弹弹弹弹性性性性模模模模量量量量的的的的数数数数值值值值相相相相差差差差甚甚甚甚微微微微，因因因因而而而而与与与与一一一一般般般般钢钢钢钢材材材材相相相相比比比比，选选选选用用用用高高高高强强强强度度度度钢钢钢钢材材材材并并并并不能提高梁的刚度。不能提高梁的刚度。不能提高梁的刚度。不能提高梁的刚度。二选择合理的截面形状。二选择合理的截面形状。三合理选择材料三合理选择材料 5/12/202445.本本 章章 小小 结结1挠度和转角的正负方向确定挠度和转角的正负方向确定2掌握用积分法求梁的挠曲线和转角方程掌握用积分法求梁的挠曲线和转角方程积分常数根据积分常数根据边界条件边界条件和和连续条件连续条件确定。确定。3根据弯矩图确定挠曲线的形状根据弯矩图确定挠曲线的形状5/12/202446.6提高梁刚度主要措施提高梁刚度主要措施 减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗弯刚度EI。4 弯曲变形叠加原理弯曲变形叠加原理5 弯曲变形的静不定问题弯曲变形的静不定问题5/12/202447.本本 章章 作作 业业 P1976-1（a、b）、）、6-3（b、d）、）、6-10（d）、）、6-11（c）、）、6-21、6-29、6-355/12/202448.